chapitre viii: oscillations - Les cours de Patrick HOFFMANN

Mécanique - Mouvements oscillants
4ième édition_____________________________________ Patrick HOFFMANN
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OSCILLATIONS
1 - Oscillateur harmonique
On nomme équation de l'oscillateur harmonique la relation:
2
0
x x 0
dont la solution générale admet pour expression :
0 0 0
x(t) C cos t D sin t A cos t       
C, D, A, étant des constantes arbitraires, dont les valeurs seront fixées par
les conditions particulières du mouvement: limites, initiales, etc...
Elle correspond, en particulier, au mouvement d'une masse attachée à un
ressort:
Figure 1
F k x m a m x
k
x x 0
m
Dans ce cas on retrouve l'équation de l'oscillateur harmonique avec:
0k
m

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2 – Amortissement Fluide
L'amortissement fluide est la conséquence d'une force de frottement
proportionnelle à la vitesse:
f
F f v
Ce modèle est bien représentatif de l'amortisseur :
Figure 2
Avec l'adjonction d'un ressort, on obtient une suspension dont le schéma est
équivalent à :
Figure 3
et qui obéit à l'équation suivante:
m x f x k x 0

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Suivant les valeurs relatives des paramètres, il existe trois types de solutions.
Posons:
0
fk
et
2 m m
Pour un amortissement relativement faible:
2
0
, on observe ce mouvement:
Figure 4
Avec la pseudo-période:
21
T t t
et la pseudo-pulsation:
2T
ici on peut montrer que:
22
0
La loi du mouvement s’écrit alors:
t
x e A cos t B sin t
Si l'amortisseur de la suspension d'un véhicule est usé on obtient cette classe
de mouvement. Dans les années cinquante on a construit, pour des raisons

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économiques, des automobiles sans amortisseurs. Elles étaient réputées pour
présenter ces oscillations caractéristiques.
Un amortisseur bien réglé doit être calculé en fonction du ressort de la
suspension à l'aide de la relation:
0
.
On obtient alors le régime critique avec le retour vers l'équilibre le plus rapide:
Figure 5
t
x e A B t
Au contraire si l'amortisseur est trop fort, le système sera la plupart du temps
en déséquilibre:
0
Figure 6

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En posant:
2 2 2 2
1 0 2 0
et             
le mouvement apériodique s'exprime sous la forme:
12
tt
x Ae Be
Il est possible, pour un système de "suspension", de définir un degré
d'amortissement à l'aide du coefficient:
0
Dans ce cas on peut représenter graphiquement, pour un même système, les
différents mouvements observables:
Figure 7