M9.7. Mouvement d`un glaçon sur un plateau en rotation. \ kholaweb

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M9.7. Mouvement d’un glaçon sur un plateau en rotation.
On étudie le glaçon dans le référentiel non galiléen lié au plateau. A une date t, ce système est
soumis à :
 son poids P
 à la réaction R du plateau, perpendiculaire au plateau du fait de l'absence de
frottement.
2
 à la force d'inertie d'entraînement F ie  m OM car le plateau est animé d'un
mouvement de rotation uniforme autour de l'axe Oz.
 à la force d'inertie de Coriolis F ic .
La relation de la dynamique s'écrit dans le référentiel du plateau :
mg  R  m 2 OM  2m  v  ma
La projection de cette équation dans la base cylindro-polaire donne :
0
0 m 2 r
0 r
r  r 2
0  0  0  2m 0  r  m 2r  r
mg R
0
 0
0
On obtient :

r   

2
r0
(1)
 
2
1d r
2r  2r  r 
r dt
(2)
R  mg
(3)
L'équation (2) peut se mettre sous la forme :
d r 2
d  r 2 
2rr 
or  2rr  
d'où :
dt
dt
 

d  r 2 

 
d r 2
soit :

d r 2   r 2
dt
dt
dt
On obtient ainsi une constante du mouvement :
r 2  r 2  cste
 0
Comme à la date t = 0, le glaçon est déposé sur le plateau à la distance d avec la vitesse du
point coïncident, le glaçon est immobile par rapport au plateau. On a donc :
  t  0  0  cste  ro 2
r 2  r 2  ro 2
On peut ainsi exprimer la vitesse angulaire du glaçon à la date t :
r2 
(4)
   o2  1 
r

L'équation (1) s'écrit alors :
2

r2  
r      o2  1   r  0
r
 

r4
r  o3  2  0
r
On multiplie cette équation par r :
r4
rr  o3 r 2  0
r
On peut alors exprimer cette dernière équation sous la forme de la dérivée par rapport au
temps d’une constante :
r4
d 1
 2 ro 4 
rr  o3 r 2   r 2 
0
r
dt  2
2 r2 
ro 4
r   2  Cste
r
Comme à la date t = 0 on a r  0 et r  ro la constante Cste vaut  2 ro 2 :
2
2
ro 4
r   2  ro 2 2
r
On peut ainsi exprimer la vitesse radiale du glaçon :
2
2
 r2
r  ro 1  o2 
 r 
On opère une séparation des variables :
dr
 ro dt
 ro 2 
1  2 
 r 
On effectue un changement de variable en posant
ro 2
 
 cos 2 u avec u  0,  . On obtient
2
r
 2
alors :
ro
sin u
 dr  ro
du
cos u
cos 2 u
sin u
ro
du
1
cos 2 u
 ro
du  ro dt
cos 2 u
1  cos 2 u
r
tan u  t  cte
L’application des conditions initiales donne cte = 0.
1
 1  tan 2 u on obtient :
Comme
cos 2 u
r2
 1   2t 2
2
ro
r  ro 1   2t 2
(5)
Ce résultat n’est en fait que le théorème de Pythagore appliqué dans le référentiel galiléen du
laboratoire ou le glaçon est animé d’un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse ro :
Pour déterminer l’évolution de l’angle polaire  dans le référentiel tournant, on
reprend l’équation (4) :
r2 
   o2  1 
r

On injecte le résultat de l’équation (5) :
 1

 
 1
2 2
 1  t

d t 
d 
 d  t 
1   2t 2
  arctan t   t
Lorsque t vers l’infini la vitesse angulaire du glaçon tend vers l’opposé de celle du
plateau dans le référentiel du laboratoire.