Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Tle S Module 1 : Repérage dans l’espace – Vecteurs de l’espace 1°) Vecteurs de l’espace Règles de base Les vecteurs de l’espace sont définis exactement comme dans le plan et sont soumis aux mêmes règles que celles énoncées dans le plan. Si A et B sont deux points distincts de l’espace, le vecteur AB a pour direction la droite (AB), pour sens celui de A vers B et pour norme AB la distance AB. De plus, si A et B sont confondus : AB 0 On retrouve dans l’espace : La règle du parallélogramme : AB DC La relation de Chasles : AB BC AC La somme de deux vecteurs : AB AD AC Le produit d’un vecteur par un réel Vecteurs colinéaires dans l’espace Les règles concernant la colinéarité, le parallélisme et l’alignement étudiées dans le plan sont applicables dans l’espace : Soient u et v deux vecteurs de l’espace u et v sont colinéaires il existe un réel k tel que : u k v Soient A, B, C et D quatre points de l’espace AB et CD sont colinéaires les droites (AB) et (CD) sont parallèles Soient A, B et C trois points de l’espace Les points A, B et C sont alignés les vecteurs AB et AC sont colinéaires Visiter le site CLASSE : Terminale S – Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Copyright 2016 Oxogone Tous droits réservés Reproduction totale ou partielle interdite Page 1 Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Tle S Vecteurs coplanaires Soient u , v et w trois vecteurs de l’espace (avec u et v non colinéaires ) Les vecteurs u , v et w sont coplanaires si, et seulement si il existe deux réels et tels que : w αu βv Remarque : si u et v sont colinéaires, alors les vecteurs u , v et w sont obligatoirement coplanaires. 2°) Repérage dans l’espace Définitions Soit (O ; i ; j ; k ) un repère de l’espace. Quel que soit le point M de l’espace, il existe trois réels x , y et z tels que : OM x i y j z k Le réel x est l’abscisse du point M, le réel y son ordonnée et le réel z sa cote. Coordonnées d’un vecteur de l’espace Soit (O ; i ; j ; k ) un repère de l’espace. Soit u un vecteur de l’espace. Soit le point M( x ; y ; z ) tel que : OM u . Nous avons : OM x i y j z k u xi y j z k u x ; y ; z dans le repère (O ; i ; j ; k ) Propriétés Soient A et B deux points de l’espace et soit I le milieu du segment [AB] xA xB 2 yI yA yB 2 xI AB xB xA ; yB yA ; zB zA zI zA zB 2 Visiter le site CLASSE : Terminale S – Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Copyright 2016 Oxogone Tous droits réservés Reproduction totale ou partielle interdite Page 2 Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Tle S Soient u ( x ; y ; z ) et v ( x ; y ; z ) deux vecteurs de l’espace et soit k x x u v y y z z k x ku k y k z et 3°) Distances dans l’espace - Sphère Notion de repère orthonormal Soit O un point de l’espace et soient i ; j et k trois vecteurs de l’espace. (O ; i ; j ; k ) est un repère de l’espace si les vecteurs i ; j et k ne sont pas coplanaires (O ; i ; j ; k ) est un repère orthonormal si, de plus, les deux conditions suivantes sont réunies : i j k 1 Les droites (OI) , (OJ) et (OK) sont deux à deux orthogonales , les points I, J et K vérifiant : OI i ; OJ j et OK k Distance entre deux points de l’espace Soient A et B deux points de l’espace muni d’un repère orthonormal (O ; i ; j ; k ) AB ( xB xA )2 ( yB yA )2 ( zB zA )2 Norme d’un vecteur de l’espace Soit u x ; y ; z un vecteur de l’espace muni d’un repère orthonormal (O ; i ; j ; k ) u x2 y 2 z 2 Equation d’une sphère La sphère de centre A et de rayon R a pour équation : ( x xA )2 ( y yA )2 ( z zA )2 R 2 4°) Colinéarité, coplanarité et coordonnées Colinéarité et coordonnées Dans l’espace, pour démontrer que deux vecteurs sont colinéaires, on démontre que leurs coordonnées sont proportionnelles. Visiter le site CLASSE : Terminale S – Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Copyright 2016 Oxogone Tous droits réservés Reproduction totale ou partielle interdite Page 3 Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Tle S Coplanarité et coordonnées Dans l’espace, pour démontrer que trois vecteurs u , v et w sont coplanaires On vérifie si, dans le triplet u ; v ; w , il y a un couple de vecteurs colinéaires. Si c’est le cas, inutile d’aller plus loin : les vecteurs u , v et w sont coplanaires Si on n’a pas trouvé de couple de vecteurs colinéaires dans le triplet u ; v ; w , on cherche si on peut trouver deux réels et tels que : w αu βv 1 5 17 Exemple : Soient u 0 ; v 2 et w 6 trois vecteurs de l’espace. Ces vecteurs sont-ils coplanaires ? 4 0 8 Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. De la même manière, les vecteurs u et w ne sont pas colinéaires et les vecteurs v et w ne sont pas colinéaires. Il n’y a pas de couple de vecteurs colinéaires dans le triplet u ; v ; w Vérifions s’il existe deux réels et tels que : w αu βv w αu βv 17 1 5 α 5β 17 17 17 6 α 0 β 2 0 2β 6 β 3 8 4 0 4α 8 α 2 Nous avons trouvé : 2 et 3 , donc w 2u 3v . Les vecteurs u , v et w sont coplanaires. Module 2 : Représentations paramétriques et équations 1°) Représentations paramétriques d’une droite de l’espace Très important : dans l’espace, il est impossible de trouver l’équation d’une droite. Par contre, on peut en trouver une représentation paramétrique. Représentation paramétrique d’une droite xu xA Soit (D) une droite de l’espace passant par un point A yA et ayant un vecteur u yu pour vecteur directeur. z z A u Visiter le site CLASSE : Terminale S – Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Copyright 2016 Oxogone Tous droits réservés Reproduction totale ou partielle interdite Page 4 Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace x Quel que soit M y (D), il existe λ z x xA λ xu soit y yA λ yu ; λ z z λ z A u Tle S x xA λ xu tel que : AM λ u , soit y yA λ yu , z z λ z A u Ce système est une représentation paramétrique de la droite (D) Comment trouver un point d’une droite à partir d’une représentation paramétrique x 5 2λ Exemple : Soit (D) une droite de l’espace. Un représentation paramétrique de cette droite est : y 1 4λ ; λ z 8λ 5 Si on compare avec la forme générale d’une représentation paramétrique, il est évident que le point A 1 appartient 0 à cette droite. Mais comment faire si on cherche un autre point ? Et bien il suffit de donner une valeur à , différente de 0. Posons par exemple : λ 3 . En remplaçant par 3 dans la représentation paramétrique, on obtient : x 5 2 3 x 1 y 1 4 3 y 11 z 8 3 z 24 1 Le point B 11 est un point de la droite (D) 24 2°) Représentations paramétriques d’un plan Soit A un point de l’espace et soient u et v deux vecteurs non colinéaires de l’espace. Le point A et les vecteurs u et v définissent un plan (P) x Quel que soit le point M y (P), il existe λ1 z x xA λ1 xu λ 2 xv Soit : y yA λ1 yu λ 2 yv ; λ1 z z λ z λ z A 1 2 u v et λ 2 ; λ2 tels que : AM λ1 u λ 2v Ce système est une représentation paramétrique du plan (P) Visiter le site CLASSE : Terminale S – Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Copyright 2016 Oxogone Tous droits réservés Reproduction totale ou partielle interdite Page 5 Tle S Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace 3°) Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace Produit scalaire dans l’espace Toutes les définitions et propriétés vues en Première concernant le produit scalaire dans le plan s’appliquent au produit scalaire dans l’espace x Soient u y et z x v y deux vecteurs de l’espace muni d’un repère orthonormal (O ; i ; j ; k ) z u . v xx yy zz Orthogonalité dans l’espace Soient u et v deux vecteurs de l’espace. Soient A, B, C et D quatre points de l’espace tels que : AB u et AC v Les vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. Précision : - Dans le plan, deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes formant un angle droit Dans l’espace, deux droites orthogonales ne sont pas forcément sécantes Vecteurs orthogonaux On retrouve la même propriété que dans le plan : Soient u et v deux vecteurs de l’espace. u v u . v 0 Vecteur normal à un plan Rappel : Une droite (D) est perpendiculaire à un plan (P) si, et seulement si elle est perpendiculaire à deux droites sécantes de (P) Définition : un vecteur n (non nul) est normal à un plan (P) si sa direction est perpendiculaire au plan (P) (D) (D) n Si n est normal à (P), alors tous les vecteurs colinéaires à n sont aussi normaux à (P) Visiter le site CLASSE : Terminale S – Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Copyright 2016 Oxogone Tous droits réservés Reproduction totale ou partielle interdite Page 6 Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Tle S 4°) Equation cartésienne d’un plan Définition : Tout plan (P) de l’espace a une équation cartésienne de la forme : ax by cz d 0 , où a, b, c et d sont quatre nombres réels tels que a, b et c ne sont pas tous les trois nuls. a Propriété essentielle : Si un plan (P) a pour équation cartésienne ax by cz d 0 , alors le vecteur n b est c normal au plan (P). Vous remarquerez que la condition « a, b et c ne sont pas tous les trois nuls » entraîne que le vecteur n est non nul Autre propriété : si ax by cz d 0 est l’équation cartésienne d’un plan (P), alors quel que soit le réel k non nul : kax kby kcz kd 0 est aussi une équation cartésienne du plan (P). Module 3 : Positions relatives de droites et de plans 1°) Positions relatives de deux droites de l’espace Les différentes positions relatives possibles Deux droites (D) et (D’) de l’espace peuvent-être coplanaires si elles sont : ou non coplanaires Comment vérifier si deux droites sont parallèles ? Pour chaque droite, on extrait de la représentation paramétrique les coordonnées d’un vecteur directeur On vérifie si ces deux vecteurs sont colinéaires si oui : les droites sont parallèles si non : les droites ne sont pas parallèles Visiter le site CLASSE : Terminale S – Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Copyright 2016 Oxogone Tous droits réservés Reproduction totale ou partielle interdite Page 7 Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Tle S Comment vérifier si deux droites parallèles sont strictement parallèles ou confondues ? on extrait de la représentation paramétrique d’une des deux droites les coordonnées d’un de ses points on vérifie si ce point appartient à l’autre droite à l’aide de sa représentation paramétrique si oui : les droites sont confondues si non : les droites sont strictement parallèles Comment vérifier si deux droites sont sécantes ? x 5λ 8 Exemple : Soient ( D) y 2λ 3 ; λ z 4λ 5 x 5 et ( D) y 2 7 ; z 7 18 deux droites de l’espace 5 1 Le vecteur u 2 est un vecteur directeur de la droite (D) et le vecteur v 2 est un vecteur directeur de la droite 4 7 (D’). Ces deux vecteurs n’ont pas des coordonnées proportionnelles. Les droites (D) et (D’) ne sont pas parallèles. Sont-elles sécantes ? x Elles sont sécantes s’il existe un point I y commun aux deux droites. Les coordonnées du point d’intersection I z 5λ 8 5 vérifient simultanément les deux représentations paramétriques, donc : 2λ 3 2 7 4λ 5 7 18 Il suffit alors de résoudre le système formé par les deux premières équations. Ensuite, on vérifie si les solutions trouvées sont compatibles avec la dernière équation. si oui : les droites sont sécantes en I si non : les droites ne sont pas sécantes. Comme on a établi précédemment qu’elles ne sont pas parallèles, on en déduit qu’elles sont non coplanaires. Complément : si les droites sont sécantes, pour trouver les coordonnées de leur point d’intersection, il suffit de remplacer par la valeur trouvée lors de la résolution du système dans le représentation paramétrique de la droite (D). Visiter le site CLASSE : Terminale S – Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Copyright 2016 Oxogone Tous droits réservés Reproduction totale ou partielle interdite Page 8 Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Tle S 2°) Positions relatives d’une droite et d’un plan Les différentes positions relatives possibles La droite et le plan sont sécant en un point I La droite est incluse dans le plan : tous les points de la droite appartiennent alors au plan La droite et le plan sont parallèles : ils n’ont aucun point commun Comment étudier la position relative d’une droite (dont on a une représentation paramétrique) et d’un plan (dont on a une équation cartésienne) 4°) Positions relatives de deux plans Les différentes positions relatives possibles Les plans sont confondus : tous les points situés dans l’un sont aussi dans l’autre Les plans sont parallèles : ils n’ont aucun point commun Les plans sont sécants : leur intersection est alors une droite Visiter le site CLASSE : Terminale S – Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Copyright 2016 Oxogone Tous droits réservés Reproduction totale ou partielle interdite Page 9 Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Tle S Comment étudier la position relative de deux plans (d’équations connues) ? Remarque : deux plans sont confondus si l’équation cartésienne de l’un est le produit de l’équation cartésienne de l’autre par un réel non nul. Comment vérifier si deux plans sécants (d’équations connues) sont perpendiculaires ? on trouve, pour chaque plan, un vecteur normal on calcule leur produit scalaire si le produit scalaire est nul, les plans sont perpendiculaires si le produit scalaire n’est pas nul, les plans ne sont pas perpendiculaires. Visiter le site CLASSE : Terminale S – Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace Copyright 2016 Oxogone Tous droits réservés Reproduction totale ou partielle interdite Page 10