DS 8 TS3 - Case des Maths

DEVOIR SURVEILLÉ N◦VIII : Probabilités, Calcul intégral
TS3 Correction
Exercice 1
Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a
permis d’établir que la probabilité qu’un moteur tombe en panne pendant la première année d’utilisation est
égale à 0,12.
Tous les résultats seront arrondis à 10−3
Partie A
Une entreprise achète 20 moteurs électriques dans ce magasin.
On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est suffisamment important pour que l’achat de
20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise.
1. Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première année d’utili-
sation ?
On teste un lot de 20 moteurs électriques dans ce magasin. (on considère qu’il s’agit de tirages avec remise
indépendants). On note Xla variable aléatoire égale au nombre de moteurs tombant en panne pendant la
première année d’utilisation dans le lot.
L’expérience qui consiste à tester un moteur est une épreuve de Bernoulli.
On appelle Sl’événement « Le moteur tombe en panne pendant la première année d’utilisation ».
Alors p(S) = 0,12. Les tests sont indépendants, donc constituent un schéma de Bernoulli.
Xsuit donc la loi binomiale B(20;0,12).
Calculons P(Y = 2).
Xsuit donc la loi binomiale B(20,0,12) alors
p(X = 2) = 20
2!(0,12)2(0,88)18 ≃0,274
p(X = 2) ≃0,274
2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d’uti-
lisation ?
On veut calculer ici P(X ≥1) = 1 −P(X = 0) = 1 − 20
0!(0,12)0(0,88)20 = 1 −(0,88)20 ≃0,922
P(X ≥1) ≃0,922.
Partie B
On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire Y
qui suit une loi exponentielle de paramètre λoù λ, est un réel strictement positif.
On rappelle que pour tout réel positif t, p(Y 6t) = Zt
0
λe−λxdx.
Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à 10−3.
1. Exprimer p(Y 61) en fonction de λ. En déduire la valeur de λ.
p(Y 61) = Z1
0
λe−λxdx=h−e−λxi1
0=−e−λ−(−e−0) = 1 −e−λ
Une étude statistique du service après-vente a permis d’établir que la probabilité qu’un moteur tombe en
panne pendant la première année d’utilisation est égale à 0,12.
On a donc P(Y ≤1) = 0,12 ⇐⇒ 1−e−λ⇐⇒ e−λ= 0,88 ⇐⇒ − = ln(0,88)
=−ln(0,88) ≃0,128
Pour la suite de l’exercice, on prendra λ= 0,128 .

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2. Quelle est la probabilité qu’un moteur dure plus de 3 ans ?
On calcule P(Y ≥3) = 1 −P(Y <3) = 1 −P(Y ≤3) = 1 −(1 −e−3λ) = e−3λ
P(Y ≥3) ≃0,681
3. Quelle est la probabilité qu’un moteur dure plus de 4 ans sachant qu’il a duré plus d’un an ?
On veut ici calculer P
Y≥1(Y ≥4)
Si P(A) ,0, on appelle probabilité conditionnelle de Bsachant Ale nombre noté P
A(B), ou parfois P(B|A),
et défini par P
A(B) = P(A ∩B)
P(A) .
Définition
Ici P
Y≥1(Y ≥4) = P((Y ≥4) ∩(Y ≥1))
P(Y ≥1)
Or L’événement Y≥4) est inclus dans l’événement (Y ≥1) donc (Y ≥4) ∩(Y ≥1) = (Y ≥4)
Ainsi P
Y≥1(Y ≥4) = P(Y ≥4)
P(Y ≥1) =e−4λ
e−λ=e−3λ≃0,681
P
Y≥1(Y ≥4) ≃0,681
4. On rappelle que E(Y) = lim
t→+∞F(t)où Fest la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[par F(t) = Zt
0
λxe−λxdx.
a) Montrer que x7→ −1
λ+xe−λxest une primitive de x7→ λxe−λx. en déduire F(t)en fonction de t
Notons G : x7→ − 1
λ+xe−λx
Calculons la dérivée de G:
Ayant G = uv, on a G′=u′v+v′u
u(x) = −1
λ+xdonc u′(x) = −1
v(x) = e−λxdonc v′(x) = −λe−λx
G′(x) = −1×e−λx−−λe−λx×1
λ+x
G′(x) = −e−λx−−λ×1
λe−λx+λxe−λx
G′(x) = −e−λx+e−λx+λxe−λx=xe−λx
Ainsi F(x) = Zt
0
λxe−λxdx=Zt
0
G′(x)dx
Soit F(x) = [G(t)]t
0= G(t)−G(0) = −1
λ+te−λt−−1 λe0
F(t) = −1
λ+te−λt+1 λ
F(t) = −1
λ×e−λt−te−λt+1 λ
b) Calculer E(Y), puis interpréter le résultat et arrondir le résultat à 10−1près.
On calcule lim
t→+∞F(t)
On écrit F(t) = −1
λ×e−λt+1 λ−λte−λt+1 λ
lim
t→+∞−λt=
|{z}
λ>0
−∞
lim
X→−∞ XeX= 0
Par composée lim
t→+∞−λte−λt= 0.
lim
t→+∞−te−λt= 0
lim
t→+∞−e−λt= 0 
Par somme lim
t→+∞F(t) = 1
λ.
E(Y) = 1
λ≃7,8années
Interprétation : Pour un moteur électrique acheté dans ce magasin le temps moyen avant la première
panne est de 7,8 années, ou le temps moyen de bon fonctionnement d’un moteur électrique est de 7,8
années.
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Exercice 2
1. La fonction fest continue car dérivable sur R, donc F : x7→ Zx
2
f(t)dtest la primitive de fqui s’annule en
2.
Ainsi Fest dérivable sur Ret donc F′(x) = f(x)
Or d’après le tableau de variations de f, on a pour tout x∈R;f(x)>0.
Ayant pour tout x∈R;F′(x)≥0, on a donc prouvé que
Fest croissante sur R.
2. Sur [2 ; +∞[, f (x)>4e−2, d’où Z3
2
f(t)dt6Zx
2
4e−2dtsoit F(3) 64e−2.
D’autre part cette intégrale d’une fonction positive sur l’intervalle [2 ; 3] est positive.
On a donc 0≤F(3) 64e−2.
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