46, 47. La moyenne, la variance, l`écart type d`une série statistique I

1
IG Savoirs 46 à 53
46, 47. La moyenne, la variance, l’écart type d’une série statistique I ..... 2
46, 47. La moyenne, la variance, l’écart type d’une série statistique II .... 3
49 à 53 Statistique double ....................................................................... 4
0) Calculer le chiffre des ventes et le budget de publicité moyen pour
les 6 dernières années. ....................................................................... 5
1) Dans un repère orthogonal adapté construire le nuage statistique de
la série statistique double (placer le point moyen). .............................. 6
2) Calculer la covariance de cette série statistique double. ................. 6
3) Calculer le coefficient de corrélation de la série statistique double .. 7
4) Trouver une équation de la droite d’ajustement des moindres carrés
de cette série statistique double. ......................................................... 8
5) Prévoir le chiffre des ventes pour un budget de publicité de 37
milliers d’euros..................................................................................... 8
6) Donner la validité de cette prévision. ............................................... 8
2
46, 47. La moyenne, la variance, l’écart type d’une série statistique I
Exemple 1
Calculer la moyenne et la variance (de deux façons) de la série statistique
suivante :
x1  1, x 2  11, x 3  18
Solution
Moyenne
x  x 2  x 3 30
x 1

 10.
3
3
Variance (calcul direct)
(x  x ) 2  (x 2  x ) 2  (x 3  x ) 2 (9) 2  (1) 2  (8) 2
V( x )  1

 48,67.
3
3
Variance (utilisation de la formule de la variance)
x12  x 2 2  x 32
12  112  18 2
2
V( x ) 
 (x) 
 10 2  148,67  100  48,67.
3
3
L’écart type
(x)  V(x) , (x)  6,98
3
46, 47. La moyenne, la variance, l’écart type d’une série statistique II
Exemple 2 Voici une statistique dont les valeurs sont regroupées en effectifs :
Pour i=1, 2,3, la valeur de x i a pour effectif n i (apparaît n i fois ).
ni
i
xi
1
2
3
2
4
2
3
6
5
Ici les valeurs étudiées sont : (2, 2,2, 4, 4, 5, 5, 5, 5,5).
Calculer la moyenne, la variance (de deux façons), l’écart type.
Pour calculer la moyenne et la variance, on peut présenter les calculs dans un
tableau.
Solution
xi
2
4
6
m
ni
3
2
5
10
Total 1
xi ni
6
8
30
44
Total 2
(xim) 2
5.76
.16
2.56
Total 2 44
Total 3 30.4
 ; V( x ) 

 3.04
Total1 10
Total1 10
(xim) 2 ni
17.28
.32
12.8
30.4
Total 3
( x )  3,04  1,74
Pour calculer la variance on peut utiliser la formule de la variance:
xi
(0)
ni
(I)
xi  ni
(II)
x 2  n i  x i  (x i  n i )
i
2
3
6
2 2  3  2  ( 2  3)  2  6
4
6
2
5
Total :
10
8
30
Total :
44
44
m
10
32
180
Total : 224
(III )  (0)  (II )
224  44  2
V
    3,04
10  10 
4
49 à 53 Statistique double
48) Représenter un nuage statistique
49) Calculer la covariance d’une série statistique double
50) Calculer le coefficient de corrélation d’une série statistique double
51) Donner une équation de la droite d’ajustement des moindres carrés
52) Effectuer une prévision
53) Donner la validité d’une prévision par la méthode des moindres
carrés
Exemple
1
2
3
4
5
6
i
x i 26 27 29 31 32 35
y i 4.5 4.8 4.95 5.1 5.25 5.4
Ce tableau donne pour une société le chiffre des ventes en milliers et le budget
de publicité correspondant pour les 6 dernières années notées i de 1à 6.
Pour l'année i le budget de publicité est x i, le chiffre des ventes est y i
Travail à faire pour étudier cette statistique
0) Calculer le chiffre des ventes et le budget de publicité moyen pour les 6
dernières années.
Calculer la variance est l'écart pour les chiffres des ventes et les budgets de
publicité pour les 6 dernières années.
1) Dans un repère orthogonal adapté construire le nuage statistique de la série
statistique double (placer le point moyen).
2) Calculer la covariance de cette série statistique double.
3) Calculer le coefficient de corrélation de cette série statistique double.
4) Trouver une équation de la droite d’ajustement des moindres carrés de cette
série statistique double.
5) Prévoir le chiffre des ventes pour un budget de publicité de 37 milliers
d’euros.
6) Donner la validité de cette prévision.
5
Réponses
0) Calculer le chiffre des ventes et le budget de publicité moyen
pour les 6 dernières années.
6
6
 xi
 yi
x  30
x  i 1 , y  i 1
y5
6
6
Calcul de la variance de la série statistique x donnée par :
x i 26 27 29 31 32 35
i 6

( xi  x )2
V( x )  i 1
6
i 6
 xi2
 i 1
6
 ( x )2  9,33
( x )  3,055
Calcul de la variance de la série statistique y donnée par :
y i 4.5 4.8 4.95 5.1 5.25 5.4
i 6

( y i  y) 2
V( y)  i 1
( y)  0,296
6
i 6
 yi 2
 i 1
6
 ( y) 2  0,0875
6
1) Dans un repère orthogonal adapté construire le nuage statistique
de la série statistique double (placer le point moyen).
Il faut dessiner les points
M ( x i , yi ) avec i  1,2,3,4,5, 6
et le point M (x, y)  M(30;5) appelé " point moyen".
2) Calculer la covariance de cette série statistique double.
1
2
3
4
5
6
i
x i 26 27 29 31 32 35
y i 4.5 4.8 4.95 5.1 5.25 5.4
i 6
 ( x i  x )  ( y i  y)
cov(x, y)  i 1
6
(4)  (05)  (3)  (02)  ......

 0,875
6
La covariance se calcule plus simplement ainsi
i 6
 x i  yi
cov(x, y)  i 1
xy
6
26  45  27  48  .....

 30  5  0,875
6
7
3) Calculer le coefficient de corrélation de la série statistique double
Le coefficient de corrélation entre x et y est :
cov(x, y)
r ( x , y) 
V ( x )  V ( y)
Remarque
cov(x, y)
r( x, y) 
( x)  ( y)
cov(x, y)  0,875
V( x )  9,33
( x )  3,055
V( y)  0,0875
( y)  0,296
r ( x , y) 
0,875
 0968
3,055  0,296
Information très importante
Pour une série statistique double on a toujours :
cov(x, y)
 1  r ( x , y) 
 1
( x )  ( y)
Lorsque ce coefficient est proche de 1 ou de  1 la corrélation est forte et une
prévision est valable.
8
4) Trouver une équation de la droite d’ajustement des moindres
carrés de cette série statistique double.
La droite des moindres carrés de y en x admet dans le repère dans lequel le
nuage statistique a été représenté l’équation :
y  y  a ( x  x ).
Le coefficient directeur de cette droite ce calcule ainsi :
cov(x, y) 0,875
a

 0,093.
V( x )
9,33
Remarques
1) La droite des moindres carré de y en x passe par le point moyen
M ( x , y)
2) La droite des moindres carré de y en x admet pour équation
y  y  a (x  x)
soit : y  ax  b
avec : b  y  ax
y  5  0.093( x  30)
y  0.093 x  2.21
5) Prévoir le chiffre des ventes pour un budget de publicité de 37
milliers d’euros.
Une prévision du chiffre des ventes pour un budget de publicité de 37 milliers
d’euros est :
y  0.093  37  2.21
y  5.651
6) Donner la validité de cette prévision.
Le chiffre des ventes prévu pour un budget de publicité de 37 milliers d’euros
est : 5.651 milliers d’unités.
Cette prévision est valable car le coefficient de corrélation est proche de 1 :
r ( x, y)  0968
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