td-3-diffusion-classique

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Université de Caen
Master I de Physique
TD 2013
TD n°3 – Diffusion classique
Diffusion de Rutherford – Diffusion par une sphère dure
I. Equation de la trajectoire d'une particule :
Une particule de masse M, de numéro atomique ZP et de vitesse initiale
i
v
, d'énergie
initiale Ei, diffuse sur une particule cible que nous considérerons ponctuelle, située en O, de
numéro atomique ZC, et au repos tout au long de la collision (Figure 1). La force qui s'exerce
sur le projectile due à la cible est :
u
r
K
r
u
e
ZZ
Fo
CP 22
2
4
.
Figure 1
1. A partir du principe fondamental de la dynamique, déterminer deux équations
différentielles en r.
2. Calculer le moment cinétique de la particule mobile par rapport à O. D'une des
deux équations, montrer que la quantité
dt
d
r
2
est une constante du mouvement
C. En déduire que le mouvement est plan.

2
3. A partir de la 2ème équation, faire le changement de variable
ru 1
. Montrer que
d
du
C
dt
dr 
et que
2
2
22
2
2
dud
uC
dtrd 
4. En déduire que l'équation de la trajectoire peut s'écrire
22
2
MC
K
u
dud 
.
5. Montrer que l'équation polaire est :
o
ep
r cos1
, avec
K
MC
p2
et
K
MAC
e2
. Mettre p sous la forme
KbM
pi22
v
6. Donner l'expression du moment cinétique en fonction de r et
dtd
. En
déduire l'expression de la vitesse du projectile
v
sous la forme
u
r
u
rd
d
Mr11
v
.
7. Montrer que l'énergie totale peut s'écrire
r
K
ee
Mp
Eo cos21
22
2
2
.
En prenant en considération la conservation du moment cinétique, montrer que
r
K
ee
p
b
EE oi  cos21
2
2
2
.
8. Lorsque , que deviennent r et E ? Déduire de ces deux expressions que
e
d1
2
sin 
, puis que
2
22
24
1KbE ei
.
9. Montrer que
bE
K
i
d22
tan 
. Tracer l'allure de la courbe représentant
d en
fonction de b.
10. Déterminer ro en fonction de K, Ei et b.
11. Tracer l'allure des courbes
io Er
et
.bro
.
12. Que devient ro pour des énergies suffisamment élevées ?
II. Section efficace de diffusion :
Soit np le nombre de particules incidentes par unité de volume et
v
leurs vitesse. Soit
dNd le nombre de particules diffusées qui atteint, dans l'intervalle de temps dt, le détecteur

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dans un angle solide d , défini par l'espace compris entre les cônes de demi angles au
sommet
d et d + d d . Le nombre dNd de particules diffusées est le nombre de particules
qui ont traversé pendant dt la couronne circulaire de rayons intérieur et extérieur respectifs
b et b + db (Figure 2).
Figure 2
1. Exprimer la section efficace de diffusion différentielle en angle solide
dd
en
fonction de np, dNd,
v
, dt et d .
2. Exprimer dNd en fonction de np,
v
, b et dt. En déduire que
dd d
dbb
d
d
sin
.
3. A partir des résultats des questions I., montrer que
dd
est proportionnel à
2sin1 4d
. Tracer l'allure de la courbe représentant
dd
en fonction de
d.
III. Diffusion élastique par une sphère dure :
Le faisceau de particules incidentes tombe sur une sphère dure immobile de rayon R.
Lorsque r < R, l'énergie potentielle est infinie, et lorsque r > R, l'énergie potentielle est nulle.
1. Montrer que les angles incidents et réfléchis sont égaux.
2. Montrer la relation
d
dd
R
db
2
sin
2
.
3. En déduire
dd
, puis la section efficace totale . Le résultat était-il prévisible ?

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Solutions
I. Équation de la trajectoire :
1. Deux équations différentielles en r :
r
u
r
K
aMF 2
r
urOM 
u
dt
d
ru
dt
dr
dt
OMdrv
u
dt
d
dt
dr
dt
d
ru
dt
d
r
dtrd
dt
d
ar  2
2
2
2
2
2
v
d'où les deux équations différentielles :
02
2
2
2
2
2
2
dt
d
dt
dr
dt
d
r
Mr
K
dt
d
r
dtrd
2. Montrer que la quantité
dt
d
r
2
est une constante :
02 2
2
22 
dt
d
r
dt
d
rdr
dt
d
r
dt
d
d'après la deuxième équation.
donc
Ccte
dt
d
r
2
Le moment cinétique est
u
dt
d
ru
dt
dr
uMrMOM rr v
z
u
dt
d
Mr
2
Le moment cinétique est une constante du mouvement, donc celui-ci est plan.

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3. Relations entre u et r :
Première équation :
r
u1
d
du
C
d
du
Cu
u
d
du
dt
d
u
dt
d
d
du
du
dr
dt
dr  2
22 11
2
2
2
22
2
2
2
2u
dud
CCu
dud
C
dt
d
d
du
d
d
C
d
du
dt
d
C
dtrd
d
du
C
dt
dr 
et
2
2
2
2
2
2u
dud
C
dtrd
4. Equation de la trajectoire :
L'équation devient :
2422
2
2
2u
M
K
urCu
dud
C
22
2
MC
K
u
dud 
5. Solution de l'équation :
r
MC
K
Au 1 cos 2
2
cos
1
MC
K
A
r
1cos
2
2
K
AMC K
MC
r
Équation d'une conique, et particulièrement ici d'une hyperbole. Cette équation se met
généralement sous la forme :
1cos  ep
r
avec
K
MC
p2
et
K
AMC
e2