Angles orientés et repérage polaire

Trigonométrie, angles orientés , repérage polaire
I. Rappels
1) Définitions
Cercle trigonométrique :
Le plan est muni d’un repère ( O, I, J) orthonormal.
On appelle cercle trigonométrique un cercle orienté de rayon 1, le sens
direct (ou trigonométrique) est le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Le radian
Sur un cercle trigonométrique C, la longueur de l’arc AM et la
mesure en radians de l’angle au centre Æ;AOM s’expriment par le
même nombre.
Si Æ;AOM =  rad et AM = l, alors l =  .
2) Conversion degrés – radians
degrés
180
90
60
45
30
radians

Error!
Error!
Error!
Error!
3) Repérage sur le cercle trigonométrique
C le cercle trigonométrique.
On représente Ë sous la forme d’un axe d’origine I et dirigé vers le
haut. On « enroule » Ë sur le cercle trigonométrique.
A un nombre x > 0, on associe, en tournant dans le sens direct sur le
cercle trigo, le point N, tel que la longueur de l’arc IN soit égale à x.
A un nombre x < 0, on associe de la même façon le point N, mais en
tournant dans le sens indirect.
Soit N un point du cercle.
Soit x une mesure de l’arc orienté d’origine I et d’extrémité N. Alors,
cet arc orienté possède d’autres mesures :x + 2 ; x + 4 ; x-2 , etc …
Toutes ces mesures sont du type x + k2 où k  Î.
Parmi toutes ces mesures, il en existe une seule dans l’intervalle ] - ;  ]. C’est la
mesure principale.
II)Angles orientés de vecteurs
Définition :
Un couple de vecteurs non nuls définit un angle orienté que l’on note
( Å;u, Å;v).
Mesure d’un angle orienté
Si M et N sont 2 points du cercle trigonométrique.
M repéré par x ; N repéré par y.
Alors l’angle orienté ( Ä;OM, Ä;ON ) a pour mesure y – x.
Tout angle orienté comme tout arc orienté a une infinité de mesures. Si  est
l’une d’entre elles, les autres s’écrivent  + 2k, où k  Î.
On note ( Å;u, Å;v) =  + 2k où k  Î
Ou bien ( Å;u, Å;v) =  [2 ] ( lire  modulo 2  )
La seule mesure dans ] -  ; ] est la mesure principale.
Relation de Chasles
Quels que soient les vecteurs Å;u, Å;v et
Å;w
(Å;u, Å;v) +( Å;v, Å;w) = ( Å;u, Å;w)
Autres relations à connaître :
(u; u )  0 2 
(u; u )   2 
(u; v )  (u; v )
(u; v )    (u; v ) 2 
III)Repérage polaire
1) Définition :
Soient O et I deux points distincts tels que OI = 1 et
M un point du plan distinct de O.
Tout couple (  ;  ) avec  > 0 tel que OM =  et ( Ä;OI, Ä;OM)=

( en rad ) est un couple de coordonnées polaires du point M
dans le repère polaire ( O, Ä;OI).
On retiendra :
   OM

  (i ; OM )
2)Passage des coordonnées polaire aux coordonnées
rectangulaires
Soit (O,Error!,Error!) une repère orthonormé direct
Si un point M distinct de O a pour coordonnées (x ; y)
dans ce repère et pour coordonnées polaires (  ;  )
dans le repère polaire ( O, Ä;OI), alors :

=
sin(  )
x²  y²
x=

cos(  )
y=

IV) Principales formules
1) Rappels
cos2 x  sin 2 x  1
sin x

tan x 
pour x   k
cos x
2
k Z
2) Cosinus et sinus des angles associés
Soit x un réel
Angles opposés
cos (-x) = cos (x)
sin (-x) = - sin (x)
cos (  - x ) = - cos (x)
sin (  - x ) = sin (x)
cos (  + x ) = - cos (x)
sin (  + x ) = - sin (x)
Angles de différence

- x ) = cos (x)
2

sin (
+ x ) = cos (x)
2
Angles complémentaires

- x ) = sin (x)
2

cos (
+ x ) = - sin (x)
2
cos (
sin (
3) Formules d’addition
cos(a  b)  cos a  cos b  sin a  sin b
cos(a  b)  cos a  cos b  sin a  sin b
sin(a  b)  sin a  cos b  sin b  cos a
sin(a  b)  sin a  cos b  sin b  cos a
4) Formules de duplication
cos(2a)  2cos 2 a 1
cos(2a)  1  2sin 2 a
sin(2a)  2.sin.cos a
5) Formules de linéarisation
1  cos(2a)
2
1  cos(2a)
2
sin a 
2
cos2 a 
Angles supplémentaires

V)Equations trigonométriques
Ce sont des équations qui se ramènent à
cos a  cos b
ou à
cos a  cos b
a  b.[2 ]

ou
a  b.[2 ]

sin a  sin b
a  b.[2 ]

ou
a    a.[2 ]

Exemple : Résoudre
A:
3x 
x
sin 3x  sin
  2k
3
  2k
9
3
k 0 x

9
7
k 1 x 
9
13
k 2 x
9

3
B:
3x   
  2  2k '
3 3
2 2k '
x

9
3
2
9
8
k ' 1 x 
9
14
k' 2 x 
9
k'0 x 
sin a  sin b
VI) Relations métriques dans le
triangle
1)Aire du triangle
1
S   b  c  sin Aˆ
2
1
S   a  b  sin Cˆ
2
1
S   a  c  sin Bˆ
2
2)Formule du sinus
sin Aˆ sin Bˆ sin Cˆ


a
b
c
Si on connaît un coté et 2 angles, le triangle est résoluble.
3)Formule d’AL KASHI appelée parfois formule du cosinus
a 2  b2  c2  2bc.cos( Aˆ )
b2  a 2  c2  2ac.cos( Bˆ )
c2  a 2  b2  2ab.cos(Cˆ )
Résumé concocté par Camille Kerbaul , élève de 1° S et validé par Guy Marion