GEOMETRIE_incomplet
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GEOMETRIE DANS L’ESPACE
On appelle repère de la droite d tout couple
,Au
avec
Ad
et
u
un vecteur directeur de d.
u
et
v
sont colinéaires ou linéairement dépendants si il existe k et
k’ de R² tel que
0ku k v
avec (k,k’)(0,0).
u
et
v
sont non colinéaires ou linéairement indépendants ssi
0ku k v
k=k’=0.
, D ku k
est une droite vectorielle de base
u
.
On appelle repère du plan P(E) tout triplet
,,A AB AC
où A,B,C
sont trois points non alignés de P.
2
, , ! , , M P A u v AM u v
1 2 1 2 1 1 2 2
, // , , , , d A u P A v v k k u k u k u
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
, , // , , , , , , et P A u u P B v v u v v u v v
Soient
u
et
v
non colinéaires,
, ,P ku k v k k
est un plan
vectoriel de base (
u
,
v
).
! , , w P x y w xu yv
,u x y
et
,v x y
forment une base de
0
xx
Pyy
u
,
v
,
w
sont coplanaires
1 2 3 1 2 3
, , , 0k k k k u k v k w
avec
1 2 3
, , 0,0,0k k k
u
,
v
,
w
sont non coplanaires ssi
1 2 3 1 2 3
00k u k v k w k k k
Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l’espace.
u
,
v
,
w
forment une base de l’espace si tous les vecteurs de
l’espace peuvent s’écrire de manière unique sous forme de
combinaisons linéaires de
u
,
v
,
w
.
u
,
v
,
w
est une base de l’espace
0
x x x
y y y
z z z
u
,
v
,
w
sont coplanaires
0
x x x
y y y
z z z
Soit
,d A u
la droite passant par le point
,,
A A A
A x y z
et de
vecteur directeur
1 2 3
,,u u u u
alors une équation paramétrique de
la droite d est :
,,M x y z d AM u
OM OA u
1
2
3
A
A
A
x x u
y y u
z z u
Soient deux points
,,
A A A
A x y z
et
,,
B B B
B x y z
distincts alors la
droite
AB
pour équation cartésienne :
2
1 1 1
1 0
1 1
1
A A A A
AA B B B B
BB
xy x y y x
x y x y
x y y x
xy
Avec les complexes on a
1
, , alignés 1 0
1
AA
A B C B B
CC
zz
A z B z C z z z
zz
Soient trois points
,
AA
A x y
,
,
BB
B x y
,
,
CC
C x y
distincts alors
l’aire du triangle
ABC
est donné par :
1
2 1
1
AA
ABC B B
CC
xy
S x y
xy
Dans l’espace, deux droites peuvent être sécantes, parrallèles
(éventuellement confonfues) et gauches (aucun point commun).
Deux droites sécantes ou parrallèles sont coplanaires.
Soient trois droites
1,2,3
: 0
i i i i i
d a x b y c
non parrallèles. Alors
1 1 1
1 2 3 2 2 2
3 3 3
, , concourantes 0
a b c
d d d a b c
a b c
Théorème de Joachimsthal : l’aire formé par les trois droites est :
1 1 1
2 2 2
3 3 3
2 2 3 3
11
33
22 11
2
a b c
a b c
a b c
Sa b a b
ab
ab
ab ab
Soit
,,P A u v
le plan passant par le point
,,
A A A
A x y z
et de
vecteurs directeurs
1 2 3
,,u u u u
et
1 2 3
,,v v v v
alors une équation
paramétrique du plan P est :
,,M x y z P AM u v
OM OA u v
11
22
33
A
A
A
x x u v
y y u v
z z u v
,
Avec les mêmes notations, voici l’équation cartésienne du plan P :
, , , , coplanairesM x y z P AM u v
11
22
33
0
A
A
A
x x u v
y y u v
z z u v
En regroupant les termes on obtient une équation de type
0ax by cz d
et le vecteur (a,b,c) est normal au plan
Le produit scalaire est une valeur numérique réelle. Soit H le
projeté orthogonal du point B sur la droite
OA
:
cosOA OB OA OH OA OB AOB
L’expression analytique est davantage employée :
1 1 2 2 3 3
u v u v u v u v
3
u v w u v u w
22222
1 2 3
u u u u u u u u
2 2 2
2u v u u v v
22
u v u v u v
Inégalité de Cauchy-Schwarz :
u v u v
uv
0uv
Formule de la médiane : dans un triangle ABC et avec I le milieu
de [BC], on a AI²=(2b²+2c²-a²)/2
Si
u
est orthogonal à
v
et
w
alors il est orthogonal à toutes
combinaisons linéaires de
v
et
w
.
Un vecteur est normal à un plan si et seulement si il est orthogonal
à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur
normal à l’un est orthogonal à un vecteur normal de l’autre.
L’ensemble des points
M
de l’espace tel que
0uAM
est le
plan passant par
A
et de vecteur normal
u
non nul.
Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes.
Deux droites orthogonales et sécantes sont dites perpendiculaires.
Deux droites parrallèles à un même plan ne sont pas
nécessairement parrallèles.
Une droite normale à un plan P est normale à toute droite de P.
Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan,
alors elle est orthogonale au plan.
Deux droites orthogonales à un même plan sont parrallèles.
Si deux plans sont parrallèles, alors les vecteurs normaux sont
colinéaires et les coefficients des équations cartésiennes sont
proportionnels.
Deux plans sont perpendiculaires si les vecteurs normaux sont
orthogonaux.
Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si l’un des plans
contient une droite orthogonale à l’autre.
L’ensemble des points de l’espace équidistants de deux points A
et B est appelé plan médiateur de AB.
La distance d’un point
,
AA
A x y
à une droite
:0d ax by c
:
22
dist ; AA
ax by c
Ad ab
Soit P :ax+by+cz+d=0 le plan passant par A et de vecteur normal n
222
1 2 3
dist , A A A
ax by cz d
AM n
AM nnnn
L’ensemble des points de l’espace équidistants de deux plans
sécants p et p’ est constitué de deux plans appelés plans
bissecteurs de p et p’.
L’ensemble des points de l’espace équidistants de deux droites
sécantes d et d’ est constitué des deux plans orthogonaux au plan
(d, d’) et contenant les bissectrices de d et d’.
Le produit vectoriel de deux vecteurs est un troisième vecteur
normal au plan formé par les deux autres vecteurs :
4
AOBOBOAOBOA sin
OCOBOAO;;;
est une base directe
uvvu
vukvuk
wuvuwvu
0
vu
u
et
v
sont colinéaires.
0 ACAB
A, B, C sont alignés.
Soit
zyxu ;;
et
zyxv ;;
dans un repère orthonormal, on a :
zzyyxxvu
xyyx
yy
xx
Z
zxxz
xx
zz
Y
yzzy
zz
yy
X
vu
kxyyxjzxxziyzzyvu
La norme du produit vectoriel de deux vecteurs est égale à l’aire
du parallélogramme construit à partir de ces vecteurs. L’aire du
triangle ABC est donc égale à la moitié de cette norme.
distance point M a une droite d(A,u)
dist , AM u
Md u
produit mixte invariant dans permutation circulaire de ses vecteurs
change signe quand on permute deux vecteurs
produit mixte = volume signé du parallelepipede
produit mixte =0 vecteurs coplanaires
1
/
4
100%
