Démonstration

LA FONCTION EXPONENTIELLE
Modéliser : consiste à proposer une description mathématique de phénomènes du monde
réel à partir de données observées, par exemple au moyen d’une fonction.
Le nombre de noyaux (ou d’atomes) d’une source radioactive diminue au cours du temps,
tout noyau étant instable et susceptible de se désintégrer.
En physique, l’expérience montre que si l’on considère une population de noyaux
radioactifs, le nombre moyen de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps
t à partir d’un instant t (rapporté au nombre total de noyaux N(t) présents à l’instant t et
pendant le temps d’observation t) est une constante , probabilité de désintégration du
noyau en question et donc caractéristique de ce noyau ( est appelée constante radioactive).
Ainsi N(t) = - N(t)t que les physiciens modélisent par N’(t) = - N(t).
On obtient alors une équation particulière liant une fonction inconnue et sa dérivée.
Une telle équation est dite équation différentielle : t représente la différence entre deux
instants proches ; on a donc une équation portant sur des différences d’où le nom d’équation
différentielle.
I. Introduction de la fonction exponentielle
A. Définition : Résoudre sur un intervalle I de  l’équation y’ = ky c’est rechercher
toutes les fonctions f dérivables sur l’intervalle I qui vérifient la relation
f ’(x) = kf(x) pour tout x de I.
En physique on écrit aussi dy = kydx ou encore
dy
 ky .
dx
B. Résolution de f’ = f avec f(0) = 1
1. Propriété : S’il existe une fonction f dérivable sur  telle que f ’ = f et f(0) = 1,
alors f ne s’annule pas sur .
(La condition f(0) = 1 est appelée condition initiale).
Démonstration
Soit  la fonction définie sur  par(x) = f(x)f(-x).
En utilisant le théorème de dérivation des fonctions composées on a :
’(x) = f’(x)f(-x) - f(x)f’(-x).
Puisque f’ = f, ’(x) = f(x)f(-x) - f(x)f(-x). Donc ’(x) = 0 pour tout réel x. La fonction 
est donc constante sur  et comme f(0) = 1, (0) = 1.
Ainsi, pour tout x réel, (x) = 1. S’il existait un réel a tel que f(a) = 0 alors (a) = 0 ce qui
est en contradiction avec (x) = 1 pour tout réel x.
La fonction f ne peut donc pas s’annuler.
2. Théorème et définition : Il existe une et une seule fonction f dérivable sur  telle
que f’ = f et f(0) = 1.
On appelle fonction exponentielle l’unique fonction f
dérivable sur  telle que f ’ = f et f(0) = 1.
On note provisoirement f = exp.
Démonstration
L’existence d’une telle fonction est admise. On en démontre l’unicité.
Soit g une autre fonction dérivable sur  telle que g’ = g et g(0) = 1.
On a démontré dans le paragraphe précédent que la fonction f ne s’annulait pas sur . Par


 g  g ' f  fg '
g
g
suite la fonction
est dérivable sur . De plus   
donc    0. La
2
f
f
g
 
f
g
fonction est donc constante sur . D’où g = Cf, C désignant une constante réelle
f
déterminée par le fait que g(0) = 1. Or, f(0) = 1 également, donc C = 1 et donc g = f.
D’où l’unicité de la fonction f.
C. Une représentation graphique approchée de la fonction exponentielle
avec la méthode d’Euler
 Dans de nombreux problèmes, il arrive que l’on connaisse la dérivée f ’ d’une fonction f et
une valeur de f en un point (ou la condition initiale f(x0) = y0) mais que l’on ne connaisse pas
la formule explicite de f.
Par exemple, on peut connaître la vitesse d’un projectile et sa position à l’instant t = 0 mais
ne pas connaître la loi horaire de ce projectile.
 Pour n’importe quelle fonction f définie et dérivable sur un intervalle I, quel que soit le
point x de I, pour un réel h proche de 0,
f(x + h) est proche de f ’(x)h + f(x).
h est appelé le pas. Plus le pas h est proche de zéro, plus les points obtenus sont proches de
la courbe exacte.
La méthode d’Euler consiste à construire le point A0(x0, y0), à choisir un réel h et,
puisqu’on connaît f ’(x0), à construire le point A1 d’abscisse x1 = x0 + h et d’ordonnée
y1 = f ’(x0) h + f(x0).
De même, à partir de A1, on peut construire le point A2(x1 + h, f ’(x1) h + f(x1)), puis ainsi
de proche en proche, on place les points An de coordonnées (xn, yn) telles que :
xn = xn-1 + h et yn = f ’(xn-1) h + f(xn-1) avec n  1.
La succession des segments [A0A1], [A1A2], …, [An-1An], … donne une représentation
approchée de la fonction f qui dépend du pas h choisi.
Dans le cas de la fonction exponentielle, f ’ = f donc : exp(x0 + h) = (1 + h) exp(x0).
Ainsi, pour x0 = 0 et h > 0, exp(h) = 1 + h puis
exp(2h) = exp(h + h)  exp(2h) = (1 + h)exp(h)
 exp(2h) = (1 + h)2.
Et ainsi de suite, pour tout entier n, exp(nh) = (1 + h)n.
On remarque que les termes de la suite définie sur  par exp(nh) sont peu différents des
termes de la suite géométrique définie par (1 + h)n.
Autrement dit, la fonction exponentielle apparaît comme une sorte de « prolongement
continu » des suites géométriques.
II. Propriétés de la fonction exponentielle
A. Propriétés : 1. Quels que soient les réels a et b, exp(a + b) = expaexpb.
2. Quels que soient les réels a et b et l’entier n,
1
exp a
exp(2a) = (exp(a))2, exp(- a) =
, exp(a – b) =
, exp(na) = (exp(a))n.
exp a
exp b
3. Quel que soit le réel a, exp(a) > 0.
Démonstration
1. Quels que soient les réels a et b, on considère la fonction g définie sur  par :
g(x) = f(a + b – x)f(x)
où f est la fonction exponentielle.
g est dérivable sur  et g’(x) = - f’(a + b –x) f(x) + f(a + b – x)f(x) = 0 car f’ = f.
La fonction g est donc constante. De plus,
g(0) = f(a + b)f(0) = f(a + b) et g(b) = f(a) f(b).
Or, on a démontré que la fonction g était constante. Donc f(a + b) = f(a) f(b) c’est-à-dire
exp(a + b) = exp(a) exp(b).
2. Quel que soit le réel a, exp(2a) = exp(a) exp(a) donc exp(2a) = (exp(a))2.
Quel que soit le réel a, exp(0) = exp(a – a) = exp(a + (- a)) = exp(a) exp(-a).
1
Comme exp(0) = 1, exp(- a) =
.
exp a
On en déduit que, quels que soient les réels a et b, exp(a – b) = exp(a + (-b)) donc que :
exp a
exp(a – b) =
.
exp b
On démontre ensuite par récurrence sur l’entier naturel n que, quel que soit l’entier naturel
non nul n, exp(na) = (exp(a))n.
De plus, exp(0) = exp(0a) = 1 = (exp(a))0.
1
1
Soit maintenant un entier naturel non nul n, exp(-na) =

 (exp(a)) n .
n
exp(na) (exp(a))
2

a a
 a 
3. Quel que soit le réel a, exp(a) = exp    = exp  exp   . Donc exp(a) > 0.
2 2
 2 

B. Théorème : La fonction exponentielle est la seule fonction dérivable sur , non nulle,
telle que f(a + b) = f(a)f(b) et f ’(0) = 1.
Remarque : La relation fonctionnelle f(a + b) = f(a)f(b) associée à la condition f(0) = 1 est
caractéristique de la fonction exponentielle.
Démonstration
 On sait que la fonction exponentielle vérifie les quatre propriétés énoncées dans ce
théorème.
 Soit f une autre fonction vérifiant ces quatre conditions.
Soit a un réel fixé, la fonction x  f(a + x) est dérivable sur  en tant que composée de la
fonction affine : x  a + x et de la fonction f.
De même, la fonction : x  f(a)f(x) est dérivable sur .
En dérivant les deux membres de l’égalité f(a + x) = f(a)f(x) on obtient :
f’(a + x) = f(a)f’(x).
D’où, pour x = 0, f’(a) = f(a) quel que soit le réel a.
Ainsi, la fonction f est une solution de l’équation f’ = f.
De plus, f(a + 0) = f(a)f(0) et il existe au moins un réel a tel que f(a)  0 par hypothèse.
Donc f(0) = 1.
En conclusion, f est solution de f’ = f et vérifie f(0) = 1. On en déduit que f est la fonction
exponentielle.
III. la notation ex
Définition : L’image de 1 par la fonction exponentielle est notée e.
Remarque : C’est en 1728 qu’Euler utilisa pour la première fois cette notation.
Ce nombre e, de même nature que , c’est-à-dire irrationnel transcendant, a une
valeur voisine de 2,718.
Les propriétés démontrées dans le paragraphe précédent permettent d’écrire, pour tout entier
n de ,
exp(n) = exp(n1) = (exp1)n = en.
Par convention, on prolonge cette notation à l’ensemble  des nombres réels. Ainsi,
Quel que soit le réel x, exp(x) = ex.
Les propriétés de la fonction exponentielle déjà démontrées s’écrivent alors, avec cette
nouvelle notation :
La fonction : x  ex est définie et dérivable sur  et elle est sa propre dérivée ;
e0 = 1 et e1 = e ;
ea
quels que soient les réels a et b, ea + b = eaeb , ea - b = b ;
e
a n
quel que soit le réel a et quel que soit l’entier n de , (e ) = ean ;
quel que soit le réel a, ea > 0.
IV. Etude de la fonction exponentielle
A. Sens de variation et limites
La fonction exponentielle est définie et dérivable sur  et elle est sa propre dérivée.
Comme ex > 0 quel que soit le réel x, la fonction exponentielle est strictement croissante
sur .
lim e x    et lim e x  0
x 
x 
..
Démonstration
 Soit f : x  ex – x. f est donc une fonction définie et dérivable sur  et f’(x) = ex – 1.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur  donc,
x < 0  ex < e0 soit x < 0  ex < 1, ou encore x < 0  f’(x) < 0 ;
x > 0  ex > e0 soit x > 0  ex > 1, ou encore x > 0  f’(x) > 0 ; et f’(0) = 0.
Par conséquent la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle ]- , 0] et
strictement croissante sur l’intervalle [0, + [.
On en déduit que la fonction f admet un minimum en 0, de valeur f(0) = 1. Par suite, f est
strictement positive sur  et ex > x pour tout x réel.
Comme lim x    , lim e x    .
x
x
 Pour déterminer la limite de la fonction exponentielle à - , on pose X = - x.
1
lim e x  lim e  y donc lim e x  lim y et donc lim e x  0 compte tenu de ce qui a été
x
y 
x
y  e
x
démontré précédemment.
lim
h 0
eh -1
 1 et, pour h voisin de 0, ex = 1 + h.
h
Démonstration
La fonction exponentielle est dérivable en zéro et son nombre dérivé en ce point est égal à
1d’où le résultat.
On en déduit que, pour h voisin de zéro, eh = 1 + he0 + h(h) avec lim   0 .
0
h
Autrement dit, pour h voisin de zéro, e = 1 + h.
B. tableau de variation et représentation graphique
x
ex
exp
-
0
+
1
1
+
e
+
0
T1
y
T2
T1 : y = ex
T2 : y = x + 1
C : y = ex
e
1
C
x’
-1
O
x
1
y’
C. Autres limites
ex
   et lim xe x  0
x  x
x - 
lim
Démonstration
x2
 On considère la fonction f définie sur  par f(x) = e –
. f est deux fois dérivable sur 
2
et f’(x) = ex – x et f  (x) = ex – 1.
Pour tout x de l’intervalle ]0, + [, ex > 1 donc f  (x) > 0. De plus, f  (0) = 0.
On en déduit que la fonction f’ est strictement croissante sur l’intervalle [0, + [.
D’autre part f’(0) = 1. Par conséquent, f’(x) > 0 sur l’intervalle [0, + [.
En conclusion, la fonction f est strictement croissante sur ce même intervalle. Et f(0) = 1.
Comme précédemment, on en déduit que f(x) > 0 sur .
x
x2
Ainsi, pour tout x de l’intervalle [0, + [, e >
et, pour tout x de l’intervalle ] 0, + [,
2
ex x
 .
x 2
x
ex
lim    donc lim
  .
x 2
x x
x
 Pour la deuxième limite, on pose y = - x.
Exercices : 1. Calculer la limite en +  des fonctions f définies par :
1
 x -1 
–3x+1
x
f(x) = e
; f(x) = exp 
 ; f(x) = x e .
 x  1
2. Calculer de même la limite en -  de f telle que f(x) = x e5x .
D. Equations et inéquations
Propriété : Quels que soient les réels a et b,
ea > eb  a > b, et ea = eb  a = b.
Démonstration
 Si a > b alors ea > eb car la fonction exponentielle est strictement croissante sur .
Réciproquement, si ea > eb alors a > b car on ne peut avoir a  b. La fonction exponentielle
étant strictement croissante sur , a  b  ea  eb .
 Par définition d’une fonction, si a = b alors ea = eb .
Réciproquement, si ea = eb, comme précédemment on ne peut avoir a < b ni a > b. Donc
a = b.
Exercices : Résoudre dans  les équations et inéquations suivantes
1. e – x + 7 = e x + 3 ;
2. e 2x + 2 e x - 3 = 0 ;
3. e 2x  1.
V. Fonctions composées x  eu(x)
A. Propriété : La dérivée de la fonction : x  eu(x) est u’(x) eu(x).
Démonstration
On applique le théorème de dérivation des fonctions composées.
Exercice : Calculer f ’(x) pour chacune des fonctions f définies par :
f(x) = e–3x ; f(x) = ecosx ; f(x) = (x + 3) e2x ;
e 2x - 1
f(x) = 2x
; f(x) = (x2 – 2x + 2) e-3x .
e 1
2
B. Etude des fonctions particulières fk : x  e – kx et gk : x  e - kx où k  +*
Ces fonctions sont à valeurs dans +*.
Elles sont définies et dérivables, donc continues, sur .
On peut aussi noter que les fonctions gk sont paires et donc que l’on pourra restreindre leur
étude à +.
Et, pour tout x de ,
fk’(x) = - ke – kx.
Comme k > 0, fk’(x) < 0 et les fonctions
fk sont strictement décroissantes sur .
On démontre que :
lim e - kx    et lim e - kx  0 .
x - 
Et, pour tout x de ,
2
gk’(x) = - 2kx e - kx .
Comme k > 0, gk’(x) a le signe de (-x).
Ainsi, les fonctions gk sont strictement
décroissantes sur +.
2
On démontre que : lim e - kx  0
x 
x 
Donc l’axe des abscisses est asymptote à Donc l’axe des abscisses est asymptote à
la courbe représentative de ces fonctions. la courbe représentative de ces fonctions.
x -
fk’(x)
fk + 
0
-
+
1
x 0
gk’(x) 0
gk 1
+
-
0
0
C fk
C gk
VI. Equations différentielles
A. L’équation différentielle f’ = kf
Théorème : Soit k un réel donné non nul.
L’ensemble des solutions, dans , de l’équation différentielle y’ = ky est
l’ensemble des fonctions f : x  Cekx où C désigne une constante réelle
arbitraire.
Quels que soient les réels x0 et y0, l’équation y’ = ky admet une solution
unique telle que f(x0) = y0 (condition initiale).
Démonstration
Soit S = {f solutions de y' = ky} et P = {f : x  Cekx}.
Le but de cette démonstration est de démontrer que S = P .
 On vérifie facilement que les fonctions f : x  Cekx où C désigne une constante réelle
arbitraire sont solutions de l’équation y’ = ky.
Donc P  S .
 Inversement, soit f une fonction de S donc une solution de l’équation proposée et g la
fonction définie sur  par : g(x) = e-kxf(x).
g est définie et dérivable sur  et g’(x) = -ke-kxf(x) + e-kxf’(x).
Comme f’(x) = kf(x), on en déduit que g’(x) = 0.
Donc g est une fonction constante sur  c’est-à-dire que e-kxf(x) = C où C désigne une
constante réelle arbitraire.
D’où le résultat S  P .
 Les deux inclusions permettent de conclure que P = S .
La condition initiale f(x0) = y0 impose alors l’unicité de la constante C.
Exercice : a. Déterminer la fonction f solution de l’équation y’ + 2y = 0 telle que la courbe
représentative de f passe par le point A(- 3 ; 2).
b. Déterminer la fonction f solution de l’équation – y’ + 4y = 0 telle que la courbe
représentative de f admette au point d’abscisse – 1 une tangente de coefficient directeur – 4.
Remarque : Si k = 1, x0 = 0 et y0 = 1, la solution est la fonction exponentielle.
Exercice : Soit C(t) la concentration (en mg.l-1) d’un médicament dans le sang, en fonction
du temps t, t  0, t étant exprimé en heure. La vitesse d’élimination du médicament par
l’organisme est proportionnelle à la quantité de médicament restant dans le sang à cet
instant. La constante d’élimination est égale à 0,25. La concentration initiale est de 5 mg.l-1.
a. Expliquer l’égalité C’(t) = - 0,25C(t) et déterminer l’expression de C(t).
b. Etudier le sens de variation de C et calculer sa limite en + .
Tracer la représentation graphique de C.
c. Donner un encadrement à 0,1 près de l’instant t0 à partir duquel C(t) < 2.
B. Equations différentielles du type y’ = ay + b où a  *
L’équation différentielle y’ = ay + b est appelée équation différentielle linéaire du
premier ordre à coefficients constants.
Propriété : Les solutions de l’équation (E) y’ = ay + b, où a  * et b  , sont les
fonctions
b
f : x  Ceax a
Il y a une solution unique dont la courbe passe par un point donné A(x 0, y0).
Démonstration
Soit S = {f solutions de y' = ay + b} et P = {f : x  Ceax -
b
}.
a
Le but de cette démonstration est de démontrer que S = P .
 Soit f une fonction de P donc f : x  Ceax dérivable sur  et
b
. f est solution de (E) car f est définie et
a
f ’(x) = Caeax  f '(x) = a  Ceax   
a a
b

b

b
 f '(x) = a  f ( x)  

a
 f '(x) = af(x) + b.
Donc P  S .
 Inversement, soit g une fonction de S donc une solution de (E).
Alors f : x  g(x) +
b
est une solution de y’ = ay car
a
b
f ’(x) = g’(x) = ag(x) + b = a  g ( x)   = af(x).

On en déduit que : g(x) = f(x) Donc S  P .
a
b
b
soit g(x) = Ceax - .
a
a
 Les deux inclusions permettent de conclure que P = S .
La condition initiale f(x0) = y0 impose alors l’unicité de la constante C.
Exercice : Résoudre l’équation différentielle (E) y’ = 3y – 6.
Déterminer la solution f de (E) telle que f(2) = - 1.
Exercice (France métropolitaine – septembre 2007)
  
On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur   ;  :
 2 2
(E) y' + (1 + tanx)y = cosx
(E0) y' + y = 1.
1. Donner l'ensemble des solutions de l'équation (E0).
  
2. Soient f et g deux fonctions dérivables sur   ;  et telles que :
 2 2
f(x) = g(x)cosx.
Démontrer que la fonction f est solution de (E) si, et seulement si, la fonction g
est solution de (E0).
3. Déterminer la solution f de (E) telle que f(0) = 0.