Chapitre 2 : Limites et continuité

Chapitre 2 : Limites et continuité
Définition : on dit que la fonction f tend vers L (L € IR) en +∞, si tout
intervalle contenant l contient tous les f(x) pour x assez grands.
Propriétés :
 Si f admet une limite L en a, alors cette limite est unique
 Si f est une fonction usuelle et définie en a alors sa limite en a :
lim(xa) f(x) = f(a)
Lim(x0) sin(x)/x = 1
Asymptotes obliques
Si lim (x+∞) f(x)-(ax+b)=0, alors la droite d’équation y=ax+b est
asymptote à la courbe de f en +∞
Théorème admis :
Si lim (xa) f(x)=b et lim (xb) g(x) = L
Alors lim(xa) g o f = lim (xa) g(f(x)) = L
avec a, b, et L trois réels ou + - ∞
Théorème de comparaison ou des gendarmes
 Si pour x « assez voisin de a » on a u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) et si
lim (xa) u(x) = lim (xa) v(x) = L
alors lim (xa) f(x) = L
 Si on a u(x) ≤ f(x) et si lim (xa) u(x) = +∞
alors lim (xa) f(x) = +∞
Posons a = +∞ et notons lim (x+∞) u(x) = lim (x+∞) v(x) = L
et u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) .
Soit J un intervalle contenant L
Comme lim(x+∞) u(x) = L, cela signifie qu’il existe un réel B tel
que pour x>B on ait u(x) € J
De même, lim (x+∞) v(x) = L signifie qu’il existe un réel C tel que
pour x > C on ait v(x) € J
Ainsi puisque u(x) ≤ f(x) ≤ v(x),
si on prend un réel A > max (B ;C) alors f(x) € J
Donc lim (x+∞) = L
Croissance comparée :
lim (x+∞) ℮(x)/x = +∞ et lim (x-∞) ℮(x)* x = 0
Posons f(x) = ℮(x) – x²/2 sur IR+ on a :
f’(x) = ℮(x) – 2x/2 = ℮(x) – x
On a aussi f’’(x) = e(x) – 1
Cherchons les signes de f’’(x) :
Résolvons ℮(x) -1 ≥ 0
℮(x) ≥ ℮(0)
x≥0
Ainsi sur IR+ f’’(x) ≥ 0 donc f’(x) est croissante sur IR+
D’où sur IR +, f’(x) ≥ f’(0)
soit f’(x) ≥ 1 > 0
Donc sur IR+ f est croissante en particulier f(x) ≥ f(0) = 1 >0
donc f(x) > 0
 ℮(x) – x²/2 >0
 ℮(x) > x²/2
Si x>0
℮(x)/x > x/2
or lim x/2 = +∞ (x  +∞)
Donc d’après le théorème de comparaison lim (x+∞) ℮(x)/x = +∞
Si x tend vers -∞, -x tend vers +∞.
Posons X = -x ; lim (x-∞) x* ℮(x) = lim (X+∞) (-X)* ℮(-X)
= lim (X+∞) (-X)/℮(X)
En utilisant le théorème de croissance comparée,
on a lim (X +∞) X/℮(X) =0
D’où par produit lim (x+∞) x* ℮(x) = 0
Conséquence : Pour tout n entier naturel non nul on a :
lim (x+∞) ℮(x)/(x^n) =+∞ et lim (x-∞) (x^n)* ℮(x) = 0
Continuité :
Soit f une fonction dérivable sur I contenant a :
 On dit que f est continue en a si lim (xa) f(x) = f(a)
 On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I .
Théorème de la valeur intermédiaire : (ADMIS)
Si f est continue sur un intervalle I contenant a et b (a < b) et si k
est un réel compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un réel c
tel que f(c) = k
Corollaire ou théorème de la bijection
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I contenant
a et b (a < b) et si k est un réel compris entre f(a) et f(b) alors il existe
un unique réel c tel que f(c) = k
Supposons f strictement croissante sur [a ;b], d’après le théorème de la
valeur intermédiaire : il existe au moins un réel c tel que pour tout k
compris entre f(a) et f(b) on ait f(c) = k .
Supposons qu’il existe un réel c’≠ c tel que f(c’)= k, par exemple c’> c
Comme f est strictement croissante, f(c’) > f(c) or f(c’)= f(c) = k
C’est contradictoire, donc il n’existe pas d’autre réel c’ tel que f(c’)= k
On dit que f réalise une bijection de l’intervalle [a ;b] sur [f(a) ; f(b)]
Généralisation : on peut appliquer ce théorème sur tout intervalle de la
forme [a ; +∞[ en échangeant b par +∞ et f(b) par lim (x+∞) f(x)
Fonctions racines nièmes
Pour tout entier naturel n, la fonction f définie sur IR+ par f(x) = x^n
est continue et strictement croissante . Comme f(0)=0 et
lim (x+∞) f(x) = +∞, d’après le théorème de la bijection, tout réel
positif k possède un unique antécédent par f, autrement dit x^n = k
possède une seule solution. Cette solution s’appelle racine nième de k et
se note n√k ou (k)^1/n
Remarque : dans le cas ou n est impair, cette définition se généralise à
tout réel k.