FICHE AMOS n° 1 : METHODE DE NEWTON-RAPHSON

FICHE AMOS n° 1 : METHODE DE NEWTON-RAPHSON
INTRODUCTION
En analyse numérique, la méthode de Newton ou méthode de Newton-Raphson est, dans son
application la plus simple, un algorithme efficace pour trouver numériquement une approximation
précise d'un zéro (ou racine) d'une fonction réelle d'une variable réelle. Cette méthode doit son nom
aux mathématiciens anglais Isaac Newton (1643-1727) et Joseph Raphson (peut-être 1648-1715),
qui furent les premiers à la décrire pour la recherche des zéros d'une équation polynomiale. On
n'oubliera pas Thomas Simpson (1710-1761) qui élargit considérablement le domaine d'application
de l'algorithme en montrant, grâce à la notion de dérivée, comment on pouvait l'utiliser pour
calculer un zéro d'une équation non linéaire, pouvant ne pas être un polynôme, et d'un système
formé de telles équations. (Source : wikipedia)
METHODE
On suppose que
f ( x )
est une fonction dérivable. On cherche une approximation de
f ( x ) =0
. Si z
est une solution de cette équation, z est un zéro de
f
L'idée est de prendre une valeur de
x0
'pas
trop loin' de z et de déterminer une approximation d'ordre 1 de en
x0
. On sait que l'application
affine tangente nous donne une telle approximation et donc
f ( x ) ≈f
(
x0
)
+f '
(
x0
)(
x−x0
)
En cherchant un zéro de cette tangente, si on trouve un nombre
x1
en résolvant l'équation :
f
(
x0
)
+f '
(
x0
)(
x−x0
)
=0
on obtient :
f
(
x0
)
+f '
(
x0
)(
x1−x0
)
=0
f '
(
x0
)(
x1−x0
)
=− f
(
x0
)
x1−x0=− f
(
x0
)
f '
(
x0
)
x1=x0−f
(
x0
)
f '
(
x0
)
en répétant le procédé avec ce nouveau
x1
, on obtient une suite de
xn
dont on peut supposer qu'ils
s'approchent de z. La récurrence pour ces
xn
est donnée par :
xn+1=xn−f
(
xn
)
f '
(
xn
)
EXEMPLE
On cherche à résoudre l'équation suivante :
cos
(
x
)
=x3
. Ce n'est à priori pas si simple que ça. On a
une fonction trigonométrique et un polynôme de degré 3. On remarque cependant que ce problème
est équivalent à la recherche des solutions de l'équation
cos
(
x
)
−x3=0
solutions qui sont les zéros
de la fonction
cos
(
x
)
−x3
. La méthode de Newton-Raphson propose donc un algorithme pour la
recherche d'une solution approchée. La dérivée de
cos
(
x
)
−x3
est
(
cos
(
x
)
−x3
)
'
=
−sin x−3x2
.
1. Montrer que 0.5 est une bonne valeur de départ pour l'algorithme.
2. Implémenter une illustration de la méthode à l'aide de Geogebra.