M9.7. Mouvement d`un glaçon sur un plateau en rotation. \ kholaweb

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M9.7. Mouvement d’un glaçon sur un plateau en rotation.
On étudie le glaçon dans le référentiel non galiléen lié au plateau. A une date t, ce système est
soumis à :
 son poids
P
 à la réaction
R
du plateau, perpendiculaire au plateau du fait de l'absence de
frottement.
 à la force d'inertie d'entraînement
2
ie
F m OM
car le plateau est animé d'un
mouvement de rotation uniforme autour de l'axe Oz.
 à la force d'inertie de Coriolis
ic
F
.
La relation de la dynamique s'écrit dans le référentiel du plateau :
22mg R m OM m v ma
La projection de cette équation dans la base cylindro-polaire donne :
22
0 0 0
0 0 0 2 0 2
0 0 0
m r r r r
m r m r r
mg R
On obtient :
20rr
(1)
2
1
22 dr r r r r dt
(2)
R mg
(3)
L'équation (2) peut se mettre sous la forme :
22
2 2 2
2
2 or 2 d'où :
soit : 0
dr dr
rr rr
dt dt
d r d r r
dr
dt dt dt
On obtient ainsi une constante du mouvement :
22
r r cste
Comme à la date t = 0, le glaçon est déposé sur le plateau à la distance d avec la vitesse du
point coïncident, le glaçon est immobile par rapport au plateau. On a donc :
2
00 o t cste r
2 2 2
o
r r r

On peut ainsi exprimer la vitesse angulaire du glaçon à la date t :
2
21
o
r
r
(4)
L'équation (1) s'écrit alors :
2
2
2
42
3
10
0
o
o
r
rr
r
r
rr
On multiplie cette équation par
r
:
42
30
o
r
rr r
r
On peut alors exprimer cette dernière équation sous la forme de la dérivée par rapport au
temps d’une constante :
44
2
22
32
4
22
2
10
22
oo
o
rr
d
rr r r
r dt r
r
r Cste
r
Comme à la date t = 0 on a
0 et o r r r
la constante Cste vaut
22
o
r
:
4
2 2 2 2
2
oo
r
rr
r
On peut ainsi exprimer la vitesse radiale du glaçon :
2
2
1o
or
rr r
On opère une séparation des variables :
2
2
1
o
o
dr r dt
r
r
On effectue un changement de variable en posant
22
2cos
o
ru
r
avec
0, 2 u
. On obtient
alors :
2
sin
cos cos
oo
ru
r dr r du
uu
2
2
2
sin 1
cos cos
1 cos
o
oo
u
r du
ur du r dt
u
u
tanu t cte
L’application des conditions initiales donne cte = 0.
Comme
2
2
11 tan
cos u u
on obtient :

222
2
22
1
1 (5)
o
o
rt
r
r r t
Ce résultat n’est en fait que le théorème de Pythagore appliqué dans le référentiel galiléen du
laboratoire ou le glaçon est animé d’un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse
o
r
:
Pour déterminer l’évolution de l’angle polaire dans le référentiel tournant, on
reprend l’équation (4) :
2
21
o
r
r
On injecte le résultat de l’équation (5) :
22
22
11
1
1
arctan
t
dt
d d t
t
tt
Lorsque t vers l’infini la vitesse angulaire du glaçon tend vers l’opposé de celle du
plateau dans le référentiel du laboratoire.