Chapitre 11 : Fonctions affines 1 Définition Soient a et b deux

Chapitre 11 : Fonctions affines
1 Définition
Soient a et b deux nombres donnés.
La fonction : x ----> ax + b
C’est-à-dire la fonction qui au nombre x associe le nombre a Χ x + b est appelée fonction
affine
Ex : x ---> 3 x + 2 ; x ---> - 6 x -3 ; x -->√2 x + ½ sont des fonctions affines
Soit f : x---> 5x + 7
f(2) = 5 Χ 2 + 7 = 17; On dit que 17 est l’image de 2 par f
2 Tableau de valeurs d’une fonction affine
Ex : On peut acheter des fraises à la ferme. On paye un droit d’entrée de 1 euro et chaque kilo
de fraises 2.50 euros. Compléter le tableau suivant
Soit f : x----> -2x +3 On va préciser les images de certains nombres par la fonction affine f à
l’aide d’un tableau .
Ex :
x : Quantité
0
de fraises en
kg
f(x) : prix
1
payé en euros
1
2
5
6
3.50
6
13.5
16
La situation ci-dessus peut être modélisée par la fonction affine : f(x) = 2.5 x + 1
3 Représentation graphique d’une fonction affine
Soit f x –-->ax + b , une fonction affine
Le plan étant muni d’un repère, on associe à chaque nombre relatif x le point M (x;ax + b).
L’ensemble des points ainsi obtenus est la représentation graphique de f.
La représentation graphique d’une fonction affine f est une droite .
Ex : Soit f : x---> -2x + 3
La représentation graphique de f est la droite d d’équation : y = -2 x + 3
Les coordonnées (x;y) des points de la droite d sont liées par la relation : y = -2 x + 3
-2 est le coefficient directeur de cette droite
3 est l’ordonnée à l’origine de la droite d
o
4 Cas particuliers : a = 0 ou b = 0
Soit f : x --> ax + b
Si b = 0 , f est une fonction linéaire : une fonction linéaire est donc une fonction affine
particulière.
Si a = 0, f est une fonction constante définie par f(x) = b
Tous les points M(x;f(x)=b) ont la même ordonnée.
La représentation graphique d’une telle fonction est une droite d d’équation y = b ; cette
droite passe par le point (0;b) et est parallèle à l’axe des abscisses
5 Proportionnalité des accroissements
Soit f une fonction affine définie par : f(x) = ax + b
Lorsque x varie de x1 à x2 , l’accroissement de x est x2 – x1
L’accroissement correspondant de l’image est f(x2) – f(x1)
Propriété
Si f est une fonction affine définie par f(x) = ax + b , alors pour tous les nombres distincts x1
et x2 , on a :
f(x2) – f(x1) = a
x2 – x1
On dit que l’accroissement de f(x) est proportionnel à l’accroissement de x
Interprétation graphique
f(x2)
f(x1)
x1
x2
Application
Ex : Déterminer la fonction affine telle que : f(2) = 11 et f(-1) = 2
Soient a et b les coefficients de l’application affine f: f(x) = ax + b
a = f(2) – f(-1) = 11 – 2 = 3
2 – (-1)
3
f(2) = 3 Χ 2 + b = 11
donc 6 + b = 11 donc b = 11 – 6 = 5 donc f(x) = 3x + 5
6 Fonction croissante, décroissante
a) Définitions
On dit qu’une fonction est croissante si f(x) croît aussi lorsque x croît
On dit qu’une fonction est décroissante si f(x) décroît lorsque x croît
b) Interprétation graphique
a>0
a<0
f est croissante
f est décroissante