Algèbre linéaire

Algèbre linéaire
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I S
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et
t
t m
m
ma
a
at
t
tr
r
ri
i
ic
c
ce
e
es
s
s
12
12
2 3 2
4
xx
xx
On considère un champs ou corps commutatif
;;K
.
Exemple :
ou KK
, qui sera appelé les scalaires.
Un système de
m
équations d’algèbre linéaire à
n
variables à coefficient dans
K
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
... 1
, tel que 1
...
nn
nn
ij
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b in
a K ij jn
a x a x a x b
I.1 Opération élémentaires sur les équations.
Opération élémentaire 1 :
i i j
E E E K
1 2 3
1 2 3 2 2 1
13
3
2 2 4 2
3 3 1
x x x
x x x E E E
xx
Opération élémentaire 2 :
ij
EE
et opération élémentaire 3 :
\ 0
i
iE
EK
1 2 3
1 2 3 1 2
3
1 3 3
21
0
4 2 6 2
x x x
x x x E E
E
x x E

I.2 Notation matricielle
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
nn
nn
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
11 12 1
21 22 2
12
...
... matrice des coefficients.
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
1
2 matrice des termes indépendants.
n
b
b
b
b
11 1n 1
1
... ...
/ matrice complète du système.
... ...
m mn m
a a b
Ab
a a b
Exemple :
1 2 3
1 2 3
13
31 1 1 3
2 3 4 2 1 3 4
3 0 5 2
3 5 2
x x x
x x x
xx
2 2 1
3 3 1
1 1 1 3
2 0 3 5 2
3 0 3 8 7
L L L
L L L
3 3 2
1 1 1 3
0 3 5 2
0 3 3 5L L L

I.3 Echelonnement ou « mise en escalier »
Définition :
1
1im
ij jn
uu
est dite échelonnée ou en escalier si le nombre d’entrées nulles au début de
chaque ligne augmente à chaque ligne, l’augmentation étant stricte pour les lignes qui suivent
une ligne non nulle.
Définition :
Le 1er élément non nul d’une ligne s’appelle le pivot de cette ligne.
Théorème :
Toute matrice peut être transformé en une matrice en escalier au moyen d’opérations
élémentaires sur ses lignes.
Définition : matrice en forme de Gauss-Jourdan
C’est une matrice
1
1im
ij jn
uu
où :
1. tous les pivots sont égaux à 1
2. tous les chiffres au-dessus des pivots sont nuls
2
2
3
3
2 2 3
1 1 3
1 1 2
1 -1 1 3 3
0 3 5 -2
0 0 -3 -5 -3
1 -1 1 35
5-2
0 1 3
33
0 0 1 53
43
1 -1 0 19
0 1 0
9
0 0 1 53
319
1 0 0 19
0 1 0 matrice de Gauss-Jour
9
0 0 1 53
L
L
L
L
L L L
L L L
L L L
dan.

I.4 Solution des système linéaires.
1 2 3
1 2 3
13
31 1 1 3
2 3 4 2 1 3 4
3 0 5 2
3 5 2
x x x
x x x
xx
Si le pivot est dans la colonne indépendante alors c’est impossible.
13
2 3 1 2 3
4
1
1 0 1 0 1
0 1 2 0 2 2 2 , , sont des variables pivotables.
0 0 0 1 1 1
xx
x x x x x
x
13
23
4
1On peut exprimer les variables pivotables
2 2 en fonction des variables non pivotables.
système indéterminé (ici de degré 1)
1
xx
xx
x
11 1 12 2 1 1
1 1 2 2
11 12 1 1
12
/
nn
m m mn n m
n
m m mn m
a x a x a x b
a x a x a x b
a a a b
Ab
a a a b