generalites

M1 « Matériaux » CONCEPTION D’EXPÉRIMENTATIONS
LES VARIABLES ALÉATOIRES M1 - 3.1
LES VARIABLES ALÉATOIRES.
Il existe peu d’expériences dont la reproduction donne exactement le même
résultat. Dans certains cas, la dispersion des résultats est suffisamment faible pour
n’avoir aucune influence sur les conclusions qui sont déduites de l’expérience, mais
dans beaucoup d’autres cas les dispersions sont trop importantes pour pouvoir tirer
en toute certitude des conclusions valides. Il devient nécessaire dans ce cas
d’étudier et de modéliser les dispersions pour pouvoir s’affranchir ou tout au moins
quantifier les incertitudes qu’elles introduisent sur les conclusions de l’expérience.
NOTION DE VARIABLE ALÉATOIRE.
Supposons que nous voulions mesurer la résistance mécanique d’un alliage.
Nous usinons 10 éprouvettes dont nous mesurons la charge de rupture. Nous avons
alors 10 valeurs se répartissant entre 70 et 130 Kg. Aucune valeur autour des 100
Kg ne pouvant être exclue, la variable peut prendre toutes les valeurs réelles dans
ce domaine. Nous avons donc affaire à une variable continue.
Au contrôle réception d’un lot de pièces mécanique nous prélevons un
échantillon de 100 pièces et mesurons le nombre de pièces défectueuses sur cet
échantillon. Le nombre de pièces défectueuses sera un nombre entier, nous aurons
donc affaire à une variable discrète.
Une variable aléatoire est une variable dont la valeur mesurée
peut varier d’une expérience à une autre.
La force de traction des éprouvettes métalliques est donc une variable
aléatoire continue et le nombre de pièces défectueuses une variable aléatoire
discrète.
Nous pouvons représenter la force de traction des éprouvettes par
l’histogramme suivant :
Figure 1.3.01
15
10
5
0
%
Fréquence
70 80 90 100 110 120 130

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LES VARIABLES ALÉATOIRES M1 - 3.2
On peut observer sur cet histogramme que 5% des mesures se trouvent entre
80 Kg et 85 Kg. En supposant les points uniformément répartis dans un intervalle
deux fois plus petit de 80 à 82,5 Kg on aura donc 2,5% des points. On définit ainsi
une densité de probabilité f(x) qui serait dans cet intervalle de 1% par Kg. Une
représentation plus exacte de cette approximation est la ligne brisée dessinée sur la
figure. L’histogramme est une approximation de la densité de probabilité liée à
l’échantillon qui a servi à le définir. Pour obtenir la valeur exacte de cette densité de
probabilité, il faudrait disposer d’un échantillon infini ce qui est impossible à réaliser
pratiquement.
VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE.
Si l’on appelle X la variable aléatoire et f(x) sa densité de probabilité. La
probabilité pour que X soit compris entre deux valeurs a et b est égale l’aire sous la
courbe f(x) dans l’intervalle a b.
D’où la définition suivante :
Définition :
Si X est une variable aléatoire continue ayant f(x) pour densité de probabilité
alors la probabilité P pour que x soit compris entre a est b est la suivante :
 b
adxxfbXaP )()(
(1.3.01)
La somme des fréquences de toutes les classes d’un histogramme est égale a
l’unité de même la somme des probabilités sur l’ensemble du domaine est égale à 1.
Ceci s’exprime par la formule suivante :
1)()(  
 dxxfXP
(1.3.02)

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Moyenne et écart type d’une variable aléatoire continue.
Définition :
Si x est une variable aléatoire ayant une densité de probabilité f(x).
La moyenne µ de cette variable se calcule de la manière suivante :
dxxfx )(
(1.3.03)
L’écart type de cette variable de calcule de la manière suivante :
2222 )()()(
 dxxfxdxxfx
(1.3.04)
LA LOI NORMALE.
La plus courante des variables aléatoires continues est la distribution normale.
Dans la très grande majorité des cas la répétition d’une expérience donne des
résultats qui suivent cette loi. Nous montrerons plus loin la raison de cette quasi
universalité de la loi normale. Tous les phénomènes dont le résultat dépend de
multiples facteurs qui ont chacun une petite influence sur le résultat dans un sens ou
dans l’autre suivront la loi normale.
Cette loi se définit de la manière suivante :
Définition :
La variable aléatoire dont la densité de probabilité est :
2
2
2
)(
21
)(
x
exf
(1.3.05)
est une distribution normale de moyenne et d’écart type .

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La densité de probabilité de la loi normale est représentée par la courbe ci
dessous.
Figure 1.3.02
La courbe est symétrique par rapport à la moyenne  et, comme indiqué sur le
graphique, 68% de la surface sous la courbe se trouve à +/- 1 de la moyenne, 95%
à +/- 2 et 99,7% à+/- 3.
La fonction normale n’est malheureusement pas intégrable analytiquement et
les calculs se font soit avec des tables, soit avec des formules approchées dont un
exemple est donné en annexe de ce cours, soit par intégration numérique. Les
tables et les formules donnent les valeurs de la surface sous la courbe de la
distribution normale réduite dont la définition est la suivante :
Définition :
Une distribution normale de moyenne =0 et d’écart type =1 est une
distribution normale réduite.
Dans la suite de ce cours la loi distribution réduite sera appelée N.
68%
95%
99,7%
f(x)

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Figure : 1.3.03
Les tables donnent l’aire sous la courbe normale réduite entre - et x (Figure
1.3.03). La courbe étant symétrique la surface est donc de 0,5 pour x=0. Elle est
inférieure à 0,5 pour x<0 et supérieure à 0,5 pour x>0.
Tous les calculs faits avec la loi normale vont nécessiter de convertir une
distribution normale en distribution normale réduite et inversement.
Si X est une distribution normale de moyenne et d’écart type et N une
distribution normale réduite.
On passe de la distribution normale à la distribution normale réduite par la
formule :
X N
(1.3.06)
On passe de la distribution normale réduite à la distribution normale par la
formule :
NX
(1.3.07)
Exemple 1 :
La durée de vie d’une ampoule de projecteur a été mesurée à 200 heures avec
un écart type de 20 heures. Quel pourcentage d’ampoule sera usé à 170 heures.
La valeur normale réduite pour 170 heures est :
(170 – 200)/20 = -1,5
La valeur dans la table de la loi normale pour -1,5 est de 0,067
6,7 % des ampoules seront donc usées à 170 heures.
x0