sujet 16
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Anneau sur une tige en rotation uniforme dans un plan horizontal Un anneau, assimilé à un point matériel M, de masse m, glisse sur une tige rectiligne tournant à M la vitesse angulaire constante 0 , dans le plan horizontal (xOy), autour de son extrémité O. On repère la position de la tige par l'angle polaire qu'elle fait avec l'axe Ox et la position de M sur la tige par la distance r = OM. À la date t = 0, l'anneau M est en M0, ses coordonnées polaires sont r = r0 et = 0 et il est immobile par rapport à la tige : r 0 . r 0 r0 Oz 1) x M0 a) Exprimer, avec r, r , r , 0 et les vecteurs unitaires u r , u et u z , les vecteurs position, ( OM ), vitesse ( v ) et accélération ( a ) du point M. b) On note g l'intensité du champ de pesanteur. Exprimer, dans la base ( u r , u , u z ), les vecteurs forces poids ( P ), et réaction de la tige sur M ( R ) (on notera ses éventuelles coordonnées cylindropolaires Rr, R et Rz) en admettant que du fait du frottement fluide (tige lubrifiée) on a R r k r , avec un coefficient k constant et positif. 2) On se place d'abord dans le cas où l'on peut négliger les frottements : k = 0. a) Établir l'équation différentielle vérifiée par r = f(t). Résoudre cette équation différentielle, compte tenu des conditions initiales. d2y (La solution générale d'une équation différentielle du type 2 y 0 s'écrit de préférence, en 2 dx physique, sous la forme y = A ch( t) + B sh( t), plutôt que y = a e t + b e–t). b) Exprimer r en fonction de . c) Exprimer Rz puis R en fonction de t, avec les paramètres m, r0, 0 et g). On tient maintenant compte du frottement fluide entre la tige et l'anneau : k 0 . k 2 On pose : et 0 2 . 2m a) Quelle équation différentielle est vérifiée par r = f(t) ? b) Exprimer la solution de cette équation différentielle, compte tenu des conditions initiales en utilisant les paramètres r0, ω et λ, sans utiliser les fonctions hyperboliques. c) Montrer que la solution s'écrit aussi sous la forme r Ae t ch (t ) . Exprimer A et φ avec r0, ω, ω0 et λ. 3) 4) a) Exprimer la composante normale à la tige de la réaction, R N R u R z u z , avec m, g, ω0, r et les vecteurs unitaires. b) Démontrer que le travail élémentaire δW de R N est bien la différentielle d'une fonction de la position de M, c'est-à-dire que R N est conservative et Donner l'expression de l'énergie potentielle correspondante avec m, r et ω0. Que peut-on dire des autres forces exercées sur M. (Travaillent-elles ? Sont-elles conservatives ?). c) Avec un raisonnement sur l'énergie mécanique du point matériel M, dans le cas où k = 0, 2 démontrer que l'équation de la trajectoire de phase s'écrit : r r 2 0 2 r0 2 0 2 . 5) On veut maintenant établir l'équation du portrait de phase du point M dans le cas général ( k 0 ) en utilisant l'équation différentielle obtenue au 3) a). m r a) On pose Q 0 0 et on utilise les variables sans dimensions et 0 t . On notera r0 2 k d d 2 et " 2 . d d Montrer que l'équation différentielle dont ρ en fonction de τ est solution s'écrit très simplement avec Q pour seul paramètre. b) Si k = 0, que devient cette équation différentielle. Démontrer que, compte tenu des conditions posées à t = 0, elle s'intègre facilement pour donner l'équation de la trajectoire de phase : ρ'2 = 1 + ρ2. c) Pour k > 0, il n'est pas possible de donner une ' expression de l'équation de la trajectoire de phase avec les fonctions habituelles. Un logiciel de calcul formel permet cependant de tracer les trajectoires de phase si on donne l'équation différentielle vérifiée par ρ(τ) et un point de la trajectoire de phase. Pour les valeurs Q = 0,5 ; Q = 3 et Q = on obtient les tracé ci-contre pour lesquels on a supposé qu'à t = 0, r = r0 et r 0 , mais en supposant que le mouvement a pu démarrer pour t < 0. À quelle valeur de Q correspond la courbe qui présente deux asymptotes représentées sur le dessin ? De quel type de courbe simple s'agit-il ? Repérer la courbe correspondant à Q = 0,5 et montrer avec une flèche pour ρ' < 0 et une autre pour ρ > 0 dans quel sens cette trajectoire de phase est parcourue ? '
