CHAP 3 : Calcul de Probabilité I – GENERALITES Certaines expériences ont des résultats aléatoires, i.e. qu’ils dépendent du hasard. On les appelle « expériences aléatoires » ou « épreuves ». Lorsqu’on réalise une épreuve, certains faits liés à cette épreuve peuvent se produire ou non, ce sont les « évènements ». Il est à remarquer que certains évènements jouent des rôles particuliers : l’évènement impossible, l’évènement certain, …etc. Définitions : Soit E une épreuve. Un des résultats possibles de l’épreuve E est appelé « évènement élémentaire ». L’ensemble des évènements qui peuvent résulter d’une épreuve porte le nom d’ « évènement fondamental ». L’ensemble fondamental varie en fonction des conditions de l’épreuve. Un évènement associé à l’épreuve est identifié à une partie de l’ensemble fondamental. L’évènement est réalisé si l’un des évènements élémentaires qui le constitue est désigné comme la réalité. Exemples : 1) Epreuve : jet d’un dé bien équilibré Ensemble fondamental : obtenir les valeurs de 1 à 6 Obtenir un nombre pair est réalisé si l’un des évènements élémentaires suivants est désigné comme la réalité : Obtenir 2 Obtenir 4 Obtenir 6 2) Epreuve : jet de 5 dés que l’on peut reconnaître, bien équilibrés Ensemble fondamental : { (i, j, k, l, m) 1 ≤ i, j, k, l, m ≤ 6 } Taille de (Ω) = 65 = 7776 Obtenir 5 points identiques est réalisé si l’un des évènements élémentaires suivants est désigné comme la réalité : { (i, i, i, i, i) 1 ≤ i ≤ 6 } Remarque : Supposons que les dés soient pipés de la manière suivante : Le 1 apparaît 2 fois plus que chacun des autres chiffres marqués. 3) Epreuve : jet d’un dé Ensemble fondamental : { 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Le fait d’identifier un évènement à une partie de l’ensemble fondamental et dans la mesure où cet ensemble est fini, nous permet d’utiliser les objets : propriétés, théorèmes, théorie des ensembles, …etc. Ainsi, si on note Ω, l’ensemble fondamental associé à l’épreuve E, A с Ω est un évènement, A є P (Ω). Si Ø = évènement impossible, A є P (Ω) et B є P (Ω) : La réalisation de A ou de B est notée A u B La réalisation de A et de B est notée A п B La réalisation de A ou exclusif de B est notée A ∆ B A с Ω signifie que la réalisation de l’évènement A entraîne la réalisation de l’évènement B. Ā = CAΩ signifie la réalisation de non(A). A – B = An B signifie la réalisation de A et de non(B). Lois de Morgan : AпB=ĀuB AuB=ĀпB Espace probabilisé fini : Soit E une épreuve. Soit Ω l’ensemble fondamental fini associé à l’épreuve. Une probabilité p défini sur Ω est une application de P (Ω) -> R, qui vérifie 3 axiomes : 1. P (Ω) = 1 2. A є P (Ω), p (A) ≥ 0 3. A є P (Ω), B є P (Ω) et A п B ≠ 0 => (A u B) = p (A) + p (B) (Ω, P (Ω), p) est un espace probabilisé. Conséquences : 1. 2. 3. 4. 5. Exercice 1 : p (Ø) = 0 A с Ω => p (A) ≤ p (B) 0 ≤ p (A) ≤ 1 p (Ā) = 1 – p (A) p (A u B) + p (A п B) = p (A) + p (B) Démontrer chacune des conséquences. Exercice 2 : On jette 5 dés que l’on peut reconnaître et bien équilibrés. 1) Définir un espace probabilisé susceptible de définir l’environnement. 2) Calculer la probabilité des évènements suivants : Rappel : Cpn = n! / ( p! (n-p)! ) Obtenir une paire unique ( C25 * 6 * 5 * 4 * 3 ) / 65 = 3600 / 7776 = 0,46 Obtenir un brelan ( C35 * 6 * 5 * 4 ) / 65 = 1200 / 7776 = 0,15 Obtenir un full ( C35 * 6 * 5 ) / 65 = 300 / 7776 = 0,039 Obtenir un carré ( C45 * 6 * 5 ) / 65 = 150 / 7776 = 0,019 Obtenir 5 points différents ( 6 * 5 * 4 * 3 * 2 ) / 65 = 720 / 7776 = 0,093 Obtenir une suite ( 2 * 5! ) / 65 = 240 / 7776 = 0,031 Obtenir un yam (5 points identiques) 6 / 7776 = 7,72.10-4 Exercice 3 : Soient 2 évènements A et B tels que : p (A) = 1/4 p (B) = 2/5 p (A п B) = 3/20 Calculer la probabilité des évènements suivants : Exercice 4 : A ou B se produit A se produit seul Ni A ni B ne se produit A ou B, mais un seul des évènements se produit A ou B, mais un seul des évènements se produit Soient A, B, C trois évènements tels que : p (A) = p (B) = p (C) = 1/3 p (A п B) = p (B п C) =p (A п C) = 1/9 p (A п B п C ) = 1/27 Calculer la probabilité des évènements suivants : 1 au moins des 3 se réalisent 1 seul des 3 se réalise au moins 2 évènements se produisent Théorème Soit Ω = { w1, w2, …, wn }. Soient p1, p2, …, pn avec n, un nombre réel. Il existe une probabilité p définie sur (Ω, P (Ω)) telle que p ({ w i }) = pi pour i variant de 1 à n si et seulement si : pour i variant de 1 à n, pi ≥ 0 et ∑ni=1 pi = 1 p est alors unique et pour tout évènement A, A є P (Ω), p (A) = ∑ p i , i tel que wi є A. L’application p : Ω [0, 1] wi p ({ wi }) = pi est appelée distribution de probabilité sur Ω associée à la probabilité p. Remarques : 1. La probabilité p est entièrement déterminée lorsque l’on connaît les nombres p i pour tout évènement élémentaire associé à l’épreuve E. 2. Lorsque les probabilités des évènements élémentaires sont égales, on dit qu’il y a équiprobabilité. La probabilité p porte le nom de probabilité uniforme. A є P (Ω), Pn (A) = Card(A) / Card(Ω) II – PROBABILITES CONDITIONNELLES Définition : Soit (Ω, P (Ω), p) un espace probabilisé associé à une épreuve E. Soit A un évènement de probabilité non nulle. Pour B, B є P (Ω), pA (B) = p (B/A) = p (A п B) / p (A). pA est une probabilité définie sur (Ω, P (Ω)) appelée probabilité conditionnelle relative à A. Théorème de Bayes [Théorie de la décision] Soit (Ω, P (Ω), p) un espace probabilisé associé à l’épreuve E. Soit A un évènement de probabilité non nulle. Soit ( A1, A2, …, An ) un système complet d’évènements [i.e. Uni=1 Ai = Ω et Ai п Aj = Ø]. i≠j p (Ai / A) = ( p (A / Ai) * p (Ai) ) / ( ∑ni=1 p (A / Ak) * p(Ak) p (Ai / A) = p (Ai п A) / p (A) = p (A п Ai) / p (A) = ( p (A п Ai) * p (Ai) ) / p (A) p (A) = p (A п Ω) = p (A п (Unk=1 Ak)) = p (Unk=1 A п Ak) = ∑nk=1 p (A п Ak) = ∑nk=1 p (A / Ak) * p (Ak) Définitions : 2 évènements sont dits indépendants si et seulement si p (A п B) = p (A) * p (B). Soit (A1, A2, …, An) une famille d’éléments. On dit que Ai est une famille d’évènements mutuellement indépendants ou indépendants dans leur ensemble pour leur probabilité pi, si la probabilité de l’intersection des Ai : P (п Ai) = ∏ p (Ai) où J c [[ 1, 2, …, n ]] iєJ iєJ On dit que la famille est une famille d’évènements indépendants 2 à 2 si p (Ai п Aj) = p (Ai) * p (Aj) (i, j) є ( [[1, 2, …, n ]] ) i≠j Exercice : Soient 2 évènements A et B tels que : p (A) = 1/4 ; p (B) = 1/3 ; p (A u B) = 23/60 Calculer pB (A), pB (Ā), pB (A п B), pB (A п B), pB (A u B), pAпB (A u B), pAuB (A п B). Rappel : pB (A) = p (A/B) p (A/B) = p (A п B) / p (B) = ( p (A) + p (B) – p (A u B) ) / p (B) = (1/4 + 1/3 – 23/60) / (1/3) = (1/5) / (1/3) = 3/5 = 0,6 p (Ā/B) = p (Ā п B) / p (B) = ( p (B) – p (A п B) ) / p (B) = 1 – p (A п B) / p (B) = 1 - p (A/B) = 1 – 3/5 = 2/5 = 0,4 p (A п B/B) = p ( (A п B) п B) / p (B) = p (A п B) / p (B) = p (A/B) = 3/5 = 0,6 … III – VARIABLES ALEATOIRES REELLES Définition : Soit (Ω, P (Ω)) un espace probabilisable associé à une épreuve E. Une variable aléatoire réelle X définie sur (Ω, P (Ω)) est une application de Ω R. Propriétés : Soit X et Y 2 variables aléatoires réelles (VAR) définies sur (Ω, P (Ω)) et soit λ un réel. X+Y, XY, λX, Sup (X,Y), Inf (X, Y) sont des VAR définies sur (Ω, P (Ω)). Définitions : Soit (Ω, P (Ω), p) un espace probabilisé défini pour l’épreuve E. Soit X une VAR définie sur (Ω, P (Ω)). On appelle fonction de répartition de X, l’application F de R dans R qui pour x réel donne F(x) égale à la probabilité de X ne dépassant pas x : F:RR X F(x) = p (X ≤ x) La fonction de répartition a des propriétés parmi lesquelles on trouve : 1. x є R, 0 ≤ F(x) ≤ 1 2. F est croissante 3. lim F(x) = 0 et lim F(x) = 1 x-∞ x+∞ 4. (x, y) є R², x < y, p (x < X ≤ y) = F(y) – F(x) On distingue 3 types de VAR correspondant à la nature de X(Ω), l’image de X, i.e. X(Ω) = Im(X) : 1. si X(Ω) est un ensemble fini, on dit que X est une VAR discrète et finie. 2. si X(Ω) est dénombrable non fini, on dit que X est une VAR discrète et infinie. 3. si X(Ω) est une réunion d’intervalle réelle non réduit à un point et si F, la fonction de répartition de X, peut s’écrire sous la forme F(x) = ∫x-∞ f(t)dt où f est une fonction à valeur réelle positive ayant un nombre fini de points de discontinuité et tel que ∫+∞-∞ f(t)dt = 1, la variable X est dite continue ou à densité. Remarque : Les moyens à mettre en oeuvre dans le cas 1 sont associés aux statistiques élémentaires. Les moyens à mettre en oeuvre dans le cas 2 sont associés à l’étude des suites et des séries. Les moyens à mettre en oeuvre dans le cas 1 sont associés aux calculs intégrales. 3.1 – Les variables discrètes finies 3.2 – Les variables discrètes non finies 3.3 – Les lois continues