essentiel a retenir

LYCEE ZAHROUNI-TUNISSCIENCES PHYSIQUES
3ème année
Cinématique
A- Essentiel à retenir
1- L’étude d’un mouvement nécessite la désignation : d’un référentiel c à d :
* D’un repère d’espace.
* et d’un repère de temps.



2- Le vecteur position : OM  x(t ).i  y (t ). j ; x(t) et y(t) sont les coordonnées du mobile dans le
repère orthonormé (O,i,j) x=f(t) et y=(t) sont les équations ( ou lois ) horaires du mouvement.
3- Equation de la trajectoire : L’équation qui donne y en fonction de x , s’appelle équation de la
trajectoire.

Sens du mvt


 d (OM ) dx  dy 
 .i 
j  vx .i  v y . j
4- Le vecteur vitesse d’un mobile : v 
v
dt
dt
dt
Direction : La tangente à la trajectoire au point considéré.
M
Sens : celui du mouvement.

2
Valeur : v  vx  v y2



 d (v ) dvx  dv y 
4- Le vecteur accélération : a 

.i 
. j  ax .i  a y . j
dt
dt
dt
Coordonnées du vecteur accélération dans le repère de Freinet


Sens positif choisi
dv
v2

RC rayon de courbure de la
et aN 
a  aT .T  aN .N avec aT 
dt
RC
T
aT M
trajectoire au point M.
5- Le mouvement rectiligne uniforme
- Un mouvement est dit rectiligne si sa trajectoire relativement à un
aN
repère donné est un segment de droite.
a
- Un mouvement rectiligne est dit uniforme si sa vitesse est constant.
- L’accélération a=0 et la vitesse v = v0 = constante
et l’abscisse
N
x = v0t + x0 avec x0 abscisse du mobile à t = Os.
6- Le mouvement rectiligne uniformément varié :
- Un mouvement rectiligne est dit uniformément varié si son accélération a est constante.
- L’accélération a=constante et la vitesse v= a.t + v0 avec v0 vitesse initiale du mouvement et
l’abscisse x(t) = ½.at2 + v0t + x0 avec x0 abscisse initiale du mobile.
2
2
- Relation indépendante du temps entre la vitesse et l’abscisse B
A
B
A
B- Exercices :
Exercice 1
1- Etablir l’équation de la trajectoire d’un mobile dont le mouvement est défini dans le repère (O,i,j)
par le vecteur position OM = t .i +(2t2 –3)j ? Donner l’allure de cette trajectoire.
2- a- Exprimer le vecteur vitesse v en fonction du temps t.
b- Préciser les caractéristiques du vecteur vitesse v0 à l’origine du temps.
c- Représenter le vecteur v0 sur la trajectoire en utilisant une échelle de votre choix.
3- Déterminer le vecteur accélération a du mobile.
v  v  2.a.( x  x )
4- A quelle date le vecteur vitesse a même direction que i ? Montrer que dans ces conditions la
composante tangentielle aT du vecteur accélération est nulle, en déduire la valeur du rayon de
courbure RC de la trajectoire à cette date.
Exercice 2 :
Un mobile ponctuel est en mouvement sur une trajectoire curviligne dans le repère
d’espace (O,i,j) , il passe par le point A( 0 ; 0) à l’origine des temps avec la vitesse v0 = 2i+5j son
vecteur accélération est a = - 8j.
1- Etablir l’expression de son vecteur vitesse en fonction du temps.
2- Etablir l’équation de sa trajectoire ;quelle est la nature de cette trajectoire ?Donner son allure.
3- Déterminer les composantes normale et tangentielle du vecteur accélération a du mobile à la
date t = 0,625s. Représenter à cette date le vecteur a sur la trajectoire en utilisant l’échelle
suivante : 1cm représente 2 m.s-2.
4- A quelles dates le mobile est-il passé par le point d’ordonnée y=0 ?
Exercice 3
Un mobile M est en mouvement dans un repère orthonormé R(O,i,j). Le vecteur position de M est donné
par OM =(b.t + c).i + (d.t2 + e.t + f).j ; avec b,c,d,e et f sont des constantes.
1- a- Sachant qu’à la date t=0 s OM0 = 0 et v0 = i + 4j et que l’équation de la trajectoire du
mouvement est y(x)= -x2 + 4x, déterminer les valeurs de ces constantes.
b- Déduire l’expression des vecteurs position et vitesse de M.
2- A quelle date t1 le mobile M passe par le point A(4,0) ?
3- Tracer la trajectoire de M pour t [0 ;t1]. Echelle : 2 cm pour 1 m.
4- Déterminer les caractéristiques du vecteur vitesse à t = 2 s.
5- Déterminer l’expression du vecteur vitesse au point A. Préciser si le mouvement est accéléré ou
retardé lors du passage par ce point.
Exercice n :4
Dans un repère (O,i,j) le vecteur position d’un mobile est OM = 2t.i +(-5t2+4t).j
L’unité de mesure et le mètre et le mouvement débute à t=0.
1/ Donner les lois horaires du mouvement et établire l’équation cartésienne du mouvement.
2/ Représenter graphiquement cette trajectoire.
3/ a- donner les caractéristiques du vecteur vitesse du mobile au point sommet S de la trajectoire.
b-A quel instant le mobile passe t-il de se point S.
4/ Donner le vecteur accélération du mobile .
5/ Représenter cette accélération au point S. Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire au point
S.
6/ Déterminer l’accélération normale et tangentielle à l’instant t = 1s.
Exercice 5
Dans un repère orthonormé ( O ;i ;j ), un mobile M est lancé , à l’origine du temps , de l’origine O du
repère avec une vitesse initiale V0 = 2i - 8j . Le vecteur accélération du mouvement est a = 8 j .L’unité
de mesure dans le repère ( O , i , j ) est le mètre.
1/ a- Déterminer l’expression du vecteur vitesse du mobile au cours du temps.
b- Déterminer les lois horaires du mouvement . En déduire l’équation cartésienne de la trajectoire.
Représenter cette trajectoire selon l’échelle suivant : 1m
1cm.
2/ a- Déterminer les caractéristique du vecteur vitesse à l’instant t = 1s .Représenter ce vecteur
vitesse ainsi que le vecteur accélération sur la trajectoire. Préciser l’échelle choisie.
b- Calculer le rayon de courbure de la trajectoire à cet instant.
3/ a- Déterminer la position du mobile pour laquelle le vecteur vitesse fait un angle de 45° avec le
vecteur accélération.
b- Calculer en cette position le rayon de courbure de la trajectoire.
4/ Si la vitesse avec laquelle est lancé le mobile à l’origine du temps est V0 = 2 i + V0y .j .
Quelle valeur doit avoir V0y pour que le mobile passe par le point A ( 5 ; 0 ). Justifier la réponse