Anneau sur une tige en rotation uniforme dans un plan horizontal
Un anneau, assimilé à un point matériel M,
de masse m, glisse sur une tige rectiligne tournant à
la vitesse angulaire constante
, dans le plan
horizontal (xOy), autour de son extrémité O.
On repère la position de la tige par l'angle
polaire qu'elle fait avec l'axe Ox et la position de
M sur la tige par la distance r = OM.
À la date t = 0, l'anneau M est en M0, ses
coordonnées polaires sont r = r0 et = 0 et il est
immobile par rapport à la tige :
.
1) a) Exprimer, avec r,
,
, 0 et les vecteurs unitaires
,
et
, les vecteurs position, (
),
vitesse (
) et accélération (
) du point M.
b) On note g l'intensité du champ de pesanteur. Exprimer, dans la base (
,
,
), les vecteurs
forces poids (
), et réaction de la tige sur M (
) (on notera ses éventuelles coordonnées cylindropolaires
Rr, R et Rz) en admettant que du fait du frottement fluide (tige lubrifiée) on a
, avec un
coefficient k constant et positif.
2) On se place d'abord dans le cas où l'on peut négliger les frottements : k = 0.
a) Établir l'équation différentielle vérifiée par r = f(t).
Résoudre cette équation différentielle, compte tenu des conditions initiales.
(La solution générale d'une équation différentielle du type
s'écrit de préférence, en
physique, sous la forme y = A ch( t) + B sh( t), plutôt que y = a et + b e–t).
b) Exprimer r en fonction de .
c) Exprimer Rz puis R en fonction de t, avec les paramètres m, r0, 0 et g).
3) On tient maintenant compte du frottement fluide entre la tige et l'anneau :
.
On pose :
et
.
a) Quelle équation différentielle est vérifiée par r = f(t) ?
b) Exprimer la solution de cette équation différentielle, compte tenu des conditions initiales en
utilisant les paramètres r0, ω et λ, sans utiliser les fonctions hyperboliques.
c) Montrer que la solution s'écrit aussi sous la forme
. Exprimer A et φ avec r0,
ω, ω0 et λ.
4) a) Exprimer la composante normale à la tige de la réaction,
, avec m, g, ω0,
et
les vecteurs unitaires.
0
M0x
M
r
r0
Oz
0
M0x
M
r
r0
Oz