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Chapitre XII : Géométrie dans l’espace
I - Positions relatives dans l’espace
1) Positions relatives de droites et de plans
Définition 1 : On dit que deux droites  et  de l’espace sont coplanaires lorsqu’elles appartiennent à un
même plan : autrement dit, elles sont sécantes ou parallèles.
Dans le cas contraire, on dit que  et  sont non coplanaires.
Remarque : On parle de droites parallèles lorsqu’elles sont strictement parallèles ou confondues.
Exemple : Soit le cube  ci-dessous :
Remarque : Les droites parallèles sur une perspective cavalière sont parallèles en réalité mais les droites
sécantes sur le dessin ne le sont pas forcément en réalité (comme () et () par exemple).
Propriété 1 : Une droite  et un plan  sont soit sécants soit parallèles.
Propriété 2 : Deux plans  et  sont soit sécants soit parallèles.
Les droites (
) et (
) sont
……………………………………………
Les droites ( ) et ( ) sont ………………………..…………….
Les droites () et () sont ………………………..…………….
Les droites () et () sont ………………………..…………….
Les droites () et () sont ………………………..…………….
Les droites ( ) et ( ) sont ………………………..…………….
La droite et le plan sont sécants.
Ils ont un point en commun.
La droite et le plan sont strictement
parallèles. Ils n’ont rien en commun.
La droite et le plan sont confondus.
Ils ont une droite en commun.
Les plans sont sécants.
Ils ont une droite en commun.
Les plans sont strictement parallèles.
Ils n’ont rien en commun.
Les plans sont confondus.
Ils ont un plan en commun.

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2) Parallélisme
Propriété 3 : Si une droite  est parallèle à une droite  d’un plan , alors elle est parallèle au plan .
Propriété 4 : Si un plan  contient deux droites sécantes  et  toutes deux parallèles à un plan  alors
les plans  et  sont parallèles.
Propriété 5 : Si deux plans sont strictement parallèles, alors tout plan sécant à l’un est sécant à l’autre et
les intersections sont deux droites parallèles.
Théorème « du toit » : Soient deux droites  et  parallèles, avec  incluse dans un plan  et  incluse
dans un plan  .
Si les plans  et  sont sécants en une droite  alors les droites  et  sont parallèles à .

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II - Orthogonalité dans l’espace
1) Orthogonalité de deux droites
Définition 2 : Deux droites  et  sont dites orthogonales lorsqu’il existe une droite  parallèle à  et
une droite  parallèle à  telles que  et  soient perpendiculaires dans le plan qu’elles déterminent.
Remarque :
Deux droites perpendiculaires sont coplanaires car elles sont sécantes.
Deux droites orthogonales ne sont pas forcément coplanaires (et donc ne sont pas nécessairement
sécantes).
Exemple :
Dans le cube H du paragraphe I :
Les droites () et () sont orthogonales et coplanaires (elles sont perpendiculaires) ;
Les droites () et () sont orthogonales et non coplanaires (la droite () est parallèle à la droite ()
qui elle, est perpendiculaire à la droite ()…).
2) Orthogonalité d’une droite et d’un plan
Définition 3 : Une droite est dite orthogonale à un plan  lorsqu’elle est orthogonale à toutes les droites
du plan.
Propriété 6 : Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan  alors elle est orthogonale
au plan.
Exemple :
Toujours dans le cube  du paragraphe I :
La droite () est orthogonale aux droites sécantes () et (), elle est donc orthogonale au plan (C)
déterminé par ces deux dernières.
D’après la définition 3, la droite () est donc orthogonale à toutes les droites du plan () : (), (),
(), …
Propriété 7 : On dit que deux plans sont perpendiculaires lorsque l’un d’eux contient une droite
orthogonale à l’autre.

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III - Repérage dans l’espace
1) Vecteurs de l’espace
Comme en géométrie plane, un vecteur de l’espace est défini par une direction, un sens et une longueur
(ou norme).
La somme de deux vecteurs est définie de la même façon et suit les mêmes règles qu’en géométrie plane.
La relation de Chasles est elle aussi valable dans l’espace.
On définit le produit d’un vecteur  par un nombre réel  comme en géométrie plane et le vecteur 
obtenu est colinéaire à  .
On rappelle également les résultats suivants :
(i) Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
(ii) Les points  et sont alignés si et seulement si les vecteurs  et  sont colinéaires.
(iii) Les droites  et  sont parallèles si et seulement si les vecteurs  et  sont colinéaires.
2) Caractérisation vectorielle d’un plan
Propriété 8 : Soient  et  deux vecteurs non colinéaires et  un point de l’espace.
L’ensemble des points  tels que  , où  et  sont des nombres réels, est un plan contenant
le point .
Remarques :
1) Le triplet   est alors un repère du plan défini dans la propriété 8.
2) C’est une propriété caractéristique d’un plan. On peut aussi définir un plan par deux droites sécantes ce
qui est équivalent.
Conséquence : Si les points  et  ne sont pas alignés, le plan () est l’ensemble des points  tels
que  , où  et  sont des nombres réels.
Propriété 9 : Si deux plans sont définis par le même couple de vecteurs non colinéaires  , alors ils sont
parallèles.
3) Vecteurs coplanaires et applications
Définition 4 : Des vecteurs sont dits coplanaires lorsqu’ils possèdent chacun un représentant dans un
même plan.
Propriété 10 : Tout vecteur de l’espace peut se décomposer suivant trois vecteurs non coplanaires de
l’espace.
Exemple : Toujours dans le cube  du paragraphe I :
Les vecteurs  ,  et  ne sont pas coplanaires. On peut alors exprimer tout vecteur de l’espace
comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs.
.
.

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Remarque importante : la décomposition de la propriété 10 est unique.
Vocabulaire : Une famille de trois vecteurs non coplanaires est dite libre : on dit que les vecteurs sont
libres ou indépendants ou encore non liés.
4) Repérage dans l’espace
Propriété 11 : Soit  un point de l’espace et  trois vecteurs non coplanaires.
 est un repère de l’espace : pour tout point de l’espace, il existe un unique triplet  tel
que 
Notation :
On note  les coordonnées du point  dans ce repère et 
 les coordonnées du vecteur 
dans
ce même repère.
Vocabulaire : la coordonnée  s’appelle l’abscisse,  l’ordonnée et  la cote.
Remarque : Les opérations sur les coordonnées dans l’espace sont exactement les mêmes que celles sur
les coordonnées dans le plan, avec une coordonnée de plus.
IV - Système d’équations paramétriques
1) Représentation paramétrique d’une droite
Définition 5 : Le point  appartient à la droite  passant par  et de vecteur directeur  (non nul), si et
seulement si les vecteurs  et  sont colinéaires, ce qui se traduit par :  où .
Propriété 12 : L’espace est muni d’un repère  .
Soit  la droite passant par   et de vecteur directeur 
.
On appelle représentation paramétrique de la droite  le système : 
, où  décrit l’ensemble
des réels.
Remarque : La représentation paramétrique d’une droite n’est pas unique : en effet, ni le point , ni le
vecteur directeur  ne sont uniques …
Exemple : Soient  et  deux points de l’espace.
Les systèmes 
 où  et 
 où  sont deux représentations paramétriques de
la droite 