sujet 16

Anneau sur une tige en rotation uniforme dans un plan horizontal
Un anneau, assimilé à un point matériel M,
de masse m, glisse sur une tige rectiligne tournant à
la vitesse angulaire constante
0
, dans le plan
horizontal (xOy), autour de son extrémité O.
On repère la position de la tige par l'angle
polaire  qu'elle fait avec l'axe Ox et la position de
M sur la tige par la distance r = OM.
À la date t = 0, l'anneau M est en M0, ses
coordonnées polaires sont r = r0 et  = 0 et il est
immobile par rapport à la tige :
0r 
.
1) a) Exprimer, avec r,
r
,
r
, 0 et les vecteurs unitaires
r
u
,
u
et
z
u
, les vecteurs position, (
OM
),
vitesse (
v
) et accélération (
a
) du point M.
b) On note g l'intensité du champ de pesanteur. Exprimer, dans la base (
r
u
,
u
,
z
u
), les vecteurs
forces poids (
P
), et réaction de la tige sur M (
R
) (on notera ses éventuelles coordonnées cylindropolaires
Rr, R et Rz) en admettant que du fait du frottement fluide (tige lubrifiée) on a
 rkRr
, avec un
coefficient k constant et positif.
2) On se place d'abord dans le cas où l'on peut négliger les frottements : k = 0.
a) Établir l'équation différentielle vérifiée par r = f(t).
Résoudre cette équation différentielle, compte tenu des conditions initiales.
(La solution générale d'une équation différentielle du type
0y
dx
yd 2
2
2
s'écrit de préférence, en
physique, sous la forme y = A ch( t) + B sh( t), plutôt que y = a et + b e–t).
b) Exprimer r en fonction de .
c) Exprimer Rz puis R en fonction de t, avec les paramètres m, r0, 0 et g).
3) On tient maintenant compte du frottement fluide entre la tige et l'anneau :
0k 
.
On pose :
m2k
et
2
2
0
.
a) Quelle équation différentielle est vérifiée par r = f(t) ?
b) Exprimer la solution de cette équation différentielle, compte tenu des conditions initiales en
utilisant les paramètres r0, ω et λ, sans utiliser les fonctions hyperboliques.
c) Montrer que la solution s'écrit aussi sous la forme
)t(chAert 
. Exprimer A et φ avec r0,
ω, ω0 et λ.
4) a) Exprimer la composante normale à la tige de la réaction,
 zzN uRuRR
, avec m, g, ω0,
r
et
les vecteurs unitaires.
0
M0x
M
r
r0
Oz
0
M0x
M
r
r0
Oz

b) Démontrer que le travail élémentaire δW de
N
R
est bien la différentielle d'une fonction de la
position de M, c'est-à-dire que
N
R
est conservative et Donner l'expression de l'énergie potentielle
correspondante avec m, r et ω0.
Que peut-on dire des autres forces exercées sur M. (Travaillent-elles ? Sont-elles conservatives ?).
c) Avec un raisonnement sur l'énergie mécanique du point matériel M, dans le cas où k = 0,
démontrer que l'équation de la trajectoire de phase s'écrit :
2
0
2
0
2
0
2
2rrr 
.
5) On veut maintenant établir l'équation du portrait de phase du point M dans le cas général (
0k 
)
en utilisant l'équation différentielle obtenue au 3) a).
a) On pose
km 2
Q00 
et on utilise les variables sans dimensions
0
rr
et
t
0
. On notera
 d
d
'
et
2
2
d
d
"
.
Montrer que l'équation différentielle dont ρ en fonction de τ est solution s'écrit très simplement avec
Q pour seul paramètre.
b) Si k = 0, que devient cette équation différentielle. Démontrer que, compte tenu des conditions
posées à t = 0, elle s'intègre facilement pour donner l'équation de la trajectoire de phase : ρ'2 = 1 + ρ2.
c) Pour k > 0, il n'est pas possible de donner une
expression de l'équation de la trajectoire de phase avec les
fonctions habituelles.
Un logiciel de calcul formel permet cependant de tracer
les trajectoires de phase si on donne l'équation différentielle
vérifiée par ρ(τ) et un point de la trajectoire de phase.
Pour les valeurs Q = 0,5 ; Q = 3 et Q =  on obtient les
tracé ci-contre pour lesquels on a supposé qu'à t = 0, r = r0 et
0r 
, mais en supposant que le mouvement a pu démarrer pour
t < 0.
À quelle valeur de Q correspond la courbe qui présente
deux asymptotes représentées sur le dessin ? De quel type de
courbe simple s'agit-il ?
Repérer la courbe correspondant à Q = 0,5 et montrer
avec une flèche pour ρ' < 0 et une autre pour ρ > 0 dans quel sens
cette trajectoire de phase est parcourue ?
' '