Cours “Statistiques et Probabilités” - aa 2016-2017

Cours “Statistiques et Probabilités” - a.a. 2016-2017
TD 1.1 Propriétés de la moyenne et de la variance
Exercice 1 Soit Xune V.A. discrète, son domaine étant {x1, . . . , xn}, avec P(X=xi) = pi.
1. Prouver que la variance satisfait V ar(X) = E(X2)−E(X)2.
2. Considérons la V.A. aX +b, ainsi définie P(aX +b=axi+b) = pi. Prouver qu’elle satisfait
E(aX +b) = aE(X) + b.
3. Prouver qu’elle satisfait V ar(aX +b) = a2V ar(X).
Exercice 2 Soit Xune V.A. discrète comme dans l’exercice précédent. Soit Yune autre V.A. discrète,
son domaine étant {y1, . . . , ym}, avec P(Y=yi) = qi.
1. Définir la V.A. X+Y.
2. Définir la distribution de probabilité pour X+Y, sous l’hypothèse d’indépendance.
3. Prouver E(X+Y) = E(X) + E(Y).
Exercice 3 Répéter les exercices précédents avec un exemple numérique :
X:= 
0→1
2
1→1
4
2→1
4,
1. Décrire aX +bavec a= 2, b = 2. Calculer moyenne et variance.
2. Choisir Yavec la même distribution que Xet décrire la V.A. X+Ydans les deux cas suivants :
— les variables Xet Ysont indépendantes ;
— les tirages de Xet de Ycoïncident.
TD 1.2 Variables Aléatoires Discrètes
Exercice 4 Un épicier reçoit un lot de pommes, dont 25% avariées. Un employé prépare des emballages
de 5 pommes chacun. Chaque client qui trouve 2 ou plus pommes avariées retourne au magasin.
Soit Xla V.A. “nombre de pommes avariées dans l’emballage”. Déterminer la loi de probabilité, sa
moyenne et sa variance.
Quelle est la probabilité qu’un client donné se plaigne auprès de l’épicier ?
L’épicier reçoit 100 clients. Soit Yla V.A. “nombre de clients qui se plaignent”. Déterminer la loi
de probabilité associée, sa moyenne et sa variance.
Combien de plaignants aura-t-on en moyenne ?