chapitre viii: oscillations - Les cours de Patrick HOFFMANN

Mécanique - Mouvements oscillants
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OSCILLATIONS
1 - Oscillateur harmonique
On nomme équation de l'oscillateur harmonique la relation:

x   20 x  0
dont la solution générale admet pour expression :
x(t)  C cos  0 t   D sin  0 t   A cos  0 t   
C, D, A,  étant des constantes arbitraires, dont les valeurs seront fixées par
les conditions particulières du mouvement: limites, initiales, etc...
Elle correspond, en particulier, au mouvement d'une masse attachée à un
ressort:
Figure 1

Fkx mamx


x 
k
x0
m
Dans ce cas on retrouve l'équation de l'oscillateur harmonique avec:
0 
k
m
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2 – Amortissement Fluide
L'amortissement fluide est la conséquence d'une force de frottement
proportionnelle à la vitesse:
Ff   f v
Ce modèle est bien représentatif de l'amortisseur :
Figure 2
Avec l'adjonction d'un ressort, on obtient une suspension dont le schéma est
équivalent à :
Figure 3
et qui obéit à l'équation suivante:


mx  f x kx 0
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Suivant les valeurs relatives des paramètres, il existe trois types de solutions.
Posons:

f
2m
et
0 
k
m
Pour un amortissement relativement faible:   02 , on observe ce mouvement:
Figure 4
Avec la pseudo-période:
T  t 2  t1
et la pseudo-pulsation:

2
T
ici on peut montrer que:
  20  2
La loi du mouvement s’écrit alors:
x  e  t  A cos   t   B sin   t 


Si l'amortisseur de la suspension d'un véhicule est usé on obtient cette classe
de mouvement. Dans les années cinquante on a construit, pour des raisons
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économiques, des automobiles sans amortisseurs. Elles étaient réputées pour
présenter ces oscillations caractéristiques.
Un amortisseur bien réglé doit être calculé en fonction du ressort de la
suspension à l'aide de la relation:   0 .
On obtient alors le régime critique avec le retour vers l'équilibre le plus rapide:
Figure 5
x  e t  A  B t


Au contraire si l'amortisseur est trop fort, le système sera la plupart du temps
en déséquilibre:   0
Figure 6
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En posant:
1    2  02
et
2    2  02
le mouvement apériodique s'exprime sous la forme:
xAe
 1 t
 Be
 2 t
Il est possible, pour un système de "suspension", de définir un degré
d'amortissement à l'aide du coefficient:


0
Dans ce cas on peut représenter graphiquement, pour un même système, les
différents mouvements observables:
Figure 7
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3 - Oscillations forcées
Si l’on ajoute au système précédent une force extérieure, on obtient un
système qualifié de "forcé":
Figure 8
Ici la force s'exerçant sur la masse m de la part du ressort k vaut:
Fk   k ( x  x A )
Si le mouvement forcé de A est tel que:
x A  X e cos   t  i
ce qui correspond à la force extérieure:
Fe  k X e cos   t  i
L’équation du mouvement de la masse m s’écrit alors:


x  2  x  02 x  02 Xe cos   t  = 02 XA
avec pour les coefficients, les mêmes définitions que précédemment:

f
2m
et
0 
k
m
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En régime permanent, c’est à dire lorsque
xL (t)  lim x(t)
x(t)
t 
x(t)  A cos   t  
où  est la phase telle que:
tan  
2
 2  02
et où A est l’amplitude:
A
02 X e

2
 02   4  2 2
2
Il est intéressant de tracer l’amplitude des oscillations en fonction de la
pulsation de l’excitation extérieure (ou la fréquence); car dans le cas où:
0   , la courbe présente l'allure suivante:
Figure 9
La pulsation
R
correspondant au maximum d’amplitude est nommée
pulsation de résonance. Dans toutes constructions mécaniques il est important
de connaître la ou les pulsations de résonances du système ( ponts, avions…).
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