DS10

DEVOIR SURVEILLÉ DE
MATHS N°10/2016
I) Équations différentielles (sur 8).
2
1) Résoudre dans 0,  l’équation différentielle x 1  x  y   x  1 y  x  1 .
2
2) Résoudre dans 1,  puis 1,  l’équation différentielle 1  x  y  1  x  y .
II) Étude d’une application linéaire et application à une suite récurrente (sur 20).
Un K- espace vectoriel E de dimension 4 est rapporté à la base B  i, j , k , l . On considère






 f i  j  k  l, f j  i  k  l,

l’endomorphisme f de E défini par 
.
 f k  i  j  l, f l  i  j  k ,

1) Déterminer le noyau de f ; que peut-on dire de f ?
2) Déterminer une base et un système d’équations cartésiennes des noyaux et images de f  id E
 
et f  3id E (on rappelle que  f  id E  u  f u  u ). On présentera les résultats dans un
tableau :
Base
ker  f  id E 
i  j,...........
Système d’équations
cartésiennes
ker  f  3id E 
Im  f  id E 
Im  f  3idE 
3) Vérifier que E  ker  f  id E   ker  f  3id E  ; si u se décompose en u1  u2 que vaut

f u ? Quelle est donc la nature géométrique de  f ?

n
u

ker
f

id
f
u


f


4) Soit n un entier naturel ; pour
E , que vaut


pour u  ker  f  3id E  ?


f .... f  u ? Et

n fois



n
5) En écrivant les valeurs obtenues de f u obtenues dans 4) pour chacun des vecteurs des
bases de ker  f  id E  et ker  f  3id E  , déduire les expressions de
     
4 f  i   u i  v  j  k  l  avec u
f n i , f n j , f n k , f n l en fonction de i, j , k , l (on trouvera par exemple
n
n
 3n  3  1 et vn  3n   1 ) ;
n
n
n

n
calculer les coordonnées xn , yn , zn , tn de f u
n
en fonction des coordonnées x, y, z, t de u .
6) A,B,C,D jouent au « jeu » suivant : A dit un nombre (disons 1), B dit un autre nombre (disons
2), C dit un troisième nombre (disons 3), et D dit un nombre (disons 4) (tour de table 0).
Ensuite, à chaque tour de table, chacun doit dire la somme des nombres dits par les trois autres
au tour de table précédent.
Au dixième tour de table, que diront respectivement A,B,C,D s’ils n’ont pas fait d’erreur ?
Indication : si an , bn , cn , d n sont les nombres dits respectivement au n-ième tour de table par
 
A,B,C,D, et si l’on pose u n  an i  bn j  cn k  dn l , vérifier que u n  f u n1 , puis utiliser les
résultats de 5).
III) Développements limités (sur 21).
On sait que deux fonctions f et g définies au voisinage de  vérifient, quand x tend vers  :
b c
b c
 1 
 1 
f  x   x  a   2  o  2  et g  x   x  a   2  o  2  .
x x
x x
x 
x 
1) Quelle est la meilleure précision que l’on peut espérer pour le développement de g  f  x  
quand x tend vers  ? Déterminer ce développement.
2) Supposant que g est la fonction réciproque de f sur un voisinage de  , déterminer les
coefficients du développement de g en fonction de ceux de f.
3) Appliquer ceci à la détermination du développement asymptotique de la réciproque de la
xe1/ x , après avoir justifié qu’elle possédait bien une réciproque au voisinage de
fonction f : x
 (cette réciproque étant définie sur un voisinage de  ) et admis que son développement est
1
du type précédent. Allure des courbes de f et f sur ce voisinage.
On suppose dorénavant a  1, b  0, c  1 .
On demande, pour chacune des fonctions g,h,k suivantes, de déterminer le meilleur
développement limité, polynomial ou généralisé, que l’on peut obtenir sachant que
1
 1 
f  x  x 1 2  o  2  :
x
x 
1
4) g  x   xf   quand x tend vers 0 ; que peut-on dire concernant la fonction g en 0 ? Allure
x
de sa courbe au voisinage de 0.
1

 1 x
5) h  x   1  x3 f    quand x tend vers 0.
 x 

x2
k
x



 . Allure de la courbe de k au voisinage de  .
6)
f  x  quand x tend vers
IV) Étude de fonction (sur 15)
1
On pose f  x  
ex
1
e x 1
1) Déterminer D f et calculer f  x   f   x  ; en déduire une réduction de l'intervalle d'étude,
en indiquant bien comment obtenir la courbe entière.
2) Montrer que lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures f  x   1  e

1
x
 1 
 o  e x  ; en


déduire le prolongement par continuité à droite en 0 (noté toujours f) et f d   0  .
3) Déterminer les variations de f sur l'intervalle d'étude.
4) Étudier la branche infinie à l'aide d'un développement limité (y compris la position par rapport
à l'asymptote).
5) Tracé de la courbe.
6) On admet que f est infiniment dérivable à droite en 0. Quel est alors le développement limité
polynomial à l'ordre n en 0 à droite ? Qu'en déduit-on pour les dérivées à droite successives de f
en 0 ?
V) Étude des matrices à magie verticale (sur 23).
On dit qu’une matrice carrée de M n  K  est verticalement magique (en abrégé : v-magique) si
toutes ses colonnes ont la même somme : s  K / j  1,.., n
n
 A  i, j   s ;
i 1
on note
VM n  K  l’ensemble de ces matrices v-magiques d’ordre n.
On rappelle que Ekl désigne la matrice de M n  K  dont tous les termes sont nuls sauf Ekl  k , l 
qui vaut 1.
A) Espace vectoriel VM n  K  .
1) Montrer que VM n  K  est un sous-espace vectoriel de M n  K  .
2)
a) Déterminer une base de VM 2  K  (justifier) ; en déduire sa dimension.
b) Retrouver cette dimension en utilisant une application linéaire de M 2  K  dans K dont le
noyau est VM 2  K  .
c) Déterminer une base de VM 2  K  dont les matrices ont des coefficients égaux à 0 ou 1 ;
1 4 
donner les coordonnées de 
 dans cette base.
 2 1
3) L’application linéaire f de VM n  K  dans K qui à toute matrice v-magique fait correspondre
sa somme s possède un noyau qui est l’ensemble des matrice v-magiques de somme nulle, noté
0
VM n  K  .
0
B  E  Enl 1 k  n 1
a) Vérifier qu’une base de VM n  K  est la famille 0  kl
; en déduire la
1l  n
dimension de VM n  K  .
0
b) En utilisant le théorème du rang pour f, en déduire la dimension de VM n  K  ; en donner aussi
une base (penser à la matrice identité).
1 4 0 


c) Donner par exemple, pour n = 3, les coordonnées de  5 4 0  dans cette base.
 2 0 8 
B) Anneau VM n  K  .
e f 
a b 
1) a) Montrer que le produit de deux matrices v-magiques 
et 
 est lui aussi v
g h 
c d 
magique.
b) Cas général : Montrer que le produit d’une matrice A v-magique d’ordre n de somme s par une
matrice B v–magique de somme t est une matrice v-magique de somme st.
0
2) Montrer que VM n  K  est un sous–anneau de M n  K  . VM n  K  en est-il un sous-anneau ?
LA SUITE DE CE PROBLÈME SERA A TRAITER DANS LE DM 11 ; ELLE NE FAIT
DONC PAS PARTIE DE CE DS.
3)
a) Une matrice v-magique de somme non nulle est-elle forcément inversible ?
b) Une matrice v-magique inversible a-t-elle forcément une somme non nulle ?
a b 
c) Soit 
 une matrice v-magique inversible ; montrer que son inverse est aussi
c d 
v-magique.
d) Soit A une matrice v-magique d’ordre n et B une matrice d’ordre n ; montrer que si
AB est v-magique de somme non nulle alors B aussi ; indication : calculer la somme de la j-ième
colonne de la matrice AB .
e) En déduire que l’inverse d’une matrice d’ordre n A, v-magique et inversible, est
aussi v-magique, ainsi que la réponse à la question b).
4) Que peut-on donc dire de l’ensemble des matrices v-magiques d’ordre n inversibles pour la
multiplication des matrices ?
5) On désigne par matrice stochastique une matrice v-magique dont la somme est égale à 1 et
dont tous les coefficients sont positifs ou nuls ; le produit de deux matrices stochastiques est-il
stochastique ?
6) Un endomorphisme f d’un espace vectoriel E de dimension n possède une matrice A dans une
base B et aussi une matrice A’ dans une base B' ; on suppose que A est v-magique et que la
matrice de passage de B à B' l’est également : la matrice A’ est-elle v-magique ?