Algèbre linéaire

Algèbre linéaire
II
SSyyssttèèm
mee lliinnééaaiirreess eett m
maattrriicceess

2 x1  3x2  2


 x1  x2  4
On considère un champs ou corps commutatif  K ; ;  .
Exemple :
K  ou K  , qui sera appelé les scalaires.
Un système de m équations d’algèbre linéaire à n variables à coefficient dans K
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1

 a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2
1 i  n
aij  K , ij tel que

1 j  n


am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
I.1 Opération élémentaires sur les équations.
Opération élémentaire 1 : Ei  Ei   E j   K
 x1  x2  x3  3

2 x1  x2  2 x3  4 E2  E2  2 E1

3x1  3x3  1
Opération élémentaire 2 : Ei  E j et opération élémentaire 3 : Ei 

2 x1  x2  x3  1


 x1  x2  x3  0


4 x1  2 x3  6
E1  E2
E3 
E3
2
Ei

  K \ 0
I.2 Notation matricielle
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1

 a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2



am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2 n 
 matrice des coefficients.
A




 a a ... a 
mn 
 m1 m 2
 b1 
 
 b2 
b    matrice des termes indépendants.
 
 
b 
 n
 a11 ... ... a1n b1 


A/b  
 matrice complète du système.
 a ... ... a b 
mn m 
 m1
Exemple :
 x1  x2  x3  3
 1 1 1 3 




2 x1  x2  3x3  4   2 1 3 4 

 3 0 5 2 



3x1  5 x3  2


 1 1 1

L2  L2  2 L1  0 3 5
L3  L3  3L1  0 3 8
3

2 
7 
 1 1 1

 0 3 5
L3  L3  L2  0 3 3
3

2 
5 
I.3 Echelonnement ou « mise en escalier »
Définition :
  uij 1i  m est dite échelonnée ou en escalier si le nombre d’entrées nulles au début de
u
1 j  n
chaque ligne augmente à chaque ligne, l’augmentation étant stricte pour les lignes qui suivent
une ligne non nulle.
Définition :
Le 1er élément non nul d’une ligne s’appelle le pivot de cette ligne.
Théorème :
Toute matrice peut être transformé en une matrice en escalier au moyen d’opérations
élémentaires sur ses lignes.
Définition : matrice en forme de Gauss-Jourdan
C’est une matrice   uij 1i  m où :
u
1 j  n
1. tous les pivots sont égaux à 1
2. tous les chiffres au-dessus des pivots sont nuls
 1 -1 1

0 3 5
 0 0 -3

3  L  L2
 2
3
-2 
L
-5  L3  3 -3
 1 -1 1

 0 1 5
3

 0 0 1


3 
-2 
3
5 
3
5
L2  L2  L3
3
L1  L1  L3

 1 -1 0
 0 1 0

 0 0 1

4 
3
19  L  L  L
1
2
9 1

5 
3

1 0 0
 0 1 0

 0 0 1

31 
9
19  matrice de Gauss-Jourdan.
9
5 
3
I.4 Solution des système linéaires.
 x1  x2  x3  3

2 x1  x2  3x3  4

3x1  5 x3  2
 1 1 1 3 


 2 1 3 4 
 3 0 5 2 


Si le pivot est dans la colonne indépendante alors c’est impossible.
1 0 1 0

0 1 2 0
0 0 0 1

 x1  1  x3


 x2  2  2 x3


 x4  1
1

2
1
 a11 a12

A/b  
a a
 m1 m 2

x1 , x2 , x3 sont des variables pivotables.
On peut exprimer les variables pivotables
en fonction des variables non pivotables.
 système indéterminé (ici de degré 1)
 a11 x1  a12 x2 



am1 x1  am 2 x2 

 x1  x3  1


 x2  2 x3  2


 x4  1
 a1n xn  b1
 amn xn  bm
a1n
amn
b1 


bm 
IIII
L
Leess M
Maattrriicceess
Fixons un corps commutatif K .
Une matrice à m lignes et n colonnes est un tableau de nombres (de K ) à m lignes et n
colonnes.
 a11 a12  a1 j a1n 


 a21 a22  a2 j a2 n 



A  ai1 ai 2  aij ain 
  aij 1i m


1 j  n






 am1 am2

a
a
mj
mn ligne i

colonne j
a
ij
K
K mn  matrices à m lignes et n colonne (on dit de genre  m; n  à coefficient dans K 
A   aij   B   bij   aij  bij i, j
mn
mn
Matrices particulières :



Matrices lignes 1 n 
A   a11 a12
a1n 
Matrices colonnes
 b11 
 
b
b   21 
 
 
 bm1 
Matrices carrées  n  n 
 Genre  n; n   ordre n
 Diagonale principale :
 a11



a22




a33


a44 

 Matrices diagonales :
0
0 
 a11 0


0 
 0 a22 0
 0
0 a33 0 


0
0 a44 
 0
 M  K 
mn
 Matrices triangulaires supérieures :
 a11 a12 a13 a14 


 0 a22 a23 a24 
 0
0 a33 a34 

 0
0
0 a44 

 Matrice nulle :
0
0


mn
 mn  
 K
0
0 

 Matrice unité ou identité d’ordre n :
1 0 0 0


 0 1 0 0   K mn
0 0 1 0


0 0 0 1
II.1 Opérations matricielles
Addition :
A, B  K mn
A   aij 
B   bij 
A  B  C   cij  ou cij  aij  bij
Exemple :
 2 1 -1
 -1 0 1 
A
 et B  

0 2 1 
 2 1 2
23
 2   -1 1+0 -1  1  1 1 0 
A B  


 0  2 2+1 1  2   2 3 3 
 K mn ,   est un groupe commutatif.
A   B  C    A  B  C
A B  B  A
A   mn   mn  A
A   - A    - A   A   mn
Multiplication par un scalaire :
 K
A  aij  K mn
 A   aij
Exemple :
1 2
  2 A   3 4  
5 6


    A   A   A
32
2 4


2A   6 8 
10 12 


  A  B   A  B
Produit de 2 matrices
Produit d’une matrice par une matrice colonne
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1

 a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2



am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2 n 

A




 a a ... a 
mn 
 m1 m 2
x
 x1 
 
 x2 
 
 
 xn 
 b1 
 
b
b 2
 
 
 bn 
matrice des inconnues
matrice des coefficients
A x  b
On considère A  K mn et x  K n1 . Le nombre de colonnes de A = nombre de ligne de x
 a11 a12 ... a1n 
 a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn
 x1 



 
 a21 a22 ... a2 n 
 a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn
x

   2   
 



 



x
 n
 a a ... a 
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn
mn 
 m1 m 2
Exemple :
 -1
 2   -1   -1 2   2 1  1 0 
 2 -1 2 1 
 -2 
 
2




 
 
 3 4 0 2    1    3   -1  1 2  0 1  2  0    -1 
1 2 1 2
4
 1  -1  2  2  11  2  0 
 


 


0
34
31
 
41
Disposition pratique
x1
x2
xn
a11
a21
a12
a22
a1n
a2 n
a11 x1
a21 x1
a12 x2
a22 x2
a1n xn
a2 n xn
am1
am 2
amn am1 x1
am 2 x2
amn xn
Tout système linéaire peut s’écrire sous la forme matricielle A  x  b
mn
n1
m1
Exemple :
2 x1  3x2  x3  x4  6

 x1  x2  2 x4  -7

2 x1  x2  x3  4
x 
 2 3 -1 1 
6
 
x2 


 

 1 -1 0 2    x    -7 
3
2 1 1 0
4
 


 
x
 4
II.2 Le produit de 2 matrices en général.
A   aij   K mn
B   bkl   K n p
 b11 b12

b
b
B  21 22
n p 

 bn1 bn 2
b*1 b*2
b1 p 

b2 p 
 

bnp 
b* p
b
*1
b*2

b* p avec b* j  K n1 , j  1, 2,
,p


b* p   Ab*1
 m1

A  B  A  b*1 b*2
mn
n p
mn
n1

Ab* p   C
m p
m1 
Ab*2
m1
Disposition pratique :
b11
b21
a11
a21
a12
a22
a1n
a2 n
am1
am 2
amn
b12
b22
b1 p
b2 p
bn1 bn 2
bnp
Ab*1
Ab*2
Exemple :
1
 1 2 -1 3 



 -1
1
0
1
2



1
 -1 1 0 1 



34
0
2
 -2 8 

3


  2 7
3
 -2 2 



1 
42
Remarque : notation
A  B   aij    bkl    cil   C avec cil   air brl
n
mn
n p
m p
r 1
Propriétés :
 AB  C  A  BC 
A  K mn , B  K n p , C  K pl
A  In  A  Im  A
mn
mn
Attention ! Le produit matriciel n’est pas commutatif.
A B  B  A
mn
n m
n m
m n
Exemple :
 1 2
 2 1
A
 et B  

 1 1 
 1 3
 4 7
 1 5
AB  
  BA  

 1 2 
 2 5 
A In  In  A  A
L’inverse de A n’existe pas toujours. :
Ab* p
1 0
A

0 0
 1 0  a b   1 0 
 a b 1 0


 
 


 0 0  c d   0 1 
 0 0 0 1
inverse de A
matrice identité

a, b   , ab  0  a  0 ou b  0
 0 0  1 0   0 0 
or 



 0 1  0 0   0 0 
( A  A) B  AB  AB
A  B  B   AB  AB
  AB    A B  A  B    AB   avec   
II.3 Opération « par blocs »
 a11

a
A   21
mn
 a31

 a41
a12
a13
a22
a32
a23
a33
a24
a34
a14 a15 

a24 a25 
a34 a35 

a44 a45 
m  4  1 2 1
n  6  24
 A11 A12 


A   A21 A22 
A A 
23 
 31
subdivision en ligne :
 a11 a12

a
a22
A   21


 am1 am 2
m  11
n 1
1
a1n   a1* 
 

a2 n   a2* 

 

 

amn   am* 
subdivision en colonnes :
 a11 a12

a
a22
A   21


 am1 am 2
a1n 

a2 n 
  a*1 a*2


amn 
a*3
a*4 
m 1
n  11
1
Théorème :
On peut effectuer toutes les opérations par blocs
Exemple 1 :
- somme : A  B
m n
m n
1 2 3 5

 A
A   2 1 6 2    11
 1 2 3 4   A21


 A  B11 A12  B12
A  B   11
 A21  B21 A22  B22
- produit : A  B
mn
0 1 2 1 
A13 

  B11
 et B   2 3 1 1  
A23 
 1 2 3 4   B21


A12
A22
A13  B13 

A23  B23 
n p
1
 1 2 1 1 

1


A   2 1 0 3  et B  
0
 4 1 2 3



34
2
42
2

1
1

3 
m  3  1 2
n  4  1 2 1
p  2  11
On utilisera :


AB  A  b*1 b*2
 a1* 
 a1*  B 




 a2*   B   a2*  B 








 am* 
 am*  B 
b* p 
B12 B13 

B22 B23 
 a1* 


 a2*   b  b 

 *1 *2


 am* 

 a1*b*1 a1*b*2

a2*b*1 a2*b*2
 b* p   


 am*b*1 am*b*2
a1*b* p 

a2*b* p 


am*b* p 
II.4 Transposition :
A  mn
Exemple :
1 2 1 2


A  0 1 2 1
3 4 6 1


3 4
1 0 3


2 1 4
t

A 
 43
1 2 6
 2 1 1 


Définition :
Soit A   aij 1i  m alors At   aij 1i  m avec aij  a ji
1 j  n
1 j  n
Question : quel est le lien entre cette nouvelle opération et les autres ?
( A  B)t  At  B t
 AB 
t
 Bt  At
t
 A   At
avec   
Exemple :
1 2
 1 2 1


A
 et B   2 1 
 3 0 1
1 1


6 5
AB  

4 7
 AB 
t
6 4


5 7
6 4
B t At  

5 7
II.5 Inversion
On a vu que, en général, une matrice nulle, même carrée, n’est pas inversible. On va se
demander comment caractériser celles qui sont inversibles.
Définition :
Soit A  mn
 A est inversible à gauche  B  mn , tel que B  A  I n
nm

A est inversible à droite  C 
nm
mn
, tel que A  C  I m
mn
nm
Exemple :
* A  1 2 1 est inversible à droite .
1
1 2 1  0   1
0
 
 0 
 
1 2 1  1 2   1
 
 0 
0
1 2 1  0   1
 1
 
* A  1 2 1 n’est pas inversible à gauche.
a
1 0 0
 


 b  1 2 1   0 1 0 
c
0 0 1
 


Propriété :
Si une matrice est inversible à gauche et à droite ( c’est à dire est inversible) alors elle
admet un unique inverse à gauche qui est aussi l’unique inverse à droite.
Démonstration :
A est inversible à gauche  B  mn , tel que B  A  I n
nm
A est inversible à droite  C 
 B  AC   B  I m  B
BAC
nm
mn
, tel que A  C  I m
mn
nm
  BA C  I n  C  C
BC
Donc tout inverse à gauche de A et égal, et de même, tout inverse à droite. Il y a donc un
unique inverse à gauche qui est aussi l’unique inverse à droite.
Notation :
Soit A  mn , inversible, on note A1 son unique inverse à gauche et à droite.
1
(notation similaire à  21 )
2
Attention ! Rien ici ne permet de déduire que A est carrée.
Nous avons une nouvelles opération sur les matrices : l’inversion.
A inversible   A1 tel que A1  A  I n et A  A1
nm
Question : quel est le lien avec les autres opération ?
1
Si A et B inversibles  AB   B 1  A1
Si A inversible :  At    A1  et
1
t
A 
1 1
A
Si A et B sont inversibles, que donne  A  B  ?
1
1 0
1
A
 est inversible A  A
0 1
 1 0 
B  A  
 est aussi inversible.
 0 1
A  B  0 n'est pas inversible.
II.6 Matrices élémentaires :
Outil théorique qui est le pendant de l’outil pratique qui consiste à effectuer des
opérations sur les lignes d’une matrice.
Comment traduire une opération élémentaires sur les lignes d’une matrice en terme de
produit matriciel ?
Rappel :
Opération élémentaire de type I : Li  Li   L j
Opération élémentaire de type II : Li  L j
Opération élémentaire de type III : Li   Li
Type I :
0
1 0


0 1
0
In  




0 0 0 1
MANQUE QQCH JE COMPRENDS PAS
1 0 0


E1   0 1 0 
 0 2 1 


1 0 0


E1 est inversible d’inverse E11  F1   0 1 0  .
0 2 1


1 0 0 1 0 0 1 0 0

 
 

0 1 00 1 0  0 1 0
 0 2 1   0 2 1   0 0 1 

 
 

Exemple :
1 0 0


0 1 0 
0 0 1 L


1
 L3
0 0 1


 0 1 0   E2
1 0 0


Remarque : E2 est inversible E2 1  E2
0 0 1
0 1 0
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Propriétés :
Les matrices élémentaires sont inversibles et leurs invers est aussi élémentaire de
même type.
Quelle est la relation entre les opérations élémentaires sur les lignes d’une matrices et
le produit matriciel ?
Effectuer une opération élémentaires sur les lignes de A  mn revient à multiplier A
à gauche par la matrice élémentaire qui correspond à cette opération élémentaire.
OE
A 
 A

 EA  A

meme OE
I m 
 E
mn
Vérification :
 1 0 0  1 2 -1 0   1 2 -1 0 


 

EA   2 1 0  2 1 3 1    0 -3 5 1   A
 0 0 1  1 2 -1 1   1 2 -1 1 


 

Proposition : (1ère conséquence)
Soit A  mn , soit alors u la matrice de Gauss-Jourdan obtenue en effectuant des opération
élémentaires sur les ligne de A , on peut écrire :
A  E1E2 Er  u où les Ei sont des matrices élémentaires
Exemple :
 1 0 1 0
1 0 1 0

 L3  L3  L1 

A   0 1 0 1    0 1 0 1   F1  A
 -1 0 0 0 
0 0 1 0




1 0 0


F1   0 1 0 
1 0 1


1 0 0 0


F1  A 
0 1 0 1  u
0 0 1 0


L1  L1  L3
 1 0 1


F2   0 1 0 
0 0 1 


F2  F1  A  u
F11  F2 1  F2  F1  A  F11  F2 1  u
 1 0 0   1 0 1  1 0 0 0 

 
 

A  F11  F2 1  u   0 1 0    0 1 0    0 1 0 1 
 1 0 1   0 0 1   0 0 1 0 

 
 

Preuve de la proposition :
A peut être transformée en u par une succession d’opération élémentaires sur ses lignes
 F1 , F2 , , Fr élémentaires tels que Fr Fr 1 F2 F1 A  u
A  F11 F2 1
A  E1 E2
Fr 1  u
Er  u
Restreignons nous maintenant au cas des matrices carrés A   nn
Soit A   nn une matrice sous forme de Gauss-Jourdan obtenue en essectuant des opérations
élémentaires sur les lignes de A .
2 cas :
1) Le nombre de point de u est n alors u  I n est la matrice identité.
2) Le nombre de point de u est inférieur à n alors la dernière ligne de u est une ligne
nulle.
Théorème :
Soit A   nn . Les conditions suivantes sont équivalentes :
a) A est inversible.
b) A est inversible à gauche.
c) A est inversible à droite.
d) A est un produit de matrices élémentaires.
e) Toute matrice u sous forme de Gauss-Jourdan obtenue en effectuant des opération
élémentaires sur les ligne de A est I n .
f) I n peut être obtenue en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes de A .
g) Le système homogène A  x  0 n’admet que la solution triviale : x  0
h) b  n , le système A  x  b admet une et une seule solution.
Preuve :
a)  b)  g)  e)  f)  d)  a)
a)  h)  g)
a)  c)  a)


a)  b) : évident
b)  g) : soit B un inverse à gauche de A :
A x  0
BA x  B0  x  0
In


e)  f) : évident
f)  d) : A  E1 E2
Er  u  E1E2
Er .
In

d)  a) : A  E1E2  A inversible car tous les Ei sont inversibles.




a)
h)
a)
c)
 h) : A1  A  x  A1  b  x  A1  b
 g) : évident
 c) : évident
 a) : évident car matrice carrée
Conséquence pratique de ce résultat :
une technique d’inversion d’une matrice carrée : la méthode de la « matrice compagnon ».
A
In
E1  A  A1
B1  E1  I n  E1
E2  E1  A  A2 E2  E1
E2  E1  A  I n E2  E1
A1
A1
Exemple :
 1 1 1 1 0 0



 1 1 0   0 1 0 
 1 0 1 0 0 1



1 1 1  1 0 0
 L2  L2  L1 



0 2 1  1 1 0
 L3  L3  L1  0 1 0   1 0 1 



1  1
0 0
1 1
1 



 L2  L2  0 1 1/ 2  1/ 2 1/ 2 0 
2

 0 1 0   1
0 1 


0 0
1 1 1   1


L2  L3  L2  0 1 1/ 2   1/ 2 1/ 2 0 
 0 0 1/ 2   1/ 2 1/ 2 1 



0 0
1 1 1   1


L3  2 L3  0 1 1/ 2  1/ 2 1/ 2 0 
 0 0 1   1
1 2 


 L1  L1  L3  1 1 0   2 1 2 





L3  0 1 0   1 0 1 
 L2  L2   0 0 1   1 1 2 



2
 1 0 0   1 1 1
L1  L1  L2  0 1 0   1 0 1
 0 0 1   1 1 2 



A1  A  I 3
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