DS 8 TS3 - Case des Maths

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D EVOIR
SURVEILLÉ N◦
VIII : Probabilités, Calcul intégral
TS3
Correction
Exercice 1
Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a
permis d’établir que la probabilité qu’un moteur tombe en panne pendant la première année d’utilisation est
égale à 0,12.
Tous les résultats seront arrondis à 10−3
Partie A
Une entreprise achète 20 moteurs électriques dans ce magasin.
On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est suffisamment important pour que l’achat de
20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise.
1. Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première année d’utilisation ?
On teste un lot de 20 moteurs électriques dans ce magasin. (on considère qu’il s’agit de tirages avec remise
indépendants). On note X la variable aléatoire égale au nombre de moteurs tombant en panne pendant la
première année d’utilisation dans le lot.
L’expérience qui consiste à tester un moteur est une épreuve de Bernoulli.
On appelle S l’événement « Le moteur tombe en panne pendant la première année d’utilisation ».
Alors p(S) = 0,12. Les tests sont indépendants, donc constituent un schéma de Bernoulli.
X suit donc la loi binomiale B(20; 0,12).
Calculons P(Y = 2).
X suit donc la loi binomiale B(20,0,12) alors
!
20
p(X = 2) =
(0,12)2 (0,88)18 ≃ 0,274
2
p(X = 2) ≃ 0,274
2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d’utilisation ?
!
20
On veut calculer ici P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 −
(0,12)0 (0,88)20 = 1 − (0,88)20 ≃ 0,922
0
P(X ≥ 1) ≃ 0,922.
Partie B
On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire Y
qui suit une loi exponentielle de paramètre λ où λ, est un réel strictement positif.
Zt
On rappelle que pour tout réel positif t, p(Y 6 t) =
λe−λx dx.
0
Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à 10−3 .
1. Exprimer p(Y 6 1) en fonction de λ. En déduire la valeur de λ.
Z1
h
i1
p(Y 6 1) =
λe−λx dx = −e−λx = −e−λ − (−e−0 ) = 1 − e−λ
0
0
Une étude statistique du service après-vente a permis d’établir que la probabilité qu’un moteur tombe en
panne pendant la première année d’utilisation est égale à 0,12.
On a donc P(Y ≤ 1) = 0,12 ⇐⇒ 1 − e−λ ⇐⇒ e−λ = 0,88 ⇐⇒ − = ln(0,88)
= − ln(0,88) ≃ 0,128
Pour la suite de l’exercice, on prendra λ = 0,128 .
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2. Quelle est la probabilité qu’un moteur dure plus de 3 ans ?
On calcule P(Y ≥ 3) = 1 − P(Y < 3) = 1 − P(Y ≤ 3) = 1 − (1 − e−3λ ) = e−3λ
P(Y ≥ 3) ≃ 0,681
3. Quelle est la probabilité qu’un moteur dure plus de 4 ans sachant qu’il a duré plus d’un an ?
On veut ici calculer PY≥1 (Y ≥ 4)
Définition
Si P(A) , 0, on appelle probabilité conditionnelle de B sachant A le nombre noté PA (B), ou parfois P(B|A),
P(A ∩ B)
et défini par PA (B) =
.
P(A)
P((Y ≥ 4) ∩ (Y ≥ 1))
P(Y ≥ 1)
Or L’événement Y ≥ 4) est inclus dans l’événement (Y ≥ 1) donc (Y ≥ 4) ∩ (Y ≥ 1) = (Y ≥ 4)
P(Y ≥ 4) e−4λ
Ainsi PY≥1 (Y ≥ 4) =
= −λ = e−3λ ≃ 0,681
P(Y ≥ 1)
e
Ici PY≥1 (Y ≥ 4) =
PY≥1 (Y ≥ 4) ≃ 0,681
Z
t
4. On rappelle que E(Y) = lim F(t) où F est la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par F(t) =
λxe−λx dx.
t→+∞
0
1
a) Montrer que x 7→ − + x e−λx est une primitive de x 7→ λxe−λx . en déduire F(t) en fonction de t
λ 1
Notons G : x 7→ − + x e−λx
λ
Calculons la dérivée de G :
Ayant G = uv, on a G′ = u ′ v + v ′ u
1
u(x) = − + x donc u ′ (x) = −1
λ
v(x) = e−λx donc v ′ (x) = −λe−λx
1
G′ (x) = −1 × e−λx − −λe−λx ×
+x
λ
1 −λx
′
−λx
+ λxe−λx
e
G (x) = −e
− −λ ×
λ
G′ (x) = −e−λx + e−λx + λxe−λx = xe−λx
Zt
Zt
Ainsi F(x) =
λxe−λx dx =
G′ (x) dx
0
0
1
1
Soit F(x) = [G(t)]t0 = G(t) − G(0) = − + t e−λt − − e0
λ
λ
1
1
F(t) = − + t e−λt +
λ
λ
1
1
F(t) = − × e−λt − te−λt +
λ
λ
b) Calculer E(Y), puis interpréter le résultat et arrondir le résultat à 10−1 près.
On calcule lim F(t)
t→+∞
1
1
1
On écrit F(t) = − × e−λt + −λte−λt +
λ
λ
λ

lim −λt = −∞ 


|{z}
t→+∞


lim −λte−λt = 0.

λ>0
 Par composée t→+∞

X

lim Xe = 0

X→−∞

−λt
lim −te = 0 

1

t→+∞
 Par somme lim F(t) = .
−λt
t→+∞

lim −e = 0 
λ
t→+∞
1
≃ 7,8 années
λ
Interprétation : Pour un moteur électrique acheté dans ce magasin le temps moyen avant la première
panne est de 7,8 années, ou le temps moyen de bon fonctionnement d’un moteur électrique est de 7,8
années.
E(Y) =
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Exercice 2
1. La fonction f est continue car dérivable sur R, donc F : x 7→
Z
x
f (t) dt est la primitive de f qui s’annule en
2
2.
Ainsi F est dérivable sur R et donc F′ (x) = f (x)
Or d’après le tableau de variations de f , on a pour tout x ∈ R ; f (x) > 0.
Ayant pour tout x ∈ R ; F′ (x) ≥ 0, on a donc prouvé que
2. Sur [2 ; +∞[, f (x) > 4e−2 , d’où
Z
F est croissante sur R.
Zx
3
f (t) dt 6
4e−2 dt soit F(3) 6 4e−2 .
2
2
D’autre part cette intégrale d’une fonction positive sur l’intervalle [2 ; 3] est positive.
On a donc 0 ≤ F(3) 6 4e−2 .
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