I Problème 1 - Maths

DEVOIR
I On considère l'équation différentielle 2y' + y = 5
1° Résoudre l'équation différentielle sans second membre 2y'+ y = 0
On exprimera les solutions à l'aide d'une constante réelle arbitraire C.
2° On désigne par a un nombre réel. Déterminer a pour que la fonction constante y0= a soit une solution
particulière de l'équation 2y' + y = 5.
3° Déterminer les solutions de l'équation 2y' + y = 5. On exprimera ces fonctions solutions à l'aide d'une
constante arbitraire. Quelle est la solution y = f(x) qui vérifie f(0) = 0 ?
4° On considère la fonction f qui, au nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 ; 10] fait correspondre f(x)
tel que :
f(x) = 5. ( 1 - e-x/2)
Etudier la variation de cette fonction et la représenter graphiquement dans un repère orthonormé. (Unité
graphique 1 cm).
5° En quel point M0 de la courbe d'équation y = f(x), la tangente a-t-elle pour coefficient 1 ?
Déterminer l'équation de cette tangente.
6° Calculer l'aire en cm² du domaine défini par la courbe d'équation y = f(x), l'axe des abscisses et les droites
d'équations x = 0 et x = 2.
II Au cours d'un contrôle sur la masse d'une bouteille de sirop on a relevé les chiffres suivants :
masse(g)
effectif
ECC
[800 ; 802 [
1
[802 ; 804 [
2
[804 ; 806 [
2
[806 ; 808 [
3
[808 ; 810 [
45
[810 ; 812 [
37
[812 ; 814 [
6
[814 ; 816 [
1
[816 ; 818 [
2
[818 ; 820 [
1
On demande de calculer :
1° La masse moyenne d'une bouteille
2° La variance et l'écart type de cette série statistique
3° Tracer l'histogramme.
Echelles
abscisse : 1 cm / 2g
ordonnée : 1 cm / 2 bouteilles
III On rappelle la formules de Descartes :
n1.sin i1 = n2.sin i2 où n1 et n2 sont les indices des 2 milieux.
i1 et i2 les angles des rayons avec la normale.
1° Calculer l'angle de réfraction pour un angle d'incidence de 60°. Sur la figure 1 de l'annexe 2 tracer le
rayon réfracté qui correspond au rayon incident SI.

2° Dans le cas d'une incidence rasante (i1=90°), calculer l'angle de réfraction ß.
Comment s'appelle cet angle ß ? Dessiner dans ce cas les rayons incidents et réfractés au point O sur la
figure 2 de l'annexe 2.
3° On considère maintenant un rayon allant du milieu 2 (n2 = 1,45) vers le milieu 1 (n1 = 1).
Que devient le rayon réfracté si l'angle d'incidence est supérieur à l'angle ß précédemment calculé ?
Faire le dessin correspondant sur la figure 2 de l'annexe 2.
4° La fibre optique à "saut d'indice".
La figure 3 de l'annexe 2 représente en coupe longitudinale, une fibre optique à "saut d'indice". Elle est
constituée de 2 milieux transparents homogènes, cylindriques et coaxiaux : le "cœur", d'indice n1 et la
"gaine" d'indice n2.
On emploie pour fabriquer la fibre des substances transparentes dont les indices sont 1,45 et 1,43.
Laquelle de ces substances constitue le cœur ? Justifier la réponse.
IV Un circuit électrique est alimenté sous une tension alternative de fréquence f = 50 Hz et de valeur
efficace U = 220V.
1° Calculer la pulsation 
2° Ce circuit comprend en série un condensateur de capacité C variable, une bobine d'inductance L=0,7 H et
d'une résistance R = 50 
Faire un schéma du montage. On notera UR, UC, UL les tensions efficaces aux bornes de la résistance, du
condensateur et de la bobine.
Calculer l’impédance Z du circuit pour C = 20 µF.
Calculer l'intensité efficace I du courant et le déphasage de l'intensité par rapport à la tension pour C = 20µF.
3° Dans le cas où C = 20µF, tracer le diagramme de Fresnel des tensions.
4° Calculer la valeur de C pour laquelle L = 1/ C
5° On fait varier la fréquence. Pour quelle fréquence obtient-on la résonance avec C = 20µF ?
Problème III
Le transporteur d'un atelier
d'assemblage de carrosserie est
un tapis roulant entraîné par un
tambour (figure ci-contre).
Le tambour a un diamètre D = 40 cm ; D
une masse m = 5 kg ; le couple
s'exerçant sur ce tambour a pour
moment M = 390 N.m. tambour
1° Quelle fréquence de rotation n en tours par minute, faut-il donner au tambour, pour que l'objet avance
avec une vitesse V0 = 0,1 m.s-1 ?
2° Quelle est la vitesse angulaire du tambour en rad.s-1 ?

3° Calculer la puissance utile fournie au transporteur ?
4° Pour augmenter la cadence de travail de travail, on fait varier la vitesse de transport de V0 = 0,1 m.s-1
à V1 = 0,2 m.s-1 en t = 2,5 s.
a) Quelle est l'accélération subit par l'objet sur le tapis ?
b) Calculer le travail utile fourni au tambour sachant que son moment d'inertie est J =1
2 m.R²
IV Problème IV
Le fonctionnement de ce transporteur donne naissance à des vibrations que l'on considère comme
sinusoïdales.
L'amplitude de la vibration au point M d'abscisse x à la date t est de la forme :
y = a.sin (.t -  )
y est exprimée en mm, t en seconde et x en mètre.
L'amplitude a est 0,75 mm, la fréquence f = 25 Hz, la célérité est 10 m.s-1.
1° Déterminer la pulsation w, la période T et la longueur d'onde 
.
2° Déterminer l'équation y = f(t) de la vibration au point d'abscisse x = 0,5 m.
Représenter graphiquement la fonction f sur un intervalle de deux périodes.
Abscisse : 1 cm pour 10 ms
Ordonnée : 1 cm pour 0,25 mm
III On étudie l’essorage d'un lave-linge:
La puissance utile fournie au tambour est 300 W lorsqu'il tourne à la fréquence de rotation nominale
de 900 tr/min.
On donne : le rayon du tambour R = 20 cm
la masse du tambour M = 10.kg
Calculer :
1° le moment du couple s'exerçant sur l'axe du tambour.
2° le moment d'inertie du tambour(on rappelle J =1
2.M.R²)
3° l'énergie cinétique acquise par le tambour, lorsqu'il tourne à sa fréquence de rotation nominale.
4° On étudie le démarrage du tambour à l'essorage ; pendant cette phase le tambour part de l'arrêt et accélère
jusqu'à sa fréquence de rotation nominale ; le tambour est soumis à un couple dont le moment, considéré
comme constant vaut 3,2 N.m.
a) Quelle est la nature du mouvement ?
Calculer:
b) l'accélération angulaire subie par le tambour
c) le temps mis par le tambour pour atteindre sa fréquence de rotation nominale.

d) En utilisant le théorème de l'énergie cinétique, calculer le travail du couple pendant cette phase ; En
déduire le nombre de tours effectués par le tambour pendant la phase d'accélération.
Epreuve de math sciences 2EIE
I Une plaque chauffante est constituée de deux éléments comportant chacun 7 résistors en série. Chaque
résistor dissipe une puissance de 330 watts.
Les échanges de chaleur entre la plaque et l'air ambiant sont estimés à 7,5 watts par degré de différence de
température entre la plaque et l'air ambiant. (A= 7,5 watts/°C). La température de l'air ambiant est
supposée constante et égale à 24 °C.
1° Calculer la température maximale que peut atteindre la plaque. (on remarquera que cette température est
atteindre lorsque la puissance fournie par les résistors est égale à la puissance dissipée par la plaque dans
l'air ambiant).
2° La température  de la plaque à l'instant t est donnée par la relation:
- t/1000
 = 640.(1 - .e ) t en seconde  en °C
Déterminer  sachant qu'à l'instant t = 0 la température de la plaque est de 24° C.
3° On pose  = 0,9625
a) Montrer que t s'exprime en fonction de  par la relation :
t = -1000 Ln
b) Calculer le temps nécessaire pour porter la plaque de 24°C à 400°C.
4° T étant un nombre réel appartenant à l'intervalle [-5 ; 0], on considère la fonction  définie par
(T) = 640.(1- 0,9625.eT)
a) Etudier les variations de cette fonction
b) Représenter graphiquement cette fonction
Echelle :Abscisse : 2 cm pour 1 unité
Ordonnée : 1 cm pour 50 unités
c) Calculer l'aire A comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = -2 et x = 0
II Le graphique ci-dessous représente la différence de potentiel v à la sortie du redresseur. Il s'agit d'une
fonction périodique, de période T = 1,5.10-3 s, que l'on peut exprimer par :
0  t   v(t) = 10.e-10 t
  t  T v(t) = 0
1° Calculer la valeur moyenne vmoy de cette tension en fonction de .
2° En déduire cette valeur si  = 10-3 s
10 V
t
 T 2T
III On considère une source sonore ponctuelle, située au point S, qui émet, à l'instant t0 = 0, un signal

très bref dont on peut considérer la durée comme négligeable avec P = 5 watts.
Le son se propage à la vitesse v = 330 m/s, dans toutes les directions.
Compléter le tableau ci-dessous en répondant aux questions suivantes.
1° Calculer les distances parcourues par le signal à chacun des instants t1 = 0,01 s, t2 = 0,02 s.....t5 = 0,05 s
2° Montrer qu'à un instant t quelconque l'ensemble des points atteints par le signal sonore est une sphère.
Donner le centre de la sphère ainsi que la valeur du rayon aux dates t1 , t2 , t3 , t4 , t5.
3° L'intensité acoustique du signal, à l'instant t, est donnée par la formule I = P
S
(P : puissance du signal ; S : aire de la surface atteinte par le signal ).
a) Quelle est l'unité de mesure de I ? Justifier.
b) Calculer les intensités acoustiques I1, I2, ....I5 (La puissance P est donnée et les aires sont celles des
sphères successives précédentes).
4° Le niveau acoustique L, en décibels, est donnée par la formule L = 10.log( I / Io) ;
Io = 10-12 W/m², intensité de référence.
Calculer L1, L2, ....L5
5° A quelle distance de S le niveau acoustique est-il de 70 décibels ?
t(s)
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
R(m)
S( )
I( )
L(dB)
IV Un objet de grandeur 2 cm est placé à 4 cm d'une loupe, dans un plan perpendiculaire à l'axe principal de
celle-ci ; la vergence de cette loupe est C = 20 dioptries.
1° Calculer la distance focale de cette loupe.
2° Construire l'image de cet objet à travers la loupe à l'échelle 1/2 (la construction sera fera sur papier
millimétré).
a) Préciser sa nature, réelle ou virtuelle.
b) Préciser son sens
c) Mesurer sa position par rapport à la loupe.
d) Mesurer sa grandeur ; En déduire le rapport de la grandeur de l'image à celle de l'objet.
Epreuve de math sciences TEIE
I Problème 1
Sur une machine tridimensionnelle, nous obtenons les cotations des points palpés suivants :
Le repère utilisé est orthonormé et direct
Points : Coordonnées
X
Y
Z
A
40
120
320