Trigonométrie

1
T
Th hé éo or ri ie e
P
Pr ro ob ba ab bi il li it té és s
P
Pl la an n : :
1. Analyse combinatoire
2. Probabilité élémentaire
3. Probabilité conditionnelle
4. Variable aléatoire
5. Variable aléatoire de Bernoulli (binomiale)
A
AN NA AL LY YS SE E C CO OM MB BI IN NA AT TO OI IR RE E
A
A. . A Ar rr ra an ng ge em me en nt ts s s si im mp pl le es s
« Un arrangement simple de p objets différents dans un ensemble de n objets différents est
une liste ordonnée de p objets pris dans les n objets donnés. »
Le nombre d’arrangements possibles est noté
!pn
1.......
.1pn...2n1nnAp
n
!pn
!n
 Exemple :
p = 9 (les 9 chiffres significatifs)
n = 3
Combien d’arrangements simples de 3 objets différents peut-on réaliser avec 9
chiffres ? Intuitivement : 9.8.7
Formule :
5049.8.7
!39
!9
A3
9
B
B. . A Ar rr ra an ng ge em me en nt ts s a av ve ec c r ré ép pé ét ti it ti io on ns s
C’est la même chose qu’un arrangement simple mais avec possibilité de répétition. On a donc
n possibilité pour le 1er chiffre, n pour le second, n pour le troisième... et ça jusque p.
Le nombre d’arrangements possibles est noté
pp
nnB 
C
C. . P Pe er rm mu ut ta at ti io on ns s
La permutation est une liste ordonnée de n éléments pris n à n.
!nPn
D
D. . C Co om mb bi in na ai is so on n s si im mp pl le e
« La combinaison de n éléments différents pris p à p est une liste qui est un sous-ensemble de
l’ensemble de n éléments. Deux listes diffèrent uniquement par la nature des éléments. »
Ce nombre de combinaisons est noté :
!pn!p
!n
P
A
C
p
p
n
p
n

2
Remarque : cela signifie que 123, 321, 312 sont une seule et même liste ! C’est d’ailleurs pour
ça que l’on divise par Pp.
E
E. . P Pr ro op pr ri ié ét té és s
1
!0n
!n
C0
n
n
!1n
!n
C1
n
1
!n!nn
!n
Cn
n
0Cnp p
n
pn
n
p
nCC 
Démo :
!p!pn
!n
!pn!pnn
!n
Cpn
n
1p
n
p
n
1p
1n CCC 
Démo :
!pn!1p
!1n
C1p
1n 
!pn!1p
1n!n
!pn!1p
pn!n1p!n
!1pn!1p
!n
!pn!p
!n
CC 1p
n
p
n
F
F. . B Bi in nô ôm me e d de e N Ne ew wt to on n ( (i im mp po or rt ta an nt t ! !) ) e et t t tr ri ia an ng gl le e d de e P Pa as sc ca al l
1yx 0
y1x1yx 1
22
2y1xy2x1yx 
3223
3y1xy3yx3x1yx 
Utilisation
1.
nnnn
n
22n2
n
11n1
n
00n0
n
nyxC...yxCyxCyxCyx  
n
0k
kknk
nyxC
2. Puissances de 11 : chaque ligne du triangle de Pascal correspond à une puissance
de 11 : 1, 11, 121, 1331, ...
3. Puissances de 2 : l’addition des nombres de chaque ligne donne une puissance de
2 : 1, 2, 4, 8, 16, ...
Remarque : quand on a
n
yx 
, la formule change légèrement, on ajoute un (-1)k :
n
0k
kkn
k
k
nyx1C
! 
Attention, ne
pas oublier
que 0 ! = 1
1
1
1
1
1
2
3
1
1
3
=
0
0
C
2
2
C
n° de la ligne

3
 Exemple :
Soit
6
2
x2
1
x2 
Donner, si il existe, le terme en x3
1. Tout d’abord, mettre ce binôme sous forme de somme :
6
0k
k
k6
2
k
k
6x2
1
x21C
2. Ensuite, développer les facteurs en x (ici, il y en a deux mais parfois seulement
un, comme c’est le cas avec x + y) :
kkk212k6 x2xx22 
3. On peut enlever le 2-6 qui n’influence pas le k. On veut un x3, donc :
3kk212 xxxx 
3k312 xx 
12-3k = 3
k = 3
4. Maintenant on peut remplacer k par 3 dans la formule de départ et trouver le
terme en x3 :
3
3
3
2
3
3
6x20
x2
1
x21C 
P
PR RO OB BA AB BI IL LI IT TE ES S E EL LE EM ME EN NT TA AI IR RE ES S
A
A. . D Dé éf fi in ni it ti io on ns s
Lancé d’un dé (pipé ou non)
Expérience aléatoire : lancer d’un dé
Ensemble de tous les événements possibles
6,5,4,3,2,1
Evénement élémentaire : obtenir le point 2 (un élément de )
1
aA2 
2
aB3 
Evénement : sous ensemble de  (exemple : obtenir un nombre pair)
6,4,2A 
Evénement certain :  et événement impossible :
Algèbre de Boole :
1.
BA
réalisation de l’événement A OU de l’événement B
2.
BA
réalisation de l’événement A ET de l’événement B
AC CA
événement contraire / complémentaire de A
Si
BA
0, A et B sont deux événements contradictoires (pas spécialement
complémentaires !)
Probabilité :
Pr : P
1
1,0
A Pr (A)
1
P « ronde » de  : ensemble de tous les sous ensemble d’

4
B
B. . P Pr ro op pr ri ié ét té és s
 AB
P (A\B) = P (A) – P (B)
0P 
 AB
APBP 
Relation de Boole :
A, B P
BAPBPAPBAP 
Evénements équiprobables :
possiblescas
favorablescas
AP 
P
PR RO OB BA AB BI IL LI IT TE E C CO ON ND DI IT TI IO ON NN NE EL LL LE E
A
A. . D Dé éf fi in ni it ti io on n
A, B, deux événements
BAP
2
= probabilité que l’événement A se réalise sachant que l’événement B est réalisé
BP
BAP
déf
Remarques :
1.
BPBAPBAP 
2.
AP
BAP
ABP 
B
B. . T Th hé éo or rè èm me e d de es s p pr ro ob ba ab bi il li it té és s t to ot ta al le es s
Partition de 
n21 A,...,A,A
 ji AA
 =
n
1i
i
A
Soit une partition de  : P (B) =
BAP...BAPBAP n21 
Or on ne connaît pas P(B) ! Donc on utilise la formule
précédente :
P (B) =
nn2211 APABP...APABPAPABP 
n
1i
ii APABPBP
2
Se lit : probabilité de « A si B »
A6
B
A1
A3
A4
A5
A7
A2

5
C
C. . T Th hé éo or rè èm me e d de e B BA AY YE ES S o ou u r re en nv ve er rs se em me en nt t d de es s c co on nd di it ti io on ns s
BP
BAP
BAP déf
BP
APABP
(remarque (2))
n
1i
ii
ii
APABP
APABP
 Exemple :
Une boîte A contient 3 billes bleues et 2 billes rouges. La boîte B contient 2 billes
bleues et 5 billes rouges. On tire une des billes dans une des deux boîtes, également
choisie au hasard. On constate que c’est une bleue. Quelle est la probabilité qu’elle
vienne de la boîte A ?
On demande :
leueBAP
Or on connaît le contraire, c’est-à-dire
ABleueP
=
5
3
On utilise le théorème de Bayes :
31
21
2
1
.
7
2
2
1
.
5
3
2
1
.
5
3
BPBBleuePAPABleueP
APABleueP 
D
D. . I In nd dé ép pe en nd da an nc ce e d de e d de eu ux x é év vé én ne em me en nt ts s
Si
BP.APBAP déf
AP
BP
BAP
BAP 
V
VA AR RI IA AB BL LE E A AL LE EA AT TO OI IR RE E
A
A. . D Dé éf fi in ni it ti io on n
Une variable aléatoire est une application :  
A  X (A), un nombre
Variable aléatoire discrète
« Une variable aléatoire est dite discrète lorsque la variable prend un nombre fini ou
dénombrable de valeurs possibles. »
Exemple 1 : On lance deux dés .
12,...,5,4,3,2;...2,2;2,1;1,1:X 
 aXa
la somme des points