Résumé du chapitre 7 de la classe de Terminale S : Géométrie dans

CLASSE : Terminale S – Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace
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Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace
Tle S
1°) Vecteurs de l’espace
 Règles de base
Les vecteurs de l’espace sont définis exactement comme dans le plan et sont soumis aux mêmes règles que
celles énoncées dans le plan.
 Si A et B sont deux points distincts de l’espace, le vecteur
AB
a pour direction la droite (AB), pour sens
celui de A vers B et pour norme
AB
la distance AB. De plus, si A et B sont confondus :
AB 0
 On retrouve dans l’espace :
 La règle du parallélogramme :
AB DC
 La relation de Chasles :
AB BC AC
 La somme de deux vecteurs :
AB AD AC
 Le produit d’un vecteur par un réel
 Vecteurs colinéaires dans l’espace
Les règles concernant la colinéarité, le parallélisme et l’alignement étudiées dans le plan sont applicables dans
l’espace :
 Soient
etuv
deux vecteurs de l’espace
etuv
sont colinéaires  il existe un réel k tel que :
u kv
 Soient A, B, C et D quatre points de l’espace
AB et CD
sont colinéaires  les droites (AB) et (CD) sont parallèles
 Soient A, B et C trois points de l’espace
Les points A, B et C sont alignés  les vecteurs
AB et AC
sont colinéaires
 Module 1 : Repérage dans l’espace – Vecteurs de l’espace 
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 Vecteurs coplanaires
Soient
, etu v w
trois vecteurs de l’espace (avec
etuv
non colinéaires )
Les vecteurs
, etu v w
sont coplanaires si, et seulement si il existe deux réels  et  tels que :
αβw u v
Remarque : si
etuv
sont colinéaires, alors les vecteurs
, etu v w
sont obligatoirement coplanaires.
2°) Repérage dans l’espace
 Définitions
Soit
(O ; ; ; )i j k
un repère de l’espace. Quel que soit le
point M de l’espace, il existe trois réels x , y et z tels que :
OM xi y j zk  
Le réel x est l’abscisse du point M, le réel y son ordonnée et
le réel z sa cote.
 Coordonnées d’un vecteur de l’espace
Soit
(O ; ; ; )i j k
un repère de l’espace. Soit
u
un vecteur de l’espace. Soit le point
M( ; ; )x y z
tel que :
OM u
.
Nous avons :
OM xi y j zk  
u xi y j zk   
;;u x y z
dans le repère
(O ; ; ; )i j k
 Propriétés
 Soient A et B deux points de l’espace et soit I le milieu du segment [AB]
A B A B A B
I I I
2 2 2
x x y y z z
x y z
B A B A B A
AB ; ;x x y y z z  
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 Soient
( ; ; ) et ( ; ; )u x y z v x y z
deux vecteurs de l’espace et soit
k
xx
u v y y
zz
et
kx
ku k y
kz
3°) Distances dans l’espace - Sphère
 Notion de repère orthonormal
Soit O un point de l’espace et soient
; eti j k
trois vecteurs de l’espace.
(O ; ; ; )i j k
est un repère de l’espace si les vecteurs
; eti j k
ne sont pas coplanaires
(O ; ; ; )i j k
est un repère orthonormal si, de plus, les deux conditions suivantes sont réunies :
1i j k  
 Les droites (OI) , (OJ) et (OK) sont deux à deux orthogonales , les points I, J et K vérifiant :
 Distance entre deux points de l’espace
Soient A et B deux points de l’espace muni d’un repère orthonormal
(O ; ; ; )i j k
2 2 2
B A B A B A
AB ( ) ( ) ( )x x y y z z     
 Norme d’un vecteur de l’espace
Soit
;;u x y z
un vecteur de l’espace muni d’un repère orthonormal
(O ; ; ; )i j k
2 2 2
u x y z  
 Equation d’une sphère
La sphère de centre A et de rayon R a pour équation :
2 2 2 2
A A A
( ) ( ) ( ) Rx x y y z z     
4°) Colinéarité, coplanarité et coordonnées
 Colinéarité et coordonnées
Dans l’espace, pour démontrer que deux vecteurs sont colinéaires, on démontre que leurs coordonnées sont
proportionnelles.
OI ; OJ et OKi j k  
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 Coplanarité et coordonnées
Dans l’espace, pour démontrer que trois vecteurs
, etu v w
sont coplanaires
 On vérifie si, dans le triplet
;;u v w
, il y a un couple de vecteurs colinéaires. Si c’est le cas, inutile
d’aller plus loin : les vecteurs
, etu v w
sont coplanaires
 Si on n’a pas trouvé de couple de vecteurs colinéaires dans le triplet
;;u v w
, on cherche si on peut
trouver deux réels  et  tels que :
αβw u v
Exemple : Soient
1 5 17
0 ; 2 et 6
4 0 8
u v w
trois vecteurs de l’espace. Ces vecteurs sont-ils coplanaires ?
 Les vecteurs
etuv
ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. De la
même manière, les vecteurs
etuw
ne sont pas colinéaires et les vecteurs
etvw
ne sont pas colinéaires. Il
n’y a pas de couple de vecteurs colinéaires dans le triplet
;;u v w
 Vérifions s’il existe deux réels  et  tels que :
αβw u v
αβw u v
17 1 5 α 5β 17 17 17
6α 0 β 2 0 2β 6 β 3
8 4 0 4α 8 α 2
Nous avons trouvé :
2 et 3
, donc
23w u v  
. Les vecteurs
, etu v w
sont coplanaires.
1°) Représentations paramétriques d’une droite de l’espace
Très important : dans l’espace, il est impossible de trouver l’équation d’une droite. Par contre, on peut en trouver une
représentation paramétrique.
 Représentation paramétrique d’une droite
Soit (D) une droite de l’espace passant par un point
A
A
A
A
x
y
z
et ayant un vecteur
u
u
u
x
uy
z
pour vecteur directeur.
 Module 2 : Représentations paramétriques et équations 
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Quel que soit
M (D), il existe λ tel que : AM λ
x
yu
z
, soit
A
A
A
λ
λ
λ
u
u
u
x x x
y y y
z z z
,
soit
A
A
A
λ
λ ; λ
λ
u
u
u
x x x
y y y
z z z
 Comment trouver un point d’une droite à partir d’une représentation paramétrique
Exemple : Soit (D) une droite de l’espace. Un représentation paramétrique de cette droite est :
52λ
14λ ; λ
8λ
x
y
z
Si on compare avec la forme générale d’une représentation paramétrique, il est évident que le point
5
A1
0
appartient
à cette droite. Mais comment faire si on cherche un autre point ? Et bien il suffit de donner une valeur à , différente
de 0. Posons par exemple :
λ3
. En remplaçant  par 3 dans la représentation paramétrique, on obtient :
5 2 3 1
1 4 3 11
8 3 24
xx
yy
zz
Le point
1
B 11
24
est un point de la droite (D)
2°) Représentations paramétriques d’un plan
Soit A un point de l’espace et soient
etuv
deux vecteurs non colinéaires de l’espace.
Le point A et les vecteurs
etuv
définissent un plan (P)
Quel que soit le point
1 2 1 2
M (P), il existe λ et λ tels que : AM λ λ
x
y u v
z
Soit :
A 1 2
A 1 2
A 1 2
λλ
λλ
λλ
uv
uv
uv
x x x x
y y y y
z z z z
;
12
λ ; λ
Ce système est une représentation
paramétrique de la droite (D)
Ce système est une représentation
paramétrique du plan (P)
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