recaprecur

Quelques équations courantes dans les recherches de complexité
d’algorithmes récursifs, et leur solution
Equation
Solution
T(n)=T(n-1)
T(n)=(1)
T(n)=T(n-1)+1
T(n)= (n)
T(n)=T(n-1)+nk
T(n)= (nk+1)
a>1, T(n)=aT(n-1)+ nk
T(n)= ( an)
a>1, T(n)=aT(n-1)+ an + nk
T(n)= (n an)
a,b>1, T(n)=aT(n-1)+bn
T(n)= (Max(an, bn))
T(n)=2T(n/2)+1
T(n)= (n)
T(n)=2T(n/2)+n
T(n)= (nlogn)
T(n)=2T(n/2)+ nk
T(n)= ( nk)
k<logba, T(n)=aT(n/b)+ nk
T(n)= (nlogb a)
k=logba, T(n)=aT(n/b)+ nk
T(n)= (logn nk)
k>logba, T(n)=aT(n/b)+ nk
T(n)= ( nk)
Equations de récurrences linéaires
Theorème 1
k
Soit (E) : un   ai un i une équation de récurrence linéaire homogène d’ordre k à coefficients
i 1
constants.
k
Si P( x )  x k   ai x k i le polynôme caractéristique associé possède t racines distinctes
i 1
r1 , r2 ,...., rt de multiplicité respectivement m1 , m2 ,...., mt , alors une suite vn est solution de (E) si
et seulement il existe des constantes ci , j ,1  i  t ,0  j  mi  1 , telles que
t
mi 1
i 1
j 0
vn   rin (  ci , j n j )
Théorème 2
Si spn est une solution particulière de l’équation de récurrence linéaire non homogène d’ordre
k
k à coefficients constants (E’) : un   ai un i  F ( n ) . Alors toute solution de (E’) est de la
i 1
k
forme spn  vn où vn est solution de (E) : un   ai un i , equation de recurence lineaire
i 1
homogène associée à (E’)
Théorème 3
Soit l’équation de récurrence linéaire non homogène d’ordre k à coefficients constants (E’) :
k
un   ai un i  F ( n ) avec F (n)  P(n) s n où P(n) est un polynôme en n de degré d.
i 1
Alors si s n’est pas racine du polynôme caractéristique associé à ( E), E’ admet une solution
particulière de la forme sp n  Q ( n ) s n , où Q(n) est un polynôme en n de degré d.
Si s est racine d’ordre k du polynôme caractéristique associé à ( E), E’ admet une solution
particulière de la forme sp n  Q ( n ) s n , où Q(n) est un polynôme en n de degré d+k.