Trigonométrie

Théorie
Probabilités
Plan :
1.
2.
3.
4.
5.
Analyse combinatoire
Probabilité élémentaire
Probabilité conditionnelle
Variable aléatoire
Variable aléatoire de Bernoulli (binomiale)
ANALYSE COMBINATOIRE
A. Arrangements simples
« Un arrangement simple de p objets différents dans un ensemble de n objets différents est
une liste ordonnée de p objets pris dans les n objets donnés. »
Le nombre d’arrangements possibles est noté A np  nn 1n  2...n  p 1.

.......1
n  p!
n!
n  p!

Exemple :
p = 9 (les 9 chiffres significatifs)
n=3
Combien d’arrangements simples de 3 objets différents peut-on réaliser avec 9
chiffres ?
Intuitivement : 9.8.7
9!
 7.8.9  504
Formule : A 93 
9  3!
B. Arrangements avec répétitions
C’est la même chose qu’un arrangement simple mais avec possibilité de répétition. On a donc
n possibilité pour le 1er chiffre, n pour le second, n pour le troisième... et ça jusque p.
Le nombre d’arrangements possibles est noté Bnp  np
C. Permutations
La permutation est une liste ordonnée de n éléments pris n à n. Pn  n!
D. Combinaison simple
« La combinaison de n éléments différents pris p à p est une liste qui est un sous-ensemble de
l’ensemble de n éléments. Deux listes diffèrent uniquement par la nature des éléments. »
Ce nombre de combinaisons est noté : C np 
1
A np
n!

Pp
p! n  p!
Remarque : cela signifie que 123, 321, 312 sont une seule et même liste ! C’est d’ailleurs pour
ça que l’on divise par Pp.
E. Propriétés
n!
1
n  0!
n!
C1n 
n
n 1!
n!
C nn 
1
n  n! n!
C n0 
!
Attention, ne
pas oublier
que 0 ! = 1
p  n  Cnp  0
Cnp  Cnnp
Démo :
n!
C nnp 
n!

n  n  p! n  p! n  p! p!
C np11  C np  C np1
Démo :
C np11 
n 1!
p 1! n  p!
C np  C np1 
n! p 1  n! n  p
n! n 1
n!
n!



p 1! n  p!
p 1! n  p!
p! n  p! p 1! n  p 1!
F. Binôme de Newton (important !) et triangle de Pascal
x  y 0 1
x  y 1 1x 1y
x  y 2 1x 2  2xy 1y 2
x  y 3 1x 3  3x 2 y  3xy 2 1y 3
1
1
1
1
1
2
3
0
= C0
1
3
C 22
1
n° de la ligne
Utilisation
1.
x  y n  Cn0 x n0 y 0  C1n x n1y1  Cn2 x n2 y 2  ...  Cnn x nn y n

n
C
k n k k
y
nx
k 0
2.
3.
Puissances de 11 : chaque ligne du triangle de Pascal correspond à une puissance
de 11 : 1, 11, 121, 1331, ...
Puissances de 2 : l’addition des nombres de chaque ligne donne une puissance de
2 : 1, 2, 4, 8, 16, ...
Remarque : quand on a

n
C
k
n
x  y n ,
la formule change légèrement, on ajoute un (-1)k :
1k x nk y k
k 0
2

Exemple :
6
1 

Soit  2x 2 

2x 

Donner, si il existe, le terme en x3
1.
Tout
6
d’abord,
mettre
1k 2x 2 
binôme
sous
forme
de
somme :
1 
 
 2x 
k 0
2. Ensuite, développer les facteurs en x (ici, il y en a deux mais parfois seulement
un, comme c’est le cas avec x + y) :
2 62 k x12 x 2k 2 k x k
3. On peut enlever le 2-6 qui n’influence pas le k. On veut un x3, donc :
x12 x 2k x k  x 3
x123k  x 3
12-3k = 3
k=3
4. Maintenant on peut remplacer k par 3 dans la formule de départ et trouver le
3
1
terme en x3 : C 63 13 2x 2
 20 x 3
2x3

C
k
6
6k 
ce
k
 
PROBABILITES ELEMENTAIRES
A. Définitions
Lancé d’un dé (pipé ou non)
Expérience aléatoire : lancer d’un dé
Ensemble de tous les événements possibles    1,2,3,4,5,6
Evénement élémentaire : obtenir le point 2 (un élément de )
 2  A  a1
 3  B  a2
Evénement : sous ensemble de  (exemple : obtenir un nombre pair)  A  2,4,6
Evénement certain :  et événement impossible :

Algèbre de Boole :
1.
A B  réalisation de l’événement A OU de l’événement B
2.
A B  réalisation de l’événement A ET de l’événement B
A
A C  C
 événement contraire / complémentaire de A
Si A B  0, A et B sont deux événements contradictoires (pas spécialement
complémentaires !)
Probabilité :
Pr :
P1

A
1


0,1
Pr (A)
P « ronde » de  : ensemble de tous les sous ensemble d’
3
B. Propriétés
B  A  P (A\B) = P (A) – P (B)
P   0
B  A  PB  PA 
Relation de Boole :
A, B 
P
PA  B  PA   PB  PA  B
Evénements équiprobables :
P A  
cas favorables
cas possibles
PROBABILITE CONDITIONNELLE
A. Définition
A, B, deux événements
PA B2 = probabilité que l’événement A se réalise sachant que l’événement B est réalisé

déf
P A  B 
P B 
Remarques :
1. PA  B  PA BPB
2.
PB A  
P A  B
P A 
B. Théorème des probabilités totales
Partition de   A1 , A 2 ,..., A n 
Ai  A j   
n
=
A
i
i 1
Soit une partition de  :
A7
A6
A1
B
A2
A3
2
A5
A4
P (B) = PA1  B  PA 2  B  ...  PA n  B
Or on ne connaît pas P(B) ! Donc on utilise la formule
précédente :
P (B) = PB A1 PA1   PB A2 PA2   ...  PB A n PA n 
 PB 
n
 PB A PA 
i
i 1
Se lit : probabilité de « A si B »
4
i
C. Théorème de BAYES ou renversement des conditions
PA B 
déf


P A  B
PB
P B A PA 
(remarque (2))
PB
PB A i PA i 
n
 PB A PA 
i
i
i 1

Exemple :
Une boîte A contient 3 billes bleues et 2 billes rouges. La boîte B contient 2 billes
bleues et 5 billes rouges. On tire une des billes dans une des deux boîtes, également
choisie au hasard. On constate que c’est une bleue. Quelle est la probabilité qu’elle
vienne de la boîte A ?
On demande : PA Bleue
Or on connaît le contraire, c’est-à-dire PBleue A =
3
5
On utilise le théorème de Bayes :
3 1
.
21
5 2



PBleue A PA   PBleue BPB 3 1 2 1 31
.  .
5 2 7 2
PBleue A PA 
D. Indépendance de deux événements
Si PA  B  PA .PB
déf
P A B 
P A  B 
 P A 
PB
VARIABLE ALEATOIRE
A. Définition

A
Une variable aléatoire est une application :



X (A), un nombre
Variable aléatoire discrète
« Une variable aléatoire est dite discrète lorsque la variable prend un nombre fini ou
dénombrable de valeurs possibles. »
Exemple 1 : On lance deux dés.
X : 1,1; 1,2; 2,2;...  2,3,4,5,...,12
a  Xa  la somme des points
5
Variable aléatoire continue
« Une variable aléatoire est dite continue lorsque la variable prend un nombre infini de
valeurs non dénombrables. »
Exemple 2 : Taille exacte de femmes adultes
B. Lois de distribution – Fonction de répartition
Chaque variable aléatoire admet une loi de distribution et une fonction de probabilité.
Variable aléatoire discrète
Exemple 1 :
X = xi
f(x) = P(xi)
F(x)
2
1/36
1/36
3
2/36
3/36
4
3/36
6/36
5
4/36
10/36
6
5/36
15/36
7
6/36
21/36
8
5/36
26/36
9
4/36
30/36
10
3/36
33/36
11
2/36
35/36
f(x) est la fonction de probabilité et F(x) est la fonction de répartition.
F’(x) = f(x)
11
 P X  x   1
i
i 1
Construire le graphe de la fonction de probabilité.
Variable aléatoire continue
Exemple 2 :
X:

Femmes

Taille


1

cas possibles
Dans les variables aléatoires continues P(X = a) = 0 toujours !
On peut par contre calculer P x  165  en calculant la surface sur la courbe.
P(165) = 0 car
cas favorables

F(a) est par définition la probabilité que x  a
Fa  Px  a 
a
 f xdx
Px  a = 1 – F(a)
et

C. Moyenne et variance d’une variable aléatoire
Moyenne (ou espérance)
1.
Variable aléatoire discrète : EX  
q
 PX  x .x
i
i 1

2.
Variable aléatoire continue : EX  
 x.f x.dx

6
i
12
1/36
1
Variance
La variance se note 2 (X)
1.
Variable aléatoire discrète :  2 X  
q
 x
i
 Ex 2 .PX  x i 
i 1

2.
Variable aléatoire continue :  2 X  
 x  EX  .f x.dx
2

Ecart type :

2

Sur un graphe, entre E –  et E +  il y a
2
de la population (courbe de Gauss).
3
VARIABLE ALEATOIRE DE BERNOULLI
A. Expérience de Bernoulli
C’est une expérience qui n’offre que deux résultats : la réussite ou l’échec.
B. Schéma de Bernoulli
C’est une répétition des expériences de Bernoulli telles que :
à chaque répétition la probabilité de réussite soit la même
les répétitions sont indépendantes les unes des autres
C. Variable aléatoire de Bernoulli
Bi n; p :   N
n = nombre d’expériences
p = probabilité de réussite
La variable aléatoire de Bernoulli = nombre de succès sur n lancés
On note la variable aléatoire de Bernoulli : Bi n; p
PX  i  Cni pi 1 pni
EX   np
 2  npq
7