Mines-PC-2011 Fibre optique à saut d`indice I

Mines-PC-2011
Fibre optique à saut d’indice
I-Approche géométrique de la propagation
1- Le rayon va se réfléchir au niveau de la gaine avec un angle d’incidence . Si on a
réfraction au niveau de la gaine, l’angle réfracté  est donné par la loi de Descartes :  
 soit 
. On n’aura pas de rayon réfracté si :    ce qui
introduit un angle d’incidence limite :
2- On suppose que l’indice de l’air est . Le rayon entre dans la fibre optique avec un angle
d’incidence . En appliquant la loi de Descartes de la réfraction, on en déduit que l’angle
réfracté dans le cœur est  donné par la loi :   . L’angle d’incidence entre le
cœur et la gaine est  
 soit   . L’angle limite est   ce qui
donne un angle d’incidence limite  donné par la relation :   soit
 soit   
3-  
4- Le temps de parcours sera minimal pour un angle    ; le temps de parcours est  fois
le chemin optique. L’indice dans le cœur étant n, le chemin optique est . Dans ce cas le
temps de parcours correspondant est   
.
Le temps de parcours est maximal pour un angle   . Dans ce cas, la lumière va parcourir
des segments de longueur   
, chaque segment correspondant à une distance parcourue
de 
 sur l’axe de la fibre optique. Pour une longueur de fibre, le nombre de
segments parcourus est :   
 soit une distance parcourue par la lumière :  
 ce qui correspond à un chemin optique  et à un temps de parcours :
, avec  
.
On en déduit   soit  
L’intervalle de temps entre le temps de parcours minimal et le temps de parcours maximal
est :     soit   
5- On pose 
 ce qui donne :   puisque  .
On en déduit l’expression de l’intervalle de temps :   
  soit
 .

6- Les rayons d’angle    vont correspondre à une impulsion entre  et 
et les rayons d’angle   vont correspondre à une impulsion entre  et .
L’impulsion totale sera étalée entre  et . La durée caractéristique de
l’impulsion en sortie de fibre est : 
7- Pour qu’il n’y ait pas recouvrement des impulsions à la sortie de la fibre, il faut que 
 soit   
8- On a dans le cas limite   
 ce qui donne :     
9-   ;    ;   La longueur de la fibre ‘est pas
très grande. On n’utilise pas ce type de fibre pour des trajets important.
II-A-Approche ondulatoire de la propagation
10- La notion de rayon lumineux dans la fibre perd son sens si la longueur d’onde n’est plus
petite devant .
11- On a la continuité de la composante tangentielle du champ électrique en    ce qui
donne pour    :       soit :
   ce qui impose    et pour  
 :        soit :
   ce qui impose   
12- Dans un milieu diélectrique, les équations de Maxwell sont les mêmes que dans le vide en
remplaçant  par  ce qui donne : 
 et  .
On en déduit l’équation de propagation du champ électrique dans un diélectrique d’indice :
Pour   on a : 
  ce qui donne : 
On a pour les milieux  et  :   
 et pour le milieu 2 :  
13- on donne dans le milieu 2 la solution :   ce qui donne
en remplaçant dans l’équation différentielle trouvée à la question précédente :  
soit  . Pour que cette solution soit possible il faut que   c’est-à-dire :
. L’énoncé nous dit de poser   et    . La condition est bien vérifiée.
On a alors :    soit   

Dans le milieu 1, la solution proposée est :   ce qui donne en remplaçant
dans l’équation différentielle :  soit   
 soit en remplaçant
 par  et 
 par  :   
14- L’expression n’est valide que si   
. La valeur maximale de  est :  .
La valeur minimale de  correspond alors à 
. La réflexion totale en optique
géométrique correspond en électromagnétisme à l’existence d’ondes évanescentes.
15- On a l’équation de Maxwell-Faraday : 
 ce qui donne :
dans le milieu 1:
soit 
dans le milieu 2:
 soit
dans le milieu 3:
soit 
Ce qui donne pour le champ magnétique les expressions suivantes :
dans le milieu 1 : 
dans le milieu2
:
dans le milieu 3: 
16- On suppose que les composantes tangentielles du champ électrique et du champ
magnétique sont continues en  . On pose    et  .
On obtient les équations suivantes pour la continuité de la composante tangentielle du champ
électrique :
 en   
On obtient les équations suivantes pour la continuité de la composante tangentielle du champ
magnétique en remplaçant  par sa valeur :
 en    pour 
 en    pour 
On obtient finalement un système de deux équations :
 (1)
 (2)
17- Dans le cas où    on a le système suivant :
   (1)

   (2)
Pour que la solution de ce système ne soit pas triviale il faut que le déterminant soit nul ce qui
donne : 
   soit 
 . On remplace  par son
expression :  soit :
 . On obtient la relation :
 soit   avec   
Dans le cas où    on a le système suivant :
   (1)
   (2)
Pour que la solution de ce système ne soit pas triviale il faut que le déterminant soit nul ce qui
donne : 
 soit   . On remplace  par son expression :
 soit :
  . On obtient la relation :
 soit     avec   
On en conclut la relation regroupant les deux cas : 
 avec   
18- la fonction  étant une fonction croissante, sa valeur maximale correspondra à la
valeur maximale de  soir . Pour   on a   donc 
 ce qui donne
 avec    soit    soit en remplaçant  par sa
valeur :  
.
On en déduit que  
.
Pour   , l’équation   
 admet donc forcément une solution, quelles que soient les
valeurs de et de .
En revanche pour   , pour que l’équation   
, il faut que     ce qui donne
 ce qui impose une condition sur  :    
soit
. Pour un mode donné, il existe donc un rayon minimal :
19- Dans la pratique on prend   . Pour    on a 
Dans cette pratique, la dimension du rayon de la fibre est de l’ordre de grandeur de la
longueur d’onde. L’approximation de l’optique géométrique n’est plus valable.

20- Après propagation dans la fibre, le paquet d’onde à l’abscisse  est retardé par rapport à
l’abscisse . Le paquet d’onde se propageant à la vitesse de groupe, son retard temporel sera
de . Le phénomène de dispersion va entrainer une déformation du paquet d’onde. Si celui-
ci s’étale, la conservation de l’énergie va entrainer une augmentation du nombre
d’oscillations, mais avec une amplitude moindre.
III- Phénomène optique non linéaire : effet Kerr
21- L’ordre de grandeur du champ électrique inter-atome est donné par : 
. En
prenant  on trouve , ce qui correspond à un champ critique de
 et à une intensité lumineuse .
Les lasers impulsionnels permettent l’obtention de telles puissances surfaciques.
22- L’expression de la force mettant en évidence le phénomène anharmonique est :
. On fait une étude dimensionnelle : 
 est homogène à une force, donc la
grandeur 
 n’a pas de dimension. On peut réécrire cette grandeur :  . 
 et
 sont tous les deux homogènes à une énergie. On en déduit que  est sans dimension.
23- On prend comme système l’électron. IL subit la force donnée par l’énoncé et la force
électrique. La force magnétique de l’onde est négligeable devant la force électrique quans
l’électron n’est pas relativiste.
On a donc :  
24-  une fois le régime forcé établi, c’est-à-dire la solution particulière de l’équation
différentielle sans le terme de perturbation:
On a 
C’est-à-dire :   
25- L’équation différentielle vérifiée par  est :
 ce
qui donne  
.
Si on considère    on peut simplifier l’équation différentielle précédente et
écrire : 