GEOMETRIE_incomplet


GEOMETRIE DANS L’ESPACE
 k1, k2 , k3    0,0,0
 

On appelle repère de la droite d tout couple A, u avec A  d et u

un vecteur directeur de d.

u et v sont colinéaires ou linéairement dépendants si il existe k et
k’ de R² tel que ku  k v  0 avec (k,k’)(0,0).

u et v sont non colinéaires ou linéairement indépendants ssi
ku  k v  0  k=k’=0.

D  ku, k 


On appelle repère du plan P(E) tout triplet A, AB, AC où A,B,C

Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l’espace.

u , v , w forment une base de l’espace si tous les vecteurs de
l’espace peuvent s’écrire de manière unique sous forme de
combinaisons linéaires de u , v , w .

x x x
u , v , w est une base de l’espace  y y y  0
z z z

x x x
u , v , w sont coplanaires  y y y  0
z z z

Soit d A, u
sont trois points non alignés de P.


M  P A, u, v  !  ,   

  
2
, AM   u   v

d A, u // P A, v1 , v2  k1 , k2  , u  k1 u1  k2 u2





P A, u1 , u2 // P B, v1 , v2   ,  ,  ,    , u1   v1   v2 et u2   v1   v2

Soient u et v non colinéaires, P  ku  k v, k , k  

w  P  ! x, y  , w  xu  yv

x x
u  x, y  et v  x, y  forment une base de P 
0
y y
 
la droite passant par le point A  xA , yA , z A  et de
vecteur directeur u  u1 , u2 , u3  alors une équation paramétrique de
la droite d est :
 x  xA  u1

M  x, y, z   d  AM   u  OM  OA  u   y  y A  u2  
 z  z  u
A
3

est un plan
vectoriel de base ( u , v ).

u , v , w sont non coplanaires ssi
k1 u  k2 v  k3 w  0  k1  k2  k3  0
 est une droite vectorielle de base u .



u , v , w sont coplanaires  k1 , k2 , k3  , k1u  k2 v  k3 w  0 avec

Soient deux points A  xA , yA , z A  et B  xB , yB , zB  distincts alors la
droite  AB  pour équation cartésienne :
1
1 x y
x y
1 yA
1 xA
1 xA y A  A A  x
y
0
xB yB
1 yB
1 xB
1 xB yB

1 zC

zB  0
 x  xA  u1   v1

 OM  OA   u   v   y  y A  u2   v2
 z  z  u   v
A
3
3

Soient trois points A  xA , yA  , B  xB , yB  , C  xC , yC  distincts alors
l’aire du triangle ABC est donné par :

2  S ABC  1 xB yB

i 1,2,3
Avec les mêmes notations, voici l’équation cartésienne du plan P :
M  x, y, z   P  AM , u, v coplanaires  y  y A u2 v2  0
Dans l’espace, deux droites peuvent être sécantes, parrallèles
(éventuellement confonfues) et gauches (aucun point commun).
Deux droites sécantes ou parrallèles sont coplanaires.
Soient trois droites di : ai x  bi y  ci  0
,  
x  xA u1 v1
1 xC yC

le plan passant par le point A  xA , yA , z A  et de
M  x, y, z   P  AM   u   v
zC
1 xA y A

vecteurs directeurs u  u1 , u2 , u3  et v  v1 , v2 , v3  alors une équation
paramétrique du plan P est :
1 zA zA
Avec les complexes on a A  z A  , B  z B  , C  zC  alignés  1 z B

Soit P A, u, v
z  z A u3 v3
En regroupant les termes on obtient une équation de type
non parrallèles. Alors
ax  by  cz  d  0
a1 b1 c1
d1 , d 2 , d3 concourantes  a2 b2 c2  0
a3 b3 c3
Théorème de Joachimsthal : l’aire formé par les trois droites est :
a1 b1 c1
et le vecteur (a,b,c) est normal au plan

Le produit scalaire est une valeur numérique réelle. Soit H le
projeté orthogonal du point B sur la droite OA  :

OA  OB  OA  OH  OA  OB  cos  AOB 
L’expression analytique est davantage employée :
a2 b2 c2
2 S 
a3 b3 c3
a1 b1
a2 b2

u  v  u1v1  u2v2  u3v3
a2 b2 a3 b3

a3 b3 a1 b1
2


2
2
2
2
u  u  u  u  u  u12  u22  u32
u  v  w  u v  u w
 
u  v  u  2 u v  v
2
Inégalité de Cauchy-Schwarz :
u  v   u  v   u
2
 v
2
u v  u  v

Si deux plans sont parrallèles, alors les vecteurs normaux sont
colinéaires et les coefficients des équations cartésiennes sont
proportionnels.

Deux plans sont perpendiculaires si les vecteurs normaux sont
orthogonaux.

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si l’un des plans
contient une droite orthogonale à l’autre.

L’ensemble des points de l’espace équidistants de deux points A
et B est appelé plan médiateur de AB.

La distance d’un point A  xA , yA  à une droite d : ax  by  c  0 :
u  v  u v  0

Formule de la médiane : dans un triangle ABC et avec I le milieu
de [BC], on a AI²=(2b²+2c²-a²)/2

Si u est orthogonal à v et w alors il est orthogonal à toutes
combinaisons linéaires de v et w .

Un vecteur est normal à un plan si et seulement si il est orthogonal
à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur
normal à l’un est orthogonal à un vecteur normal de l’autre.

L’ensemble des points M de l’espace tel que AM u  0 est le
plan passant par A et de vecteur normal u non nul.

Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes.
Deux droites orthogonales et sécantes sont dites perpendiculaires.

Deux droites parrallèles à un même plan ne sont pas
nécessairement parrallèles.

Une droite normale à un plan P est normale à toute droite de P.

Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan,
alors elle est orthogonale au plan.

Deux droites orthogonales à un même plan sont parrallèles.
dist  A; d  

axA  by A  c
a 2  b2
Soit P :ax+by+cz+d=0 le plan passant par A et de vecteur normal n
dist  A, M  
AM  n
n

axA  by A  cz A  d
n12  n22  n32

L’ensemble des points de l’espace équidistants de deux plans
sécants p et p’ est constitué de deux plans appelés plans
bissecteurs de p et p’.

L’ensemble des points de l’espace équidistants de deux droites
sécantes d et d’ est constitué des deux plans orthogonaux au plan
(d, d’) et contenant les bissectrices de d et d’.

Le produit vectoriel de deux vecteurs est un troisième vecteur
normal au plan formé par les deux autres vecteurs :
3

OA  OB  OA  OB  sin  AOB 
O; OA; OB; OC  est une base directe

 
 
ku   v  k u  v 
u  v  v  u 
  


u  v  0  u et v sont colinéaires.

AB  AC  0  A, B, C sont alignés.


produit mixte = volume signé du parallelepipede
produit mixte =0  vecteurs coplanaires
      
u  v  w  u  v  u  w


Soit u x; y; z  et v x ; y ; z  dans un repère orthonormal, on a :
 
u  v  xx   yy   zz 

y
X 
z


z
 
u  v Y 

x

x

Z  y


y
 yz   zy  
z


z
 zx   xz  

x

x

 xy   yx  
y




 
u  v   yz   zy i  zx   xz  j  xy   yx k


La norme du produit vectoriel de deux vecteurs est égale à l’aire
du parallélogramme construit à partir de ces vecteurs. L’aire du
triangle ABC est donc égale à la moitié de cette norme.
distance point M a une droite d(A,u)
dist  M , d  
AM  u
u
produit mixte invariant dans permutation circulaire de ses vecteurs
change signe quand on permute deux vecteurs
4