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Fişa nr. 3
Discipline : Mathématiques
Classe : XIe
Auteur : enseignant roumain de mathématiques
Niveau : A2
Thème du programme bilingue: Statistique descriptive et analyse des données
Ressources documentaires (et références) :
Manuel de mathématiques 𝟏𝒓𝒆𝒔 ES, Hachette, 2011;
http://www.scribd.com/doc/110879255/ Résumés de Chapitres Statistique Descriptive ;
Auteur Mr.EL KHAZZAR Aziz, Edition 2011-2012 ;
http://www.france-examen.com/fiches-cours/
Compétences/ Objectifs
1. Utiliser des propriétés caractéristiques d’une séries statistique– moyenne, la variance,
l’écart type/ médiane, quartiles, l’écart interquartile
2. Etudier une série statistique, comparer deux séries statistiques
3. Transposer en languaje mathématique par des moyens statistiques des problèmes pratiques.
Tâches
1. Identifier les indicateurs de dispersion utilisés en statistique
2. Déterminer la variance, l’écart type
3. Etudier l’homogènité d’une série statistique en utilisant les indicateurs de dispersion
Termes à expliquer:
Français
Roumain
La variance
Dispersia
Ecart type
Abaterea
patratica
Coeficient
variatie
Coefficient de variation
A expliquer
Media aritmetică ponderată a pătratelor
abaterilor liniare
medie Rădăcina pătrată a dispersiei
de Raportul (procentual) dintre abaterea medie
pătratică și media aritmetică
Mots clés: mathématiques, statistique, indicateurs statistiques
Déroulement :
Le professeur présente les autres indicateurs dispérsion utilisés dans une étude
statististique: La variance, l’ écart type, le coefficient de variation.
Les élèves applient en exercices et remplent une fiche de synthèse contenant
toutes les notions rencontrées.
Parcours:
Présenter les indicateurs statistiques et leurs utilisation.
Distribuer la fiche élève avec les énoncés des exercices.
Activité 1:
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f. Variance (notée V(x)) (mai este numită dispersie, notată 𝝈𝟐 )
Moyenne des carrés des écarts des valeurs à la moyenne.
Elle est donnée sous deux formes (formules) équivalentes :
2
𝑉(𝑥) =
𝑛1 (𝑥1 −𝑥̅ )2 +𝑛2 (𝑥2 −𝑥̅ )2 +⋯+𝑛𝑝 (𝑥𝑝 −𝑥̅ )
(3)
𝑁
Ou
1
1
𝑉(𝑥) = 𝑁 (𝑛1 𝑥12 + 𝑛2 𝑥22 + ⋯ + 𝑛𝑝 𝑥𝑝2 ) − 𝑥̅ = 𝑁 ∑𝑝𝑖=1 𝑛𝑖 𝑥𝑖2 − 𝑥̅ .
(4)
g. Ecart-type (numit şi abaterea medie pătratică, 𝝈 = √𝝈𝟐 )
C’est la racine carrés positive de la variance.
L’écart type est noté: 𝜎𝑥 . 𝜎𝑥 =√𝑉(𝑥).
(5)
h. Coefficient de variation CV (coeficient de variaţie)
𝜎
C’est le rapport de l’écart type à la moyenne arithmétique CV= 𝑥̅𝑥 .
Sa valeur offre des informations sur l’homogénité d’une série statistique.
(6)
Mesurer la dispérsion de la série



La dispérsion par rapport à la médiane se mesure par l’écart interquartille et
l’intervalle [𝑄1; 𝑄3] qui est insensible aux valeurs extrêmes.
La dispérsion par rapport à la moyenne se mesure par l’écart type et l’intervalle
[𝑥̅ − 𝜎; 𝑥̅ + 𝜎] qui est très sensibles aux valeurs extrêmes.
Si le coefficient de variation CV <30%, la série statistique est considerée homogène (la
moyenne, le mod et la médiane sont représentatives). Pour des valeurs de CV situées près
de la limite supérieure, la série est non homogène.
Activité 2:
Une grande surface compte, en fin de journée, le nombre de chèques cadeaux vendus. Ces
chèques sont de cinq types : 5 €, 10 €, 20 €, 50 € et 100 €.
10
5
20
100
50
Montant du chèque 𝒙𝒊
48
24
19
4
2
Nombre de chèques 𝒏𝒊
Indiquer la seule bonne réponse.
1. La valeur moyenne des chèques vendus est :
a. 15,25.
b. 37.
c.10.
2. L’écart type, arrondi à l’unité, de la série est :
a. 68.
b. 19.
c. 20
[3]
Piste de correction :
1. 𝑥̅ =
10∗48+5∗24+20∗19+100∗4+50∗2 1480
97
=
97
=15,25.
2.
̅
𝒙𝟏 − 𝒙
̅
𝒙𝟐 − 𝒙
̅
𝒙𝟑 − 𝒙
̅
𝒙𝟒 − 𝒙
̅
𝒙𝟓 − 𝒙
-5,25
-10,25
4,75
84,75
34,75
(𝒙𝟏 − 𝒙
̅) 𝟐
(𝒙𝟐 − 𝒙
̅) 𝟐
(𝒙𝟑 − 𝒙
̅) 𝟐
(𝒙𝟒 − 𝒙
̅) 𝟐
(𝒙𝟓 − 𝒙
̅) 𝟐
27,56
105,06
22,56
7182,56
1207,56
15
̅) 𝟐
𝒏𝟏 ∗ (𝒙𝟏 − 𝒙
̅) 𝟐
𝒏𝟐 ∗ (𝒙𝟐 − 𝒙
̅) 𝟐
𝒏𝟑 ∗ (𝒙𝟑 − 𝒙
̅) 𝟐
𝒏𝟒 ∗ (𝒙𝟒 − 𝒙
̅) 𝟐
𝒏𝟓 ∗ (𝒙𝟓 − 𝒙
1323
2521,5
428,69
28730,25
2415,13
1323+2521,5+428,69+28730,25+2415,13 35418,56
V(x)=
=
97
=365,1398 la variance
97
𝜎𝑥 = √𝑉(𝑥) = √365,1398 = 19,108 ≈ 19 l’écart type.
Activité 3:
Pour la série statistique précédente, calculer les indicateurs de position et caractériser la
dispérsion.
Les valeurs de la série, rangées en ordre croissant, sont :
Montant du chèque 𝒙𝒊
Nombre de chèques 𝒏𝒊
Fréquences cum. croiss.
5
24
24
10
48
72
20
19
91
50
2
93
100
4
97
N=97
N/2=48,5 donc la médiane est la 49𝑒 valeur ; Me=10.
N/4=24,25 on résulte que le quartile1 est la 25𝑒 valeur ; Q1=10.
3*N/4=72,75 le quartile 3 est la 73𝑒 valeur ; Q3=20.
L’intervalle interquartile [10, 20] mesure la dispérsion par rapport à la médiane.
La longuer de l’intervalle interquartile I=Q3-Q1, I=10. Donc, la plupart des valeurs de la série sont situées
près de la médiane.
L’étendue de la série e=100-5=95.
La dispérsion par rapport à la moyenne se mesure par l’écart type et l’intervalle [𝑥̅ − 𝜎; 𝑥̅ + 𝜎]=[3,75 ; 34,25], donc la série est dispérsée par rapport à la moyenne.
La représentation «en boite « :
𝑥𝑚𝑖𝑛
Q1 Me
5
CV=
10
𝜎𝑥
𝑥̅
𝑥𝑚𝑎𝑥
Q3
20
19
=15,25 ≈1,25=
50
125
100
100
. Le coefficient de variation a une grande valeur, donc la série
analysée n’est pas homogène.
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