MP1 Lycée Janson de Sailly I. Changement de référentiel Exercice

MP1 Lycée Janson de Sailly
TD n°5 : Changements de référentiels
Référentiels non galiléens
I. Changement de référentiel
Exercice 1
Les berges d’un fleuve sont parallèles et la distance qui les sépare
est d= 400 m. On suppose que la vitesse de l’eau est constante et
vaut V0= 2,0 m.s−1. Un bateau part d’un point Asur une berge et
veut atteindre le point Bsitué sur l’autre rive, exactement en face de
A, selon une trajectoire rectiligne.
Pour ce faire, il part de Aavec une vitesse par rapport à l’eau
constante, notée ~ V1et faisant un angle φavec AB. Il atteint Bau
bout d’un temps τ= 25 min. Déterminer V1et φ.
Exercice 2 (Anneau sur une tige en rotation)
Un référentiel (R1)est muni du repère (Oxyz). Une tige (T) est
en rotation dans le plan (Oxy)autour de l ?axe Oz avec la vitesse
angulaire ωconstante. Cette tige constitue un référentiel (R2). Un
anneau Mest enfilé sur la tige et se déplace selon une loi horaire :
OM =r(t) = k t2
2(kconstante)
!
!"!
x
!
y
O
(T)
1) Déterminer ~vM/R2,~ve,~aeet ~ac.
2) En déduire ~vM/R1et ~vM/R1.
3) Retrouver ces résultats par un calcul direct.
Exercice 3
Mme Matronome monte les escaliers, même s’ils roulent, toujours
à la même allure : une marche par seconde. Elle met habituellement
30 secondes pour monter l’escalier roulant. Ce jour là, distraite, elle
prend pour le monter l’escalier descendant (aussi lent dans sa descente
que dans sa montée) et met 2 minutes pour atteindre le sommet.
Quel est le nombre de marches de l’escalier roulant au repos ? Quelle
est sa vitesse ?
Exercice 4 (Mouvement d’un point sur un disque lié à une
tige)
Une tige T=OO1, de longueur L= 40 cm, tourne dans le plan
(Oxy)lié à un référentiel (R)avec la vitesse angulaire dφ/dt = Ω
constante. Son extrémité O1est le centre d’un disque Dde rayon a=
10 cm. On souhaite analyser le mouvement d’un point Adu pourtour
de D. Pour cela, on repère sa position par l’angle θque fait −−→ O1Aavec
−−→
OO1. Soit (R0)le référentiel de la tige, muni du repère R0(O1x0y0z)
de centre O1et tel que l’axe O1x0soit défini par OO1.
!
1

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1) Donner les expressions vectorielles des vitesses ~vO1/R et ~vA/R0.
Exprimer ces vecteurs dans la base associée à R0.
2) En déduire, en fonction des angles et de leurs dérivées, les compo-
santes de ~vARdans la base de R0.
3) Que deviennent ces composantes lorsque θ= 0 et θ=π? Comparer
les expressions obtenues à la vitesse de O1par rapport à (R).
II. Référentiels non-galiléens
Exercice 1 (Oscillations d’un pendule dans un train)
Un passager dans un wagon en translation horizontale d’accéléra-
tion constante ~a =−a ~uxétudie les petites oscillations planes d’un
pendule simple formé par une masse met un fil de longueur Laccro-
ché au plafond du wagon.
!
!!
!
!
!
!
!
1) Déterminer l’équation différentielle (du second ordre) vérifiée par
l’angle θ. (Il y a 2 méthodes différentes)
2) Déterminer la position d’équilibre θ0du pendule.
3) Expliciter la période T0des petites oscillations autour de cette
position d’équilibre.
Exercice 2 (Chute d’une bille dans un manège)
Un manège est constitué d’une plate forme circulaire tournant à la
vitesse angulaire ωconstante autour de Oz fixe dans le référentiel ter-
restre (RT)supposé galiléen. Le référentiel du manège, noté (R), est
muni du repère (O;~ux, ~uy, ~uz). Une bille de masse mest abandonnée
sans vitesse initiale dans (R)à partir du point A0(r0,0, h).
x
y
z
O
A0
r0
h
1)
a) Déterminer les équations différentielles vérifiées par les coordonnées
(x, y, z)de la bille dans le référentiel du manège.
b) Résoudre ces équations en posant u=x+i y (avec i2=−1) et en
déduire x(t),y(t)et z(t)en fonction du temps.
2) Reprendre toute l’étude en raisonnant dans le référentiel terrestre,
muni d’un repère (O;~eX, ~eY, ~eZ=~uz). Comparer les deux résultats.
Exercice 3 (Fil à plomb)
Considérons le manège de l’exercice 2. Un fil à plomb de longueur
Lest suspendu au point A0(r0,0, h)de sorte que la masse mqui est
attachée à l’autre bout du fil soit juste au dessus du plancher, en
équilibre dans le référentiel du manège. Déterminer les coordonnées
(x0, y0)de cette masse.
2

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Exercice 4
On considère un pendule de longueur L, au bout duquel est accroché
une masse m. Il est accroché en un point Od’un axe vertical Oz et
est astreint à tourner autour de cet axe avec une vitesse angulaire
constante ω. Déterminer l’angle d’inclinaison du pendule par rapport
àOz en fonction de g,Let ω. En déduire la norme de la tension du
fil.
Exercice 5
On considère un point Mde masse massujetti à se déplacer sans
frottement sur un cercle de rayon R. Ce dernier est dans un plan
vertical et tourne à vitesse angulaire constante ωautour d’un axe selon
le schéma suivant. On repère le point Mpar l’angle θpar rapport à
la verticale. On se place dans le référentiel lié au cercle.
M
#
−→$
1) Etablir l’équation du mouvement de Mdans le référentiel lié au cercle en appliquant le PFD.
2) Méthode énergétique
(a) Quelle est l’énergie potentielle associée aux forces d’inertie ,
(b) En déduire l’énergie potentielle totale, ainsi que l’énergie mécanique de M.
(c) En déduire l’équation du mouvement de Mdans le référentiel lié au cercle (on ne cherchera pas
àlarésoudre).
On pourra se reporter au TD sur l’énergie pour une étude des positions d’équilibre.
EXERCICE 6[♣♣]
Dans un référentiel galiléen Rgon considère un oscillateur amorti fluidement, constitué d’une masse m,
guidé verticalement, d’un ressort de raideur ket d’un amortisseur fluide de constante %.L’extrémitédu
ressort opposée à mest fixée à un support Sauquel on impose dans Rgle mouvement vertical défini par
z=z0cos$t.Montrerquesuivantlavaleurdelapulsationpropre$0du système, la mesure de l’amplitude
du mouvement de la masse mpermet de connaître :
–soitl’amplitudedeS(sismographe) ;
–soitl’amplitudedel’accélérationdeS(accéléromètre).
EXERCICE 7[♣♣]
Un train à grande vitesse (v=240 km/h) circule dans la direction nord-sud en un lieu de latitude %=55˚
nord. Préciser la direction et le sens de la force d’inertie deCoriolis.Dequelanglefaudrait-ilinclinerleplan
des rails par rapport à l’horizontale si on voulait que la réaction des rails soit rigoureusement perpendiculaire
àceplan?Commentaires?
EXERCICE 8[♣♣]
Pour entraîner les astronautes à l’impesanteur, le procédé suivant est utilisé. Un avion décrit dans un plan
vertical le trajet ABCD où AB et CD sont des trajets horizontaux (altitude constante). On suppose que
l’intensité du champ de pesanteur est constante sur tout ce trajet et vaut g=9,8m.s
−2.
1) Quelle doit être la nature de la trajectoire BC pour obtenir l’effet d’impesanteur pendant cette phase
de vol ?
2) Les possibilités de l’avion limitant la hauteur maximale à 9000 m, quelle est la durée maximale T
pendant laquelle on peut réaliser l’impesanteur par ce procédé ?
EXERCICE 9[♣♣]
On considère une grande roue contenue dans un plan vertical, de rayon R=25 m, qui possède des sièges
sur sa circonférence. Elle tourne à vitesse constante et effectue un tour complet en T=1min.Onprendra
g=9,8m.s
−2.
1) Un observateur au sol décide de calculer le poids apparent ressenti par une personne de masse m=70
kg assise dans la grande roue en fonction de sa position, repérée par l’angle #.
2) On suppose maintenant que Tpeut être différent de la valeur précédente. Le poids apparent peut-il
s’annuler ? En quels points ? AN : calculer Ttel que le poids apparent s’annule.
TD N˚15 MPSI3- LYCÉE SAINT LOUIS 2
Établir l’équation du mouvement de Mdans le référentiel lié au
cercle en appliquant le PFD. Retrouver ce résultat par une étude
énergétique.
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