Partie B : étude de la fonction f

Correction du dst
Exercice 1
Revenir au prix initial signifie que le produit des deux cœfficients multiplicateurs est égal à 1 :
il faut appliquer un coefficient
2
CM
tel que
12
1CM CM
.
On en déduit que
21
10,625CM CM
ce qui correspond à une baisse de 37,5%.
2. Lors d'une expérience aléatoire, on considère deux événements indépendants A et B qui vérifient
P(A) = 0,3 et P(B) = 0,5. On a alors:
P A B P A P B P A B    
. Puisque les événements A et B sont indépendants, on a :
()P A B P A P B  
. On en déduit que
()P A B P A P B P A P B    
soit
0,65P A B
.
3. f est la fonction définie sur 1'intervalle ] 0 ; + [ par
1
21f x x x
.
1
lim 2 1 lim
xx
f x x x
. Comme
1
lim 0
xx
la droite d’équation
21yx
est asymptote à la
courbe en .
4. On rappelle que pour a > 0 et b > 0 :
ln ln ln
aab
b
et
ln ln lna b a b  
.
8
2ln 5ln2 ln
4
e
Ae
2(ln ln(4)) 5ln2 ln 8 ln( )A e e    
23
2ln 2ln(2 ) 5ln2 ln 2 ln( )A e e    
.
comme ln(e) = 1 et
ln 2 ln 2
nn
pour
n
on obtient :
2 4ln(2) 5ln2 3ln 2 1A    
finalement :
1 4ln 2A
.
P0
P1
P0
1
CM
1
2
CM
Augmenter un nombre de 60 %
revient à le multiplier par le
coefficient
160
1 1,60
100
  CM
.
Quand on enchaîne des
augmentations, le s coefficients
multiplicateurs se multiplient.

Exercice 2
1. a. D’après l’énoncé :
0,2pN
;
0,7
N
pS
;
0,1
N
pS
.
On peut construire l’arbre de probabilité illustrant la situation :
S
0,7
N
0,2
0,3
S
0,1 S
0,8
N
0,9
S
Autre méthode :
0,22 0,2 0,3 0,28p N S p N S p N S        
.
2. Les différentes valeurs de X sont :
- 170 € si le client achète une nappe et un lot de serviettes :
170 0,14p X p N S   
;
- 125 € si le client achète seulement une nappe :
145 0,06p X p N S   
;
- 45 € si le client n’achète qu’un lot de serviettes :
45 0,08p X p N S   
;
- 0 € si le client n’achète rien :
0 0,72p X p N S   
.
On peut dresser le tableau suivant donnant la loi de probabilité de X.
k dépense en €
170
125
45
0
p X k
0,14
0,06
0,08
0,72
b. L’espérance de cette loi est :
0,14 170 0,06 125 0,08 45 0,72 0 34,9EX        
.
Un client dépense en moyenne 34,9 €.
3. On répète trois fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli à deux issues :
- T : « le client achète l’ensemble nappe et serviettes » de probabilité 0,14 ;
-
T
de probabilité 0,86.
La loi de probabilité du nombre de succès est la loi binomiale de paramètres 3 et 0,14.
Il y a trois résultats réalisant l’événement : « un seul client achète l’ensemble nappe et serviettes » ;
T T T
,
T T T
et
TTT
.
Chaque résultat est de probabilité :
2
0,14 0,86
donc la probabilité cherchée est :
2
3 0,14 0,86
,
soit, arrondi au millième : 0,311.
b. On cherche
p N S
:
0,2 0,7 0,14
N
p N S p N p S     
;
La probabilité qu’un client achète une nappe et un lot de serviettes
est 0,14.
c. D’après la formule des probabilités totales :
0,14 0,8 0,1 0,22p S p N S p N S       
;
0,22pS
d. La probabilité qu’un client achète au moins l’un des deux articles
est
0,2 0,22 0,14 0,28p N S p N p S p N S        
.

Exercice 3
Partie A : étude d’une fonction auxiliaire
1)° La fonction g est dérivable sur  comme produit de fonctions dérivables sur .
On trouve, en rédigeant correctement
( Ici, il faut voir la forme u×v) :
x x x
g'(x) 1 e xe e (x 1)    
.
Pour tout x  : ex>0, alors g’ est du signe
de x+1. D’où le tableau de variations :
1°) On voit que g admet sur  un minimum en -1 égal
1
2e
>0, donc pour tout x  : g(x)>0.
Partie B : étude de la fonction f
1°) a) Déterminer les limites de f en – et en + .
xx
x x x x
lim f(x) lim 2x (x 1)e , car: lim 2x et lim (x 1)e 0
xx
x x x x
lim f(x) lim 2x (x 1)e , car: lim 2x et lim (x 1)e
2°) a)
xx
x x x
lim f(x) 2x lim 2x (x 1)e 2x lim (x 1)e 0
.
Alors, la droite (D) d’équation y = 2x est asymptote à la courbe (C) au voisinage de – .
b) Etudier la position de (C) par rapport à (D).
On a f(x)-2x = (x – 1) ex. Cette expression est du signe de (x-1). Donc :
Pour x>1 : f(x)-2x >0, c’est-à-dire (C) est au-dessus de (D).
Pour x<1 : f(x)-2x <0, c’est-à-dire (C) est en dessous de (D).
3°) a) La fonction f est dérivable sur  comme produit de fonctions dérivables sur .
On trouve, en rédigeant correctement (Ici, il faut voir la forme u×v) :.
x x x
f '(x) 2 e (x 1)e 2 xe g(x)      
b) On voit que f’(x) est du signe de g(x),
on peut donc utiliser le tableau suivant à
l’aide de la fin de la partie A :
3°) L’équation de la tangente est :
y = f ‘(0)(x – 0 ) + f (0)  y = 2(x – 0 ) + (- 1) 
x
-∞ -1 +∞
g ’(x)
- 0 +
g (x)
1
2e
x
-∞ +∞
f ’ (x)=g (x)
+
f (x)
+∞
- ∞

y = 2x-1
Exercice 4
1. Nuage de points :
Part des élues en %
Rang de l'année
2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0 1
1
x
y
2. Une équation de la droite d’ajustement affine
de y en x par la méthode des moindres carrés
est :
1,06 1,15yx  
3. L’année 2007 est l’année de rang 10, une
estimation de la part des femmes élues maires en
2007 est donc donnée par :
10 10
1,06 1,15yx  
soit
10 1,06 10 1,15y  
donc, d’après cet
ajustement affine, l’estimation de la part de
femmes élues en pourcentage est de
10 9,45y
.
4. La forme du nuage de points laisse penser qu’un autre ajustement serait préférable.
Pour cela, on pose z = ln y, où ln est la fonction logarithme népérien.
5. a. Tableau faisant apparaître les valeurs x et les valeurs :
lnzy
, arrondies au centième.
Année
1947
1953
1959
1965
1971
1977
1983
1989
1995
2001
Rang
i
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ln( )
ii
zy
-0,36
-0,22
0
0,10
0,53
0,96
1,39
1,70
2,03
2,42
b. Une équation de la droite d’ajustement affine de z en x par la méthode des moindres
carrés, les coefficients étant arrondis au centième, est :
0,32 0,61zx
.
c. D’après la question b.
0,32 0,61zx
or,
lnzy
, on en déduit que
ln( ) 0,32 0,61yx
ln( ) 0,32 0,61yx
ee
0,61 0,32x
y e e
0,32
0,54 x ye  
. L’ajustement est
0,32
0,54 x ye
d. L’année 2007 est l’année de rang 10, une estimation de la part des femmes élues maires en 2007
est donc selon ce dernier ajustement :
0,32 10
10 0,54ye
donc, d’après cet ajustement, l’estimation de
la part de femmes élues en pourcentage est de 13,3 %.