la fiche TD - Sylvain Tisserant

Cours d’Algorithmique I
Treizième fiche de TD – Preuves par récurrence – Divide & conquer
Département Informatique, Réseaux et Multimédia — Polytech Marseille — usage interne
Année 2016-17
Semaine du 12/12/16
1 Preuve par récurrence — Calcul de nombre de feuilles
On considère des arbres pour établir des relations entre le nombre de feuilles et le nombre de nœuds internes
dans ces arbres. Soient N F (A) le nombre de feuilles d’un arbre A et N I(A) son nombre de nœuds internes.
Etablir que, pour tout arbre binaire A, on a la relation N F (A) = N I(A) + 1.
2 Preuve par récurrence — Une famille d’arbres ternaires
Par analogie avec ce qui a été vu en cours, on considère la famille d’arbres ternaires suivante. La famille est
caractérisée par le fait que tout nœud interne vérifie l’une des trois propriétés suivantes: 1) les trois fils du
nœud sont des feuilles ; 2) les deux premiers fils du nœud sont des feuilles et le troisième fils est de profondeur
1 ; 3) les trois fils du nœud sont, dans l’ordre de profondeur k, k + 1 et k + 2.
Donner les arbres en question, pour des profondeurs allant de 0 à 3. Montrer par récurrence que, pour toute
profondeur p donnée, l’arbre est unique.
3 Une fonction bizarre ...
int bizarre_rec ( int a , int b )
{if ( a == 1 || a == 2 || a == b )
return( 1 ) ;
else
if ( bizarre( b ) && a % b == 0 )
return( 0 ) ;
else
return( bizarre_rec( a , b + 1 ) ) ;
}
La fonction ci-contre a été vue en TD il y a quelques
semaines. C’est un prédicat qui dit si le nombre fourni
est premier ou non. En donner un preuve précise.
int bizarre ( int a )
{assert( a > 0 ) ;
return( bizarre_rec( a , 2 ) ) ;
}
En déduire ensuite un algorithme qui multiplie deux entiers binaires avec cette même complexité.
4 Divide and conquer — Multiplication de matrices de Strassen
On souhaite calculer le produit de matrices C = A · B où A, B et C sont des matrices carrées de taille
n. L’algorithme classique utilise n2 produits scalaires de vecteurs de taille n, donnant lieu à une complexité
globale de n3 multiplications (les additions sont négligeables).
!
!
On peut considérer les matrices découpées en quatre sous-matrices
A11 A12
B11 B12
B=
carrées de taille n/2, comme indiqué ci-contre. On obtient alors le A = A
B21 B22
21 A22
résultat grâce à : C11 = A11 · B11 + A12 · B21 ; C12 = A11 · B12 +
!
A12 · B22 ; C21 = A21 · B11 + A22 · B21 et C22 = A21 · B12 + A22 · B22 .
C
C
11
12
Il faut 8 multiplications de matrices de taille n/2 et la complexité
C=
C21 C22
de l’algorithme restera à n3 .
V. Strassen a proposé (1969) un algorithme qui calcule les 7 produits Mi
M1 = (A11 + A21 ) · (B11 + B22 )
ci-contre, pour obtenir le résultat grâce à des additions matricielles.
M2 = (A21 + A22 ) · B11
Montrer que cette approche donne lieu à une complexité de nlog2 7 ' n2.807 .
M3 = A11 · (B12 − B22 )
L’algorithme de Coppersmith-Winograd a une complexité de n2.376 . On ne
M4 = A22 · (B21 − B11 )
sait pas s’il est optimal.
M5 = (A11 + A12 ) · B22
M6 = (A21 − A11 ) · (B11 + B12 )
C11 = M1 + M4 − M5 + M7
C12 = M3 + M5
M7 = (A12 − A22 ) · (B21 + B22 )
C =M +M −M
C =M −M +M +M
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