meca-chap5

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Chapitre5
Lesoscillationsforcées
5.1.Position du problème etmise enéquation
Premiercas
Considéronsun oscillateurharmoniqueunidimensionnelcomposéd’unemassemaccrochée
en un pointMau boutd’un ressortderaideuretsubissantun frottement‡uide.L’autre
extrémitéAdu ressortest…xe.Letoutestplacé surun supporthorizontaldesortequele
poidsn’interviennepas.Appliquonsuneforce extérieureF(t)=F0cos!tsurlamasse.Les
forces s’appliquantsurlamassesont: laforce derappeldu ressort, lefrottement‡uide et
F(t).Leprincipefondamentaldeladynamiquedonne,enappelantXl’écartavec laposition
d’équilibre:
m
²²
X=¡h
²
X¡kX+F(t)
soit
m
²²
X+h
²
X+kX=F0cos!t:
Deuxièmecas
Considéronslemêmeproblèmeque ci-dessus,mais sanslaforce extérieureF(t).Parcontre
l’autre extrémitéAdu ressortn’estplus…xe,maisvariesinusoïdalement:xA(t)=x0cos!t.
Lavibration deApeutêtre créée arti…ciellementenlaboratoireparun potvibrant,ou natu-
rellementparlesirrégularitésdelaroutepourun amortisseurdevoiture,ou parlesoscillations
delaTerredansle casd’un sismographe.L’allongementdu ressortestl’allongementdel’ex-
trémitéMàlaquelleonajoutel’allongementdel’extrémitéAce quis’écrit¢l=X¡xA.Les
forces sont: laforce derappeldu ressortainsiquelefrottement.Leprincipefondamentalde
ladynamiquedonne:
m
²²
X=¡h
²
X¡k(X¡xA)
soit
m
²²
X+h
²
X+kX=kx0cos!t:
Finalement,fairevibrerl’autre extrémitédu ressortouappliquerdirectementuneforce
extérieureàlamassemrevientaumême,en posantF0=kx0.Leproblème consisteàrésoudre
une équation di¤érentielleavec second membrevariablequis’écritsouslaformesuivante:
²²
X+2®
²
X+!2
0X=acos!t(1)
avec 2®=h=m,!2
0=k=meta=F0=moua=kx0=m.C’estl’objectifdu paragraphequi
suit.
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans4janvier2004

50 Chapitre5Lesoscillationsforcées
5.2.Résolution
Lasolution del’équation(1)estlasommedelasolution del’équationsans second membre
etdelasolution particulière.Comptetenu delaprésence d’un amortissement, lasolution
del’équationsans second membretend vers0.au boutd’un temps su¢sammentimportant,
seulelasolution particulièrerestenon nulle.Pourdécrirelerégimetransitoire,ilestnécessaire
d’écrirelasolutioncomplètequidépend desconditionsinitiales(constantesdanslasolution
del’ESSM).Seul lerégimeforcé(appeléaussirégimesinusoïdalforcé ourégimepermanent)
estétudiéici. Pourledécrire,ilsu¢tderechercherlasolution particulière(pourlaquelle,
rappelonsle, lesconditionsinitialesn’ontaucuneimportance).
Laméthodederecherchedelasolution particulièred’une équation di¤érentielleavec second
membresinusoïdaladéjàétédonnée enélectronique.Lamême équation(1)aétéobtenue
pourdécrireun circuitRLCalimentéparun GBF.Lescomplexes sontintroduits.Leterme
acos!tdevientaexp(j!t); l’équation(1)s’écrit:
²²
X+2®
²
X+!2
0X=aexp(j!t):
Comme enélectronique,nousallonsrechercherunesolution particulièresinusoïdaledemême
pulsation!quel’excitationdusecond membre,d’amplitudeAetdéphaséde':
X(t)=Acos(!t+');
quis’écritencomplexes:
X=Aexp(j(!t+'))
=Aexp(j')exp(j!t+')(2)
=Aexp(j!t)(3)
avec A=Aexp(j').Lasolution(3)doitvéri…erl’équation(1);véri…onsle eninjectant (3)
dans(1):
A¡¡!2¢exp(j!t)+2®A(j!)exp(j!t)+!2
0Aexp(j!t)=aexp(j!t);
ce quidonne,après simpli…cation parexp(j!t):
A¡¡!2+2®j!+!2
0¢=a
ouencore
A=a
(¡!2+2®j!+!2
0):(4)
Revenonsàlasolutionréelle.Celle-ciest:
X(t)=Acos(!t+');(5)
avec
A=jAj=a
q(!2
0¡!2)2+(2®!)2
(6)
et
'=arctanµ2®!
!2
0¡!2¶[¼]:(7)
4janvier2004 L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans

Section5.3Résonance enélongation51
5.3.Résonance enélongation
Adansl’expression(6)représentel’amplitudedesoscillationsdelamasse(ouélongation).'
dansl’expression(7),représenteledéphasagedesoscillationspar rapportàlaforce excitatrice
(dansle cas1)ou par rapportàl’oscillation del’autre extrémitédu ressort (dansle cas
2).Etudierlaréponse enélongationconsisteàétudierlafonctionA(!).Cettefonctionest
représentée surla…gure5.1pourdi¤érentesvaleursdel’amortissement®.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
00.5 11.5 2
amplitude de l'oscillation
pulsation normalisee
0,25
0,5
0.707
1
0 0
0,25
0,5
0.707
1
0 0
0,25
0,5
0.707
1
0 0
0,25
0,5
0.707
1
0 0
Fig.5.1.Amplitudedel’oscillationdelamasse enfonctiondela pulsation.Lesvaleursindiquées sur
lescourbescorrespondentà®=!0.Enabscisse:A:¡!2
0=a¢,enordonnée :!=!0.Lacourbe présente
unmaximumseulementquand®=!0<p2¼0;707.
Pourdetrèsfaiblespulsations(!!0), l’inertiedelamasseapeu d’importance,ce qui
signi…e,parexempledansle cas2,queA=x0: lamasse”suit”ledéplacementdel’autre
extrémitédu ressort.Pourdegrandespulsations(!! 1),aucontraire, l’inertiedelamasse
faitque celle-cine”peutplus suivre”lemouvement: l’amplitudedesoscillationstend vers0.
Pourdespulsationsintermédiaires,ilyadeuxcasde…gure.Si l’amortissementn’estpastrop
importantavec ®<p2, lacourbeprésenteun maximumpourunepulsation notée !maxque
l’onappellepulsation derésonance.Si l’amortissementestplusimportantavec ®>p2,
lacourbeneprésentepasdemaximum(voir…gure5.1).
Retrouvonscesrésultatsparle calculen partantdel’expression(6).LemaximumdeA,s’il
existe,correspond auminimumdeD(!)=¡!2
0¡!2¢+(2®!)2.DérivonsD(!)etannulons
sadérivée :
dD(!)
d!=2(¡2!)¡!2
0¡!2¢+8®2!
0=!¡¡4!2
0+4!2+8®2¢
desolution!=0ou!2=!2
0¡2®2.Lemaximumn’existequesi®<!0=p2.Ilestplacé
en!=p!2
0¡2®2etvautAmax=a=(2®!).Lemaximumestd’autantplusmarquéque
l’amortissement®estfaible.
Remarque5.1La pulsationderésonance estdi¤érentedela pulsationpropre:!max6=!0.
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans4janvier2004

52 Chapitre5Lesoscillationsforcées
Plusl’amortissementestfaible,plusla pulsationderésonance serapprochede!0.Dansle
caslimitesansamortissement(®=0)larésonance estin…nie(A! 1),etla pulsationde
résonance coïncideavec !0.Enréalité, ilexistetoujoursunpeud’amortissement;maisune
trop forteoscillationprochedelafréquence derésonance peutdétruirel’oscillateur.
Remarque5.2Le casdel’oscillateurforcé sansamortissementest trèsparticulier.Ilconvient
depréciserque c’estleseulcaspourlequel lasolutiondel’équationsans secondmembrene
tend pasvers0!PourdéterminerX(t), ilestalorsnécessairededonnerlasolutioncomplète
sansoublierlasolutiondel’ESSM,etd’utiliserlesconditionsinitialespourdéterminercette
dernière.
5.4.Résonance envitesse
Pourcalculerlaréponse envitesse,revenonsàl’expression del’élongation:X(t)=
Acos(!t+').Lavitesse est
V(t)=dX(t)
dt=¡A!sin(!t+'):
L’amplitudedelavitesse est
V0=A!=a!
q(!2
0¡!2)2+(2®!)2
=a
q(!2
0=!2¡1)2+(2®)2
:
0
0.5
1
1.5
2
2.5
00.5 11.5 22.5
amplitude de la vitesse
pulsation normalisee
0,25
0,5
0,707
1
0 0
0,25
0,5
0,707
1
0 0
Fig.5.2.Amplitudedelavitessedelamasse enfonctiondela pulsation.Lesvaleursindiquées sur
lescourbescorrespondentà®=!0.Enabscisse:A:¡!2
0=a¢,enordonnée :!=!0.Lacourbe présente
unmaximumpourtoute valeurde®,situé en!=!0.
4janvier2004 L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans

Section5.5Etude énergétique53
Lemaximumexistetoujoursetseproduitpourleminimumde
D2(!)=¡!2
0=!2¡1¢2+(2®)2;
soitpour!=!0(voir…gure5.2)etvaut
V0max=a=(2®):
5.5.Etude énergétique
Rédaction ultérieure
5.6.Analogiesélectro-mécaniques
Rédaction ultérieure
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans4janvier2004