Chapitre 0

Chapitre 0 :
Rappels d'algèbre matricielle
Dans ce chapitre, (non traité en cours) nous rappelons des notions d’algèbre matricielle utiles pour le cours
d’analyse de données, les démonstrations des assertions données seront laissées au bon plaisir du lecteur.
Néanmoins, ces notes ne remplacent ( ni concurrencent ) le cours d’algèbre linéaire. Pour compléter le propos,
nous présentons ( pour les plus curieux) en fin de ce chapitre, une initiation à un langage de programmation sous
SAS : SAS/IML ( Interacive Matrix Language).
I. Matrices et vecteurs : définitions et opérations.
1.1. Définitions :
- Matrices :
Une matrice A, n x p, est un tableau ( à n lignes et p colonnes ) de valeurs numériques :
colonne j
a11
a12
…
a1j
…
a1p
a12
a22
…
a2j
…
a2p
…
…
…
…
…
A =
ligne i
…
…
…
aij
…
aip
…
…
…
…
…
…
an1
an2
…
anj
…
anp
Usuellement une telle matrice est notée A = ( aij) i = 1, …, n et j = 1, …, p, ( aij, élément générique de la
matrice A étant le réel se trouvant au croisement de la ligne i et de la colonne j ). On dira que A est de
dimension n x p ( nombre de lignes x nombre de colonnes)
La matrice nulle ( notée 0 ) est la matrice dont tous les éléments sont égaux à zéro.
- Vecteurs :
Un vecteur u de Rn est une matrice à n lignes et une colonne :
u1
ui (ui  R ) étant la i ème composante
( ou coordonnée ) du vecteur u
u2
u =
…
ui
…

un
NB. En analyse de données un vecteur = un vecteur COLONNE
1.2. Opérations sur les matrices :
1. Addition :
Soit A et B deux matrices de même dimension n x p, la matrice, C, définie par C = A + B est donnée
par : C = (cij) = (aij + bij) i = 1, …, n et j = 1, …, p
2. Multiplication :
2.1. Multiplication par un réel :
Le produit d’une matrice A n x p et d’un réel  est donné par :
A = A = ( aij) i=1, …, n et j = 1, …, p
2.2. Produit de deux matrices :
Soit A une matrice n x p et B une matrice p x q , la matrice C définie par C = A* B ( ou AB) est donnée
par :
C = (cij ) i=1, …, n et j =1, …q
avec :
kj
p
kikij bac  1
Avertissement
Cette opération n’est possible que si le nombre de colonnes de la première matrice est égal
au nombre de lignes de la deuxième
A * B = C
n x p p x q n x q
A
Ligne i
cij
B
Colonne j

Avertissements:
 AB  BA en général
 AB = 0 n’implique pas ‘A = 0 ou B = 0 ’
( 0 étant la matrice nulle)
 (A + B)² = A² + B² + AB + BA ( et non A² + B² + 2AB )
 (A - B)² = A² + B² - AB - BA ( et non A² + B² - 2AB )
 (AB)² = ABAB ( et non A²B² )
Exemple :
A =
0
3
B =
1
5
0
0
0
0
a) AB = 0 pourtant ni A ni B n’est nulle
b) AB = 0 et BA = A  AB  BA
3. Transposition :
3.1. Définition :
La transposée d’une matrice A, de dimension n x p est la matrice, notée tA, de dimension p x n
obtenue en permutant les lignes et les colonnes de A
2.3.2. Exemple :
1
5
9
1
2
3
4
A =
2
6
10
tA =
5
6
7
8
3
7
11
9
10
11
12
4
8
12
3.3. Propriétés :
 t(A+B) = tA + tB
 t(tA) = A
 t(A) =  tA  étant un nombre réel
 t(A*B) = tB * tA
 t(ABC ) = tC tB tA ( on inverse l’ordre )
N.B. :
Dans certaines publication, la transposée de A est notée A’ ( A prime, notation américaine) ou AT (
notation anglaise).
II. Matrices carrées
1. Définition :
Une matrice A =(aij) est dite carrée si n = p ( autant de lignes que de colonnes).

Dans toute la suite, sauf mention contraire :
 A désignera une matrice carrée p x p, A = (aij) i, j =1, …, p
 et u un vecteur ( colonne ) de Rp
2. Quelques définitions en vrac :
2.1. Matrices diagonales :
Une matrice A est dite diagonale si et seulement si :
aij = 0 pour i  j ( tous les éléments extra diagonaux sont nuls).
Une telle matrice sera notée A = diag ( a11, a22, …, app ) ou A = diag (aii) i=1, …, p
Exemple :
Pour p = 3, la matrice A définie par :
a11
0
0
A =
0
a22
0
0
0
a33
est diagonale.
Proposition :
Soit A = diag ( aii ) et B = diag ( bii ) i=1, …p alors :
 A + B = diag ( aii + bii) i=1, …, p ( la somme de deux matrices diagonales est une matrice
diagonale)
 A B = diag ( aii * bii) i=1, …, p ( le produit de deux matrices diagonales est une matrice
diagonale)
 Ak = diag ( aiik ) ; k étant un nombre réel ( quand l’opération aiik est possible)
2.2 Matrice identité :
La matrice identité de rang p ( ou d’ordre p), notée Ip ou I s’il n y a pas ambiguïté, est la matrice
diagonale dont tous les éléments diagonaux sont égaux à 1.
Cette matrice vérifie :
 A, matrice p x p , A I = I A = A
Exemple :
La matrice identité de rang 3, I3 est donnée par :
1
0
0
I3 =
0
1
0
0
0
1
Matrice symétrique :
Une matrice A = (aij) i,j=1, …,p est dite symétrique si et seulement si

aij = aji  i, j
( A est symétrique par rapport à sa diagonale)
Exemple :
La matrice A définie par :
1
2
3
A =
2
50
4
3
4
30
est symétrique .
Proposition :
A est symétrique si et seulement si tA = A.
Remarque :
Toute matrice diagonale ( en particulier la matrice identité) est symétrique.
Matrice inversible :
Une matrice A est dite inversible s’il existe une matrice, notée A-1, telle que :
A A-1 = A-1 A = I ( I étant la matrice identité)
( une telle matrice n’existe pas toujours, ainsi il y a des matrices non inversibles)
Propositions :
 A est inversible si et seulement si det (A)  0
 Si A est symétrique alors A-1 ( si elle existe ) l’est aussi et son inverse est A.
 Une matrice diagonale A = diag ( aii) est inversible si et seulement si :
aii  0  i = 1, …, p
et dans ce cas A-1 est donnée par :
)
1
(
1
ii
a
diagA 
les aii étant tous non nuls
Exemple :
3
0
0
3
1
0
0
A=
0
5
0
 A-1 =
0
5
1
0
0
0
2
0
0
2
1