Série statistique double à l`aide d`un exemple

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Série statistique double à l’aide d’un exemple
Série statistique double: exemple..........................................................................2
Série statistique double: questions posées.............................................................3
Calcul de la covariance sur la base de l'exemple ..................................................4
Calcul du coefficient de corrélation sur la base de l'exemple...............................5
La droite des moindres carrés de y en x pour l'exemple......................................6
La prévision...........................................................................................................7
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Série statistique double: exemple
i
1 2 3 4 5 6
i
x
26 27 29 31 32 35
i
y
4.5 4.8 4.95 5.1 5.25 5.4
Ce tableau donne pour une société le chiffre des ventes en milliers et le budget
de publicité correspondant pour les 6 dernières années notées i de 1à 6.
Pour l'année i le budget de publicité est x
i
,le chiffre des ventes est y
i
.
Exercice
Calculer le chiffre des ventes et le budget de publicité moyen pour les 6
dernières années.
6
6
1i i
y
y,
6
6
1i i
x
x
∑∑
=
=
=
=
Calculer la variance est l'écart pour les chiffres des ventes et les budgets de
publicité pour les 6 dernières années.
Dans un repère orthogonal adapté placer les points
moyen". point " appelé )y,x(Mpointleet
61,2,3,4,5,i avec)
i
y,
i
x(M
=
Réponse
5y
30
x
=
=
Vocabulaire
L'ensemble des points obtenus s'appelle nuage statistique (associé à la statistique
double considérée).
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Série statistique double: questions posées
On reprend l'exemple précédent:
i
1 2 3 4 5 6
i
x
26 27 29 31 32 35
i
y
4.5 4.8 4.95 5.1 5.25 5.4
Ce tableau donne pour une société le chiffre des ventes en milliers et le budget
de publicité en milliers d'euros correspondant pour les 6 dernières années notées
i de 1à 6.
Pour l'année i le budget de publicité est x
i
,le chiffre des ventes est y
i
.
Question 1
Y a t il une corrélation entre le chiffre des ventes et le budget de publicité,
comment mesurer cette corrélation?
Pour répondre à cette question il faut calculer la covariance et le coefficient de
corrélation (voir plus loin).
Question 2
Peut-on donner une évaluation du montant des ventes pour un budget de
publicité par exemple de 37000 euros?
Pour répondre à cette question il faut effectuer un ajustement, par exemple
trouver l'équation d'une droite d'ajustement, par exemple: la droite des
moindres carrés (voir plus loin)
Question 3
L'évaluation effectuée dans la question 2 est-elle valable?
Si le coefficient de corrélation est proche de 1 ou de −1 l'évaluation effectuée
dans la question précédente est valable, sinon elle ne l'est pas (voir plus loin).
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Calcul de la covariance sur la base de l'exemple
Le tableau suivant est une série statistique double:
26 27 29 31 32 35
4.5 4.8 4.95 5.1 5.25 5.4
Cette série double est la suite des 6 couples
(
)
.6,5,4,3,2,1ipour
i
y,
i
x
=
{
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) }
.4.5
6
y,35
6
x,25.5
5
y,32
5
x,1.5
4
y,31
4
x
,95.4
3
y,29
3
x,8.4
2
y,27
2
x,5.4
1
y;26
1
x======
=
=
=
=
=
=
Définition de la covariance
6
6i
1i )y
i
y()x
i
x(
)y,xcov(
∑
=
=−×−
=
La covariance se calcule plus simplement ainsi
yx
6
6i
1i i
y
i
x
)y,xcov( ×−
=
=×
=
∑
Exercice
Calculer de deux manières la covariance de la série statistique double de
l’exemple.
Réponse
875
.
0
)
y
,
x
cov(
=
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Calcul du coefficient de corrélation sur la base de l'exemple
i
x
26 27 29 31 32 35
i
y
4.5 4.8 4.95 5.1 5.25 5.4
1) On calcule la variance de la série statistique x donnée par :
i
x
26 27 29 31 32 35
2
)x(
6
6i
1i
2
i
x
6
6i
1i
2
)x
i
x(
)x(V −
=
=
=
=
=−
=
∑∑
2) On calcule la variance de la série statistique y donnée par :
i
y
4.5 4.8 4.95 5.1 5.25 5.4
2
)y(
6
6i
1i
2
i
y
6
6i
1i
2
)y
i
y(
)y(V −
=
=
=
=
=−
=
∑∑
3) Le coefficient de corrélation entre x et y est :
)y(V)x(V
)y,xcov(
)y,x(r × =
Remarque
Y
x
)y,xcov(
)y,x(r σ×σ =
Ecart type de la série statistique x
)x(V
x=σ
Ecart type de la série statistique y
)y(V
y=σ
Information très importante
Pour une série statistique double on a toujours :
1
Y
x
)y,xcov(
)y,x(r1 +<
σ×σ
=<−
Exercice Calculer le coefficient de corrélation de la série double de l’exemple.
Réponse
968
.
0
)
y
,
x
(
r
=
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