Résumé du chapitre 7 de la classe de Terminale S : Géométrie dans

Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace
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 Module 1 : Repérage dans l’espace – Vecteurs de l’espace 
1°) Vecteurs de l’espace
 Règles de base
Les vecteurs de l’espace sont définis exactement comme dans le plan et sont soumis aux mêmes règles que
celles énoncées dans le plan.
 Si A et B sont deux points distincts de l’espace, le vecteur AB a pour direction la droite (AB), pour sens
celui de A vers B et pour norme AB la distance AB. De plus, si A et B sont confondus : AB  0
 On retrouve dans l’espace :
 La règle du parallélogramme : AB  DC
 La relation de Chasles : AB  BC  AC
 La somme de deux vecteurs : AB  AD  AC
 Le produit d’un vecteur par un réel
 Vecteurs colinéaires dans l’espace
Les règles concernant la colinéarité, le parallélisme et l’alignement étudiées dans le plan sont applicables dans
l’espace :
 Soient u et v deux vecteurs de l’espace
u et v sont colinéaires  il existe un réel k tel que : u  k v
 Soient A, B, C et D quatre points de l’espace
AB et CD sont colinéaires  les droites (AB) et (CD) sont parallèles
 Soient A, B et C trois points de l’espace
Les points A, B et C sont alignés  les vecteurs AB et AC sont colinéaires
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Chapitre 7 : Géométrie dans l’espace
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 Vecteurs coplanaires
Soient u , v et w trois vecteurs de l’espace (avec u et v non colinéaires )
Les vecteurs u , v et w sont coplanaires si, et seulement si il existe deux réels  et  tels que : w  αu  βv
Remarque : si u et v sont colinéaires, alors les vecteurs u , v et w sont obligatoirement coplanaires.
2°) Repérage dans l’espace
 Définitions
Soit (O ; i ; j ; k ) un repère de l’espace. Quel que soit le
point M de l’espace, il existe trois réels
x , y et z tels que :
OM  x i  y j  z k
Le réel x est l’abscisse du point M, le réel y son ordonnée et
le réel z sa cote.
 Coordonnées d’un vecteur de l’espace
Soit (O ; i ; j ; k ) un repère de l’espace. Soit u un vecteur de l’espace. Soit le point M( x ; y ; z ) tel que : OM  u .
Nous avons : OM  x i  y j  z k
 u  xi  y j  z k
 u  x ; y ; z  dans le repère (O ; i ; j ; k )
 Propriétés
 Soient A et B deux points de l’espace et soit I le milieu du segment [AB]
xA  xB
2
yI 
yA  yB
2

xI 

AB  xB  xA ; yB  yA ; zB  zA
zI 
zA  zB
2

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 Soient u ( x ; y ; z ) et v ( x ; y ; z ) deux vecteurs de l’espace et soit k
 x  x 


u  v  y  y 
 z  z 


k x 
 
ku k y
k z 
 
et
3°) Distances dans l’espace - Sphère
 Notion de repère orthonormal
Soit O un point de l’espace et soient i ; j et k trois vecteurs de l’espace.
 (O ; i ; j ; k ) est un repère de l’espace si les vecteurs i ; j et k ne sont pas coplanaires
 (O ; i ; j ; k ) est un repère orthonormal si, de plus, les deux conditions suivantes sont réunies :


i  j  k 1
Les droites (OI) , (OJ) et (OK) sont deux à deux orthogonales , les points I, J et K vérifiant :
OI  i ; OJ  j et OK  k
 Distance entre deux points de l’espace
Soient A et B deux points de l’espace muni d’un repère orthonormal (O ; i ; j ; k )
AB  ( xB  xA )2  ( yB  yA )2  ( zB  zA )2
 Norme d’un vecteur de l’espace
Soit u  x ; y ; z  un vecteur de l’espace muni d’un repère orthonormal (O ; i ; j ; k )
u  x2  y 2  z 2
 Equation d’une sphère
La sphère de centre A et de rayon R a pour équation : ( x  xA )2  ( y  yA )2  ( z  zA )2  R 2
4°) Colinéarité, coplanarité et coordonnées
 Colinéarité et coordonnées
Dans l’espace, pour démontrer que deux vecteurs sont colinéaires, on démontre que leurs coordonnées sont
proportionnelles.
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 Coplanarité et coordonnées
Dans l’espace, pour démontrer que trois vecteurs u , v et w sont coplanaires
 On vérifie si, dans le triplet
 u ; v ; w , il y a
un couple de vecteurs colinéaires. Si c’est le cas, inutile
d’aller plus loin : les vecteurs u , v et w sont coplanaires
 Si on n’a pas trouvé de couple de vecteurs colinéaires dans le triplet
 u ; v ; w , on cherche si on peut
trouver deux réels  et  tels que : w  αu  βv
 1
 5 
 17 
 
 
 
Exemple : Soient u  0  ; v   2  et w   6  trois vecteurs de l’espace. Ces vecteurs sont-ils coplanaires ?
 4
 0 
 8 
 
 
 
 Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. De la
même manière, les vecteurs u et w ne sont pas colinéaires et les vecteurs v et w ne sont pas colinéaires. Il
n’y a pas de couple de vecteurs colinéaires dans le triplet  u ; v ; w
 Vérifions s’il existe deux réels  et  tels que : w  αu  βv
w  αu  βv
 17 
 1
 5 
 α  5β  17
17  17


 
 
 
   6   α   0   β    2   0  2β   6  β  3


 8 
 4
 0 
 
 
 
4α   8
α   2
Nous avons trouvé :    2 et   3 , donc w  2u  3v . Les vecteurs u , v et w sont coplanaires.
 Module 2 : Représentations paramétriques et équations 
1°) Représentations paramétriques d’une droite de l’espace
Très important : dans l’espace, il est impossible de trouver l’équation d’une droite. Par contre, on peut en trouver une
représentation paramétrique.
 Représentation paramétrique d’une droite
 xu 
 xA 
 
 
Soit (D) une droite de l’espace passant par un point A  yA  et ayant un vecteur u  yu  pour vecteur directeur.
z 
z 
 A
 u
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x
 
Quel que soit M  y   (D), il existe λ 
z
 
 x  xA  λ  xu

soit  y  yA  λ  yu ; λ 
z  z  λ  z
A
u

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 x  xA  λ  xu

tel que : AM  λ u , soit  y  yA  λ  yu ,
z  z  λ  z
A
u

Ce système est une représentation
paramétrique de la droite (D)
 Comment trouver un point d’une droite à partir d’une représentation paramétrique
 x  5  2λ

Exemple : Soit (D) une droite de l’espace. Un représentation paramétrique de cette droite est :  y  1  4λ ; λ 
 z  8λ

 5 
 
Si on compare avec la forme générale d’une représentation paramétrique, il est évident que le point A  1  appartient
 0
 
à cette droite. Mais comment faire si on cherche un autre point ? Et bien il suffit de donner une valeur à , différente
de 0. Posons par exemple : λ  3 . En remplaçant  par 3 dans la représentation paramétrique, on obtient :
 x  5  2  3
 x 1


 y  1  4  3   y  11
 z  8 3
 z  24


1 


Le point B  11 est un point de la droite (D)
 24 


2°) Représentations paramétriques d’un plan
Soit A un point de l’espace et soient u et v deux vecteurs non colinéaires de l’espace.
Le point A et les vecteurs u et v définissent un plan (P)
x
 
Quel que soit le point M  y   (P), il existe λ1 
z 
 
 x  xA  λ1  xu  λ 2  xv

Soit :  y  yA  λ1  yu  λ 2  yv ; λ1 
 z  z λ z λ z
A
1
2
u
v

et λ 2 
; λ2 
tels que : AM  λ1 u  λ 2v
Ce système est une représentation
paramétrique du plan (P)
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3°) Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace
 Produit scalaire dans l’espace
 Toutes les définitions et propriétés vues en Première concernant le produit scalaire dans le plan s’appliquent
au produit scalaire dans l’espace
x
 
 Soient u  y  et
z
 
 x 
 
v  y  deux vecteurs de l’espace muni d’un repère orthonormal (O ; i ; j ; k )
 z 
 



u . v  xx  yy  zz
 Orthogonalité dans l’espace
Soient u et v deux vecteurs de l’espace. Soient A, B, C et D quatre points de l’espace tels que :
AB  u et AC  v
Les vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
Précision :
-
Dans le plan, deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes formant un angle droit
Dans l’espace, deux droites orthogonales ne sont pas forcément sécantes
 Vecteurs orthogonaux
On retrouve la même propriété que dans le plan :
Soient u et v deux vecteurs de l’espace. u  v  u . v  0
 Vecteur normal à un plan
 Rappel : Une droite (D) est perpendiculaire à un plan (P) si, et
seulement si elle est perpendiculaire à deux droites sécantes de (P)
 Définition : un vecteur n (non nul) est normal à un plan (P) si
sa direction est perpendiculaire au plan (P)
(D)
(D)
n
 Si n est normal à (P), alors tous les vecteurs colinéaires à n sont aussi normaux à (P)
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4°) Equation cartésienne d’un plan
 Définition : Tout plan (P) de l’espace a une équation cartésienne de la forme : ax  by  cz  d  0 , où a, b, c et d
sont quatre nombres réels tels que a, b et c ne sont pas tous les trois nuls.
a
 
 Propriété essentielle : Si un plan (P) a pour équation cartésienne ax  by  cz  d  0 , alors le vecteur n  b  est
c 
 
normal au plan (P). Vous remarquerez que la condition « a, b et c ne sont pas tous les trois nuls » entraîne que le
vecteur n est non nul
 Autre propriété : si ax  by  cz  d  0 est l’équation cartésienne d’un plan (P), alors quel que soit le réel k non
nul : kax  kby  kcz  kd  0 est aussi une équation cartésienne du plan (P).
 Module 3 : Positions relatives de droites et de plans 
1°) Positions relatives de deux droites de l’espace
 Les différentes positions relatives possibles
Deux droites (D) et (D’) de l’espace peuvent-être
 coplanaires si elles sont :
 ou non coplanaires
 Comment vérifier si deux droites sont parallèles ?
 Pour chaque droite, on extrait de la représentation paramétrique les coordonnées d’un vecteur directeur
 On vérifie si ces deux vecteurs sont colinéaires
 si oui : les droites sont parallèles
 si non : les droites ne sont pas parallèles
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 Comment vérifier si deux droites parallèles sont strictement parallèles ou confondues ?
 on extrait de la représentation paramétrique d’une des deux droites les coordonnées d’un de ses points
 on vérifie si ce point appartient à l’autre droite à l’aide de sa représentation paramétrique
 si oui : les droites sont confondues
 si non : les droites sont strictement parallèles
 Comment vérifier si deux droites sont sécantes ?
 x  5λ  8

Exemple : Soient ( D)  y  2λ  3 ; λ 
 z  4λ  5

 x    5

et ( D)  y  2  7 ;  
 z   7   18

deux droites de l’espace
 5 
 1 
 
 
Le vecteur u  2  est un vecteur directeur de la droite (D) et le vecteur v  2  est un vecteur directeur de la droite
 4
7
 
 
(D’). Ces deux vecteurs n’ont pas des coordonnées proportionnelles. Les droites (D) et (D’) ne sont pas parallèles.
Sont-elles sécantes ?
x
 
Elles sont sécantes s’il existe un point I  y  commun aux deux droites. Les coordonnées du point d’intersection I
z
 
5λ  8     5

vérifient simultanément les deux représentations paramétriques, donc : 2λ  3  2  7
4λ  5  7   18

Il suffit alors de résoudre le système formé par les deux premières équations. Ensuite, on vérifie si les solutions
trouvées sont compatibles avec la dernière équation.
 si oui : les droites sont sécantes en I
 si non : les droites ne sont pas sécantes. Comme on a établi précédemment qu’elles ne sont pas parallèles,
on en déduit qu’elles sont non coplanaires.
Complément : si les droites sont sécantes, pour trouver les coordonnées de leur point d’intersection, il suffit de
remplacer  par la valeur trouvée lors de la résolution du système dans le représentation paramétrique de la droite (D).
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2°) Positions relatives d’une droite et d’un plan
 Les différentes positions relatives possibles
 La droite et le plan sont sécant en un point I
 La droite est incluse dans le plan : tous les points de la droite appartiennent alors au plan
 La droite et le plan sont parallèles : ils n’ont aucun point commun
 Comment étudier la position relative d’une droite (dont on a une représentation paramétrique) et d’un plan (dont on
a une équation cartésienne)
4°) Positions relatives de deux plans
 Les différentes positions relatives possibles
 Les plans sont confondus : tous les points situés dans l’un sont aussi dans l’autre
 Les plans sont parallèles : ils n’ont aucun point commun
 Les plans sont sécants : leur intersection est alors une droite
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 Comment étudier la position relative de deux plans (d’équations connues) ?
Remarque : deux plans sont confondus si l’équation cartésienne de l’un est le produit de l’équation cartésienne de
l’autre par un réel non nul.
 Comment vérifier si deux plans sécants (d’équations connues) sont perpendiculaires ?
 on trouve, pour chaque plan, un vecteur normal
 on calcule leur produit scalaire
 si le produit scalaire est nul, les plans sont perpendiculaires
 si le produit scalaire n’est pas nul, les plans ne sont pas perpendiculaires.
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