Cours “Statistiques et Probabilités” - aa 2016-2017

Cours “Statistiques et Probabilités” - a.a. 2016-2017
TD 1.1
Propriétés de la moyenne et de la variance
Exercice 1 Soit X une V.A. discrète, son domaine étant {x1 , . . . , xn }, avec P (X = xi ) = pi .
1. Prouver que la variance satisfait V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 .
2. Considérons la V.A. aX + b, ainsi définie P (aX + b = axi + b) = pi . Prouver qu’elle satisfait
E(aX + b) = aE(X) + b.
3. Prouver qu’elle satisfait V ar(aX + b) = a2 V ar(X).
Exercice 2 Soit X une V.A. discrète comme dans l’exercice précédent. Soit Y une autre V.A. discrète,
son domaine étant {y1 , . . . , ym }, avec P (Y = yi ) = qi .
1. Définir la V.A. X + Y .
2. Définir la distribution de probabilité pour X + Y , sous l’hypothèse d’indépendance.
3. Prouver E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
Exercice 3 Répéter les exercices précédents avec un exemple numérique :

1

0 → 2
X := 1 → 14


2 → 14 ,
1. Décrire aX + b avec a = 2, b = 2. Calculer moyenne et variance.
2. Choisir Y avec la même distribution que X et décrire la V.A. X + Y dans les deux cas suivants :
— les variables X et Y sont indépendantes ;
— les tirages de X et de Y coïncident.
TD 1.2
Variables Aléatoires Discrètes
Exercice 4 Un épicier reçoit un lot de pommes, dont 25% avariées. Un employé prépare des emballages
de 5 pommes chacun. Chaque client qui trouve 2 ou plus pommes avariées retourne au magasin.
Soit X la V.A. “nombre de pommes avariées dans l’emballage”. Déterminer la loi de probabilité, sa
moyenne et sa variance.
Quelle est la probabilité qu’un client donné se plaigne auprès de l’épicier ?
L’épicier reçoit 100 clients. Soit Y la V.A. “nombre de clients qui se plaignent”. Déterminer la loi
de probabilité associée, sa moyenne et sa variance.
Combien de plaignants aura-t-on en moyenne ?