b) Soit
. Donner l'expression de en fonction de , R, G et , sachant que est très
petit.
c) Calculer à la latitude = 45° nord.
On donne : G = 9,80 m.s2, R = 6,37.106 m et = 7,29.105 rad.s1.
4) Donner l'expression de la différence des modules de l'intensité de la pesanteur aux pôles et à l'équateur :
g = gpôles - géquateur.
Calculer g numériquement.
En réalité, on mesure g = 52.103 m.s2. Avancer une raison simple, en une ligne maximum, pour
expliquer l'écart observé.
B) Dans cette partie, on admettra que les coordonnées de
sont (0 ; 0 ; g) dans le repère (Oxyz).
1) Un point matériel M, de masse m, est abandonné sans vitesse initiale par rapport à (r), à la latitude
nord, du point de coordonnées x = 0 ; y = 0 ; z = H. Établir la loi horaire z(t) ainsi que la durée de la chute
jusqu'en O, en négligeant la force de Coriolis.
2) On ne néglige plus la force de Coriolis. Écrire les équations du mouvement. (On désignera
respectivement par
et
les coordonnées de la vitesse et de l'accélération du point M dans le
référentiel (r).
3) Le point matériel M est lâché dans les mêmes conditions qu'au B)1). Résoudre l'équation en
du B)2),
en prenant pour
et
les valeurs du B)1). Donner la loi horaire y(t). En prenant pour la durée de la chute la
valeur du B)1), donner l'expression de y() en fonction de , g, H et .
Calculer y() connaissant : g = 9,80 m.s2 ; = 45° nord ; H = 100 m ; = 7,29.105 rad.s1.
4) On lance un corps de masse m depuis le point O, verticalement, vers le haut, avec une vitesse initiale de
module v0.
a) Réécrire le système en
,
et
. Intégrer ce système pour en déduire y(t) et z(t) en utilisant les
valeurs de
,
et
correspondant au cas où on lance ce corps vers le haut, depuis le point O, avec une vitesse
de module initial v0, mais en négligeant la force de Coriolis.
b) Déterminer l'altitude maximale h atteinte par le corps à partir de z(t), en fonction de v0 et g.
c) Déduire du B)4)a) l'expression de y lorsque le corps retombe sur le plan (Oxy) en fonction de ,
v0, g et .
C) Dans cette partie, on désire étudier le mouvement d'un pendule simple dans le référentiel (r) lié à la
Terre. On prendra encore (0 ; 0 ; g) pour les coordonnées de
dans le repère (Oxyz).
1) Un pendule pesant simple, de longueur L = PM, est attaché au point P(0 ; 0 ; L) dans (r).
Au point M(x,y,z) est attachée une masse ponctuelle m. La force de tension exercée par le fil sur la
masse ponctuelle est notée
. À un instant donné le pendule oscille dans un plan quelconque.