CHAP 3

CHAP 3 : Calcul de Probabilité
I – GENERALITES
Certaines expériences ont des résultats aléatoires, i.e. qu’ils dépendent du hasard. On les
appelle « expériences aléatoires » ou « épreuves ».
Lorsqu’on réalise une épreuve, certains faits liés à cette épreuve peuvent se produire ou non, ce
sont les « évènements ». Il est à remarquer que certains évènements jouent des rôles
particuliers : l’évènement impossible, l’évènement certain, …etc.
Définitions :
 Soit E une épreuve.
Un des résultats possibles de l’épreuve E est appelé « évènement élémentaire ».
 L’ensemble des évènements qui peuvent résulter d’une épreuve porte le nom
d’ « évènement fondamental ».
L’ensemble fondamental varie en fonction des conditions de l’épreuve.
 Un évènement associé à l’épreuve est identifié à une partie de l’ensemble fondamental.
L’évènement est réalisé si l’un des évènements élémentaires qui le constitue est désigné
comme la réalité.
Exemples :
1) Epreuve : jet d’un dé bien équilibré
Ensemble fondamental : obtenir les valeurs de 1 à 6
Obtenir un nombre pair est réalisé si l’un des évènements élémentaires suivants est
désigné comme la réalité :
 Obtenir 2
 Obtenir 4
 Obtenir 6
2) Epreuve : jet de 5 dés que l’on peut reconnaître, bien équilibrés
Ensemble fondamental : { (i, j, k, l, m) 1 ≤ i, j, k, l, m ≤ 6 }
Taille de (Ω) = 65 = 7776
Obtenir 5 points identiques est réalisé si l’un des évènements élémentaires suivants est
désigné comme la réalité : { (i, i, i, i, i) 1 ≤ i ≤ 6 }
Remarque : Supposons que les dés soient pipés de la manière suivante :
Le 1 apparaît 2 fois plus que chacun des autres chiffres marqués.
3) Epreuve : jet d’un dé
Ensemble fondamental : { 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Le fait d’identifier un évènement à une partie de l’ensemble fondamental et dans la mesure où
cet ensemble est fini, nous permet d’utiliser les objets : propriétés, théorèmes, théorie des
ensembles, …etc.
Ainsi, si on note Ω, l’ensemble fondamental associé à l’épreuve E, A с Ω est un évènement,
A є P (Ω).
Si Ø = évènement impossible, A є P (Ω) et B є P (Ω) :
 La réalisation de A ou de B est notée A u B
 La réalisation de A et de B est notée A п B
 La réalisation de A ou exclusif de B est notée A ∆ B
A с Ω signifie que la réalisation de l’évènement A entraîne la réalisation de l’évènement B.
Ā = CAΩ signifie la réalisation de non(A).
A – B = An B signifie la réalisation de A et de non(B).
Lois de Morgan : A п B = Ā u B
A u B = Ā п B
 Espace probabilisé fini :
Soit E une épreuve.
Soit Ω l’ensemble fondamental fini associé à l’épreuve.
Une probabilité p défini sur Ω est une application de P (Ω) -> R, qui vérifie 3 axiomes :
1. P (Ω) = 1
2. A є P (Ω), p (A) ≥ 0
3. A є P (Ω), B є P (Ω) et A п B ≠ 0 => (A u B) = p (A) + p (B)
(Ω, P (Ω), p) est un espace probabilisé.
Conséquences :
1. p (Ø) = 0
2. A с Ω => p (A) ≤ p (B)
3. 0 ≤ p (A) ≤ 1
4. p (Ā) = 1 – p (A)
5. p (A u B) + p (A п B) = p (A) + p (B)
Exercice 1 : Démontrer chacune des conséquences.
Exercice 2 : On jette 5 dés que l’on peut reconnaître et bien équilibrés.
1) Définir un espace probabilisé susceptible de définir l’environnement.
2) Calculer la probabilité des évènements suivants :
Rappel : Cpn = n! / ( p! (n-p)! )

 Obtenir une paire unique
( C25 * 6 * 5 * 4 * 3 ) / 65 = 3600 / 7776 = 0,46
 Obtenir un brelan
( C35 * 6 * 5 * 4 ) / 65 = 1200 / 7776 = 0,15
 Obtenir un full
( C35 * 6 * 5 ) / 65 = 300 / 7776 = 0,039
 Obtenir un carré
( C45 * 6 * 5 ) / 65 = 150 / 7776 = 0,019
 Obtenir 5 points différents
( 6 * 5 * 4 * 3 * 2 ) / 65 = 720 / 7776 = 0,093
 Obtenir une suite
( 2 * 5! ) / 65 = 240 / 7776 = 0,031
 Obtenir un yam (5 points identiques)
6 / 7776 = 7,72.10-4
Exercice 3 : Soient 2 évènements A et B tels que :
p (A) = 1/4 p (B) = 2/5 p (A п B) = 3/20
Calculer la probabilité des évènements suivants :
 A ou B se produit
 A se produit seul
 Ni A ni B ne se produit
 A ou B, mais un seul des évènements se produit
 A ou B, mais un seul des évènements se produit
Exercice 4 : Soient A, B, C trois évènements tels que :
p (A) = p (B) = p (C) = 1/3
p (A п B) = p (B п C) =p (A п C) = 1/9
p (A п B п C ) = 1/27
Calculer la probabilité des évènements suivants :
 1 au moins des 3 se réalisent
 1 seul des 3 se réalise

 au moins 2 évènements se produisent
Théorème
Soit Ω = { w1, w2, …, wn }.
Soient p1, p2, …, pn avec n, un nombre réel.
Il existe une probabilité p définie sur (Ω, P (Ω)) telle que p ({ wi }) = pi pour i
variant de 1 à n si et seulement si :
pour i variant de 1 à n, pi ≥ 0
et ∑ni=1 pi = 1
p est alors unique et pour tout évènement A, A є P (Ω), p (A) = ∑ pi , i tel que wi є
A.
L’application p : Ω  [0, 1]
wi  p ({ wi }) = pi est appelée distribution de probabilité sur Ω associée à la
probabilité p.
Remarques :
1. La probabilité p est entièrement déterminée lorsque l’on connaît les nombres pi pour tout
évènement élémentaire associé à l’épreuve E.
2. Lorsque les probabilités des évènements élémentaires sont égales, on dit qu’il y a
équiprobabilité. La probabilité p porte le nom de probabilité uniforme.
A є P (Ω), Pn (A) = Card(A) / Card(Ω)
II – PROBABILITES CONDITIONNELLES
Définition :
Soit (Ω, P (Ω), p) un espace probabilisé associé à une épreuve E. Soit A un évènement de
probabilité non nulle.
Pour B, B є P (Ω), pA (B) = p (B/A) = p (A п B) / p (A).
pA est une probabilité définie sur (Ω, P (Ω)) appelée probabilité conditionnelle relative à A.
Théorème de Bayes [Théorie de la décision]
Soit (Ω, P (Ω), p) un espace probabilisé associé à l’épreuve E. Soit A un évènement de
probabilité non nulle.
Soit ( A1, A2, …, An ) un système complet d’évènements [i.e. Uni=1 Ai = Ω et Ai п Aj = Ø].
i ≠ j
p (Ai / A) = ( p (A / Ai) * p (Ai) ) / ( ∑ni=1 p (A / Ak) * p(Ak)

p (Ai / A) = p (Ai п A) / p (A) = p (A п Ai) / p (A) = ( p (A п Ai) * p (Ai) ) / p (A)
p (A) = p (A п Ω) = p (A п (Unk=1 Ak)) = p (Unk=1 A п Ak)
= ∑nk=1 p (A п Ak) = ∑nk=1 p (A / Ak) * p (Ak)
Définitions :
 2 évènements sont dits indépendants si et seulement si p (A п B) = p (A) * p (B).
 Soit (A1, A2, …, An) une famille d’éléments.
 On dit que Ai est une famille d’évènements mutuellement indépendants ou
indépendants dans leur ensemble pour leur probabilité pi, si la probabilité de
l’intersection des Ai :
P (п Ai) = ∏ p (Ai) où J c [[ 1, 2, …, n ]]
iєJ iєJ
 On dit que la famille est une famille d’évènements indépendants 2 à 2 si
p (Ai п Aj) = p (Ai) * p (Aj) (i, j) є ( [[1, 2, …, n ]] )
i≠j
Exercice : Soient 2 évènements A et B tels que : p (A) = 1/4 ; p (B) = 1/3 ; p (A u B) = 23/60
Calculer pB (A), pB (Ā), pB (A п B), pB (A п B), pB (A u B), pAпB (A u B), pAuB (A п B).
Rappel : pB (A) = p (A/B)
p (A/B) = p (A п B) / p (B) = ( p (A) + p (B) – p (A u B) ) / p (B)
= (1/4 + 1/3 – 23/60) / (1/3) = (1/5) / (1/3) = 3/5 = 0,6
p (Ā/B) = p (Ā п B) / p (B) = ( p (B) – p (A п B) ) / p (B) = 1 – p (A п B) / p (B) = 1 - p (A/B)
= 1 – 3/5 = 2/5 = 0,4
p (A п B/B) = p ( (A п B) п B) / p (B) = p (A п B) / p (B) = p (A/B) = 3/5 = 0,6
…
III – VARIABLES ALEATOIRES REELLES
Définition :
Soit (Ω, P (Ω)) un espace probabilisable associé à une épreuve E.
Une variable aléatoire réelle X définie sur (Ω, P (Ω)) est une application de Ω  R.
Propriétés :
Soit X et Y 2 variables aléatoires réelles (VAR) définies sur (Ω, P (Ω)) et soit λ un réel.
X+Y, XY, λX, Sup (X,Y), Inf (X, Y) sont des VAR définies sur (Ω, P (Ω)).