Triangle rectangle : relations trigonométriques

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3ème
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Triangle rectangle : relations trigonométriques
- cours -
1. Vocabulaire
Dans le triangle
ABC
rectangle en
A
:
 le côté adjacent à l’angle
ABC
est
AB
;
 le côté opposé à l’angle
ABC
est
AC
;
 l’ hypoténuse du triangle rectangle est
BC
.
2. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle :
Définitions :
ABC
est un triangle rectangle en
A
. On a :
longueur du coté adjacent à l'angle ABC BA
cos ABC longueur de l'hypoténuse BC
longueur du coté opposé à l'angle ABC AC
sin ABC longueur de l'hypoténuse BC
longueur du coté opposé à l'angle ABC AC
tan ABC AB
longueur du coté adjacent à l'angle ABC
Exercice de cours 1
Soit un triangle
ABC
rectangle en
B
tel que
AC 7
cm et
BAC 40
. Calculer la longueur
BC
arrondie au dixième.
C
côté adjacent à l’angle
ABC
hypoténuse du
triangle rectangle
côté opposé à
l’angle
ABC
A
B

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3ème
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Dans le triangle
ABC
rectangle en
B
, on a (je connais l’hypoténuse, je cherche le côté opposé à
l’angle 40°) :
BC
sinBAC AC
BC
sin 40 7
sin 40 BC
17
,
7 sin 40
BC 5 2
1
cm
Exercice de cours 2 :
Soit un triangle
DEF
rectangle en
D
tel que
EF 9 cm
et
DEF 50
. Calculer les longueurs
DE
et
DF
arrondies au
dixième.
Dans le triangle
DEF
rectangle en
D
, on a :
,
ED
cos DEF EF
cos 50 ED
19
ED 9 cos 50 5 8 cm
,
DF
sinDEF EF
sin 50 DF
19
DF 9 sin 50 6 9 cm
Exercice de cours 3
ABC
est un triangle rectangle en
B
tel que
,AB 5 3 cm
et
,BC 7 6 cm
. Donner une valeur approchée à
1
près de la
mesure de l’angle
ACB
.
Dans le triangle
ABC
rectangle en
B
, on a :
,
,
AB
tan ACB BC
53
tan ACB 76
ACB 35

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Exercice de cours 4
JK
est un diamètre du demi-cercle C
I
C ;
JK 5cm
;
,IJ 1 4 cm
Calculer la mesure des angles
IJK
et
JKI
, arrondis à
1
près.
Le triangle
IJK
est inscrit dans un cercle et possède
pour côté un diamètre du cercle : il est rectangle en
I
. On a :
,
IJ
cos IJK JK
14
cos IJK 5
IJK 74
,
IJ
sin JKI JK
14
sin JKI 5
JKI 16
3. Deux formules de trigonométrie
Calcul de
22
2
2
AB AB
cos BC BC x
Calcul de
22
2
2
AC AC
sin BC BC x
Donc
2 2 2 2
22
2 2 2
AB AC AB AC
cos sin BC BC BC xx 
D’après le théorème de Pythagore, appliqué au triangle
ABC
rectangle en
A
,
2 2 2
AB AC BC
et donc
2
22
2
BC
cos sin 1
BC
xx  
Propriété :
Quel que soit l’angle
x
,
22
cos sin 1xx
, ou encore
cos sin
22
1xx
Calcul de
AC
sin AC BC AC
BC tan
AB
cos BC AB AB
BC
xx
x    
On retient que, quel que soit l’angle
x
,
Propriété :
Quel que soit l’angle
x
,
sin
tan cosx xx
Exercice de cours
Calculer la valeur exacte de
sin x
et
tan x
, sachant que
4
cos 5 x
(
x
désigne un angle aigu).
A
B
C
x