MP1 Lycée Janson de Sailly I. Changement de référentiel Exercice

MP1 Lycée Janson de Sailly
TD n°5 : Changements de référentiels
Référentiels non galiléens
1) Déterminer ~vM/R2 , ~ve , ~ae et ~ac .
2) En déduire ~vM/R1 et ~vM/R1 .
3) Retrouver ces résultats par un calcul direct.
I. Changement de référentiel
Exercice 3
Mme Matronome monte les escaliers, même s’ils roulent, toujours
à la même allure : une marche par seconde. Elle met habituellement
30 secondes pour monter l’escalier roulant. Ce jour là, distraite, elle
prend pour le monter l’escalier descendant (aussi lent dans sa descente
que dans sa montée) et met 2 minutes pour atteindre le sommet.
Quel est le nombre de marches de l’escalier roulant au repos ? Quelle
est sa vitesse ?
Exercice 1
Les berges d’un fleuve sont parallèles et la distance qui les sépare
est d = 400 m. On suppose que la vitesse de l’eau est constante et
vaut V0 = 2,0 m.s−1 . Un bateau part d’un point A sur une berge et
veut atteindre le point B situé sur l’autre rive, exactement en face de
A, selon une trajectoire rectiligne.
Pour ce faire, il part de A avec une vitesse par rapport à l’eau
~1 et faisant un angle φ avec AB. Il atteint B au
constante, notée V
bout d’un temps τ = 25 min. Déterminer V1 et φ.
Exercice 4 (Mouvement d’un point sur un disque lié à une
tige)
Une tige T = OO1 , de longueur L = 40 cm, tourne dans le plan
(Oxy) lié à un référentiel (R) avec la vitesse angulaire dφ/dt = Ω
constante. Son extrémité O1 est le centre d’un disque D de rayon a =
10 cm. On souhaite analyser le mouvement d’un point A du pourtour
−−→
de D. Pour cela, on repère sa position par l’angle θ que fait O1 A avec
−−→
OO1 . Soit (R0 ) le référentiel de la tige, muni du repère R0 (O1 x0 y 0 z)
de centre O1 et tel que l’axe O1 x0 soit défini par OO1 .
Exercice 2 (Anneau sur une tige en rotation)
Un référentiel (R1 ) est muni du repère (Oxyz). Une tige (T) est
en rotation dans le plan (Oxy) autour de l ?axe Oz avec la vitesse
angulaire ω constante. Cette tige constitue un référentiel (R2 ). Un
anneau M est enfilé sur la tige et se déplace selon une loi horaire :
OM = r(t) =
k t2
(k constante)
2
y
(T)
!"!
O
x
!
!
1
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!
1) Donner les expressions vectorielles des vitesses ~vO1 /R et ~vA/R0 .
Exprimer ces vecteurs dans la base associée à R0 .
2) En déduire, en fonction des angles et de leurs dérivées, les composantes de ~vAR dans la base de R0 .
3) Que deviennent ces composantes lorsque θ = 0 et θ = π ? Comparer
les expressions obtenues à la vitesse de O1 par rapport à (R).
Exercice 2 (Chute d’une bille dans un manège)
Un manège est constitué d’une plate forme circulaire tournant à la
vitesse angulaire ω constante autour de Oz fixe dans le référentiel terrestre (RT ) supposé galiléen. Le référentiel du manège, noté (R), est
muni du repère (O; ~ux , ~uy , ~uz ). Une bille de masse m est abandonnée
sans vitesse initiale dans (R) à partir du point A0 (r0 , 0, h).
II. Référentiels non-galiléens
z
Exercice 1 (Oscillations d’un pendule dans un train)
Un passager dans un wagon en translation horizontale d’accélération constante ~a = − a ~ux étudie les petites oscillations planes d’un
pendule simple formé par une masse m et un fil de longueur L accroché au plafond du wagon.
r0
A0
h
y
O
x
!
!!
!
!
1)
a) Déterminer les équations différentielles vérifiées par les coordonnées
(x, y, z) de la bille dans le référentiel du manège.
b) Résoudre ces équations en posant u = x + i y (avec i2 = −1) et en
déduire x(t), y(t) et z(t) en fonction du temps.
!
!
1) Déterminer l’équation différentielle (du second ordre) vérifiée par
l’angle θ. (Il y a 2 méthodes différentes)
2) Déterminer la position d’équilibre θ0 du pendule.
3) Expliciter la période T0 des petites oscillations autour de cette
position d’équilibre.
2) Reprendre toute l’étude en raisonnant dans le référentiel terrestre,
muni d’un repère (O; ~eX , ~eY , ~eZ = ~uz ). Comparer les deux résultats.
Exercice 3 (Fil à plomb)
Considérons le manège de l’exercice 2. Un fil à plomb de longueur
L est suspendu au point A0 (r0 , 0, h) de sorte que la masse m qui est
attachée à l’autre bout du fil soit juste au dessus du plancher, en
équilibre dans le référentiel du manège. Déterminer les coordonnées
(x0 , y0 ) de cette masse.
2
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Exercice 4
On considère un pendule de longueur L, au bout duquel est accroché
une masse m. Il est accroché en un point O d’un axe vertical Oz et
est astreint à tourner autour de cet axe avec une vitesse angulaire
constante ω. Déterminer l’angle d’inclinaison du pendule par rapport
à Oz en fonction de g,L et ω. En déduire la norme de la tension du
fil.
Exercice 5
On considère un point M de masse m assujetti à se déplacer sans
frottement sur un cercle de rayon R. Ce dernier est dans un plan
vertical et tourne à vitesse angulaire constante ω autour d’un axe selon
le schéma suivant. On repère le point M par l’angle θ par rapport à
la verticale. On se place dans le référentiel lié au cercle.
→
−
$
#
M
1) EtablirÉtablir
l’équation
du mouvement
de M dans le référentiel
lié aulecercle
en appliquant
l’équation
du mouvement
de M dans
référentiel
lié aule PFD.
cercleénergétique
en appliquant le PFD. Retrouver ce résultat par une étude
2) Méthode
(a)énergétique.
Quelle est l’énergie potentielle associée aux forces d’inertie ,
(b) En déduire l’énergie potentielle totale, ainsi que l’énergie mécanique de M.
(c) En déduire l’équation du mouvement de M dans le référentiel lié au cercle (on ne cherchera pas
à la résoudre).
On pourra se reporter au TD sur l’énergie pour une étude des positions d’équilibre.
E XERCICE 6 [♣♣]
3
Dans un référentiel galiléen R g on considère un oscillateur amorti fluidement, constitué d’une masse m,
guidé verticalement, d’un ressort de raideur k et d’un amortisseur fluide de constante %. L’extrémité du
ressort opposée à m est fixée à un support S auquel on impose dans R g le mouvement vertical défini par