Exercice 1 - Exercices corriges

1ère S3 Corrigé des exercices du cours
Géométrie dans l’espace
I.
Rappels
Pour vérifier les acquis
VRAI - FAUX
Pour chacune des affirmations suivantes, notez V dans la case qui la précède si vous êtes certain qu’elle
est vraie et notez F si vous êtes certain qu’elle est fausse ;
1)Trois droites concourantes sont toujours coplanaires. Faux, on suppose que l’une d’entre elles est
l’intersection de deux plans ,contenant chacun l’une des deux autres droites.
2) Deux droites parallèles à un même plan sont parallèles. Faux, et si elles ne sont pas coplanaires ?
3) Deux droites parallèles sont coplanaires. Vrai, par définition.
4) Deux droites orthogonales sont coplanaires. Faux, elles n’ont pas besoin d’être dans le même plan, ce
sont leur parallèles qui le sont.
5) Les points K, L et M sont alignés. Faux. Les points M et K appartiennent à la face (ABC) ,alors que L,
non ! On ne peut donc pas tracer de droites contenant ces trois points
6) Les points A, D et K sont coplanaires. Vrai car A est le point d’intersection entre les droites (AD) et
(AK), et donc ces deux droites définissent le plan (ADK).
7) Faux : I appartient au plan (ABC), ce qui n’est pas le cas de J, alors Les droites ( BC ) et ( IJ ) ne sont
pas parallèles.
8) . Vrai. L appartient naturellement au plan (BLC) ,de plus, L appartient à la droite (AD), incluse dans le
plan (AKD).
K appartient naturellement au plan (AKD), de plus, K appartient à la droite (BC), incluse dans le plan
(BLC). Conclusion : La droite (KL) est la droite d’intersection des plans (AKD) et (BLC).
Livre page 234
1ère S2 – Corrigé des exercices du cours sur la géométrie dans l’espace - 2008-2009
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II.
Vecteurs de l’espace
A. Exercices
S
1. Droites et plans de l’espace
L
Exercice 1
On considère une pyramide SABCD dont la base ABCD est
un parallélogramme.
I, J, K et L sont les milieux respectifs des
segments [SA], [SB], [SC] et [SD].
I
K
J
C
D
A
On note : u  AI , v  AB et w  JK .
B
1. Identifier chacune des droites suivantes :
D  A; u  est la droite (SA),
D  D; v  est la droite (DC)
D  K ; v  est la droite (KL).
D  A; v  2w est la droite (AC) et
D  I ; u  v  est la droite (BD).
2. Compléter par un vecteur exprimé à l’aide des vecteurs u , v et w :








( SA)  D S , 2u ,  SB   D S , 2u  v ,  SC   D S , 2u  v  2w ,  SD   D S , 2u  2w .
3. Déterminer par trois points non alignés parmi S, A, B, C, D, I, J, K et L chacun des plans
suivants :
P  I ; u , v  est le plan (SAB)
P  B; v , w est le plan (CAB) ou même avec D
P  S ; u , v  2w est le plan (SAC)
P  C; w, 2u  v  est le plan (SCB)
4. Exprimer en fonction de u , v et w un couple de vecteurs directeurs de chacun des plans
suivants :
 SCD  admet pour vecteurs directeurs v , 2u  v  2w et 2u  2w ( on pourrait écrire : u  w )
 SDB  admet pour vecteurs directeurs 2u  v , 2u  v  2w et v  2w
1
admet pour vecteurs directeurs u  v  w , u  v  w et v  2w
2
1
 DKJ  admet pour vecteurs directeurs u  v  2w , u  v  w et w
2
 DKB 
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2. Vecteurs coplanaires
Exercice 2
On considère le cube ABCDEFGH.
a. Les vecteurs AG , AE et EG sont-ils coplanaires ?
A est le point d’intersection entre les droites (AE) et (AG), alors ces deux droites définissent le plan ( AEG) :
la réponse est donc oui.
b. Même question avec les vecteurs AB , BD et EG .
AB  AD  AC  ED.
BA  AD  BD  AD  BD  BA
D’après les propriétés du cube , on peut écrire : Alors AB  AD  ED  AB  BD  BA  ED
 2 AB  BD  ED
Et donc, les vecteurs AB , BD et EG sont coplanaires.
c. Montrer que les vecteurs AE , BG et FH ne sont pas coplanaires.
Les vecteurs AE , BG déterminent le plan ( AEH) car AH = BG .
Or le point F appartient au plan (BCF), qui est parallèle à ( AEH).
Conclusion : les vecteurs AE , BG et FH ne sont pas coplanaires.
Exercice n°15 page 248
3. Parallélisme de droites : TD n°5 page 243
4. Parallélisme d’une droite et d’un plan
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Exercice 3
ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [AD], J celui de [BC] .
1
1
E est le point défini par DE  DB  DC , et M est le point défini par AM  AC  DB  DC .
2
2
1. a. Faire une figure et placer les points E et M.
Pour construire le point E, on utilise la règle du parallélogramme : DE  DB  DC  2DJ .
1
1
Pour construire le point M : AM  AC  DB  DC  AC  DJ
2
2
b. Démontrer que la droite  CM  est parallèle au plan  AED  .
On utilise la propriété.
On sait depuis le 1°) que AM  AC  DJ  AM  AC  DJ  CM  DJ 
1
DE
2
Les vecteurs CM et DE sont colinéaires, donc : la droite  CM  est parallèle au plan  AED 
.
2. a. On considère les vecteurs u  CB , v  2 AB  AD et w  2 AC  AD .
Calculer 2u  v  w . En déduire que les vecteurs u , v et w sont coplanaires.
2u  v  w  2CB  2 AB  AD  2 AC  AD  2 AB  2 AB  0 . Donc : 2u  v  w  0 .
Ce que l’on peut écrire, par exemple : v  2u  w , c’est-à-dire que les vecteurs u , v et w sont coplanaires.
b. Justifier que la droite  BC  est parallèle au plan  A; 2 AB  AD, 2 AC  AD  .
En fait, on parle du plan P( A, v , w) . Or la droite (BC) peut être définie ainsi : D( B, u ) .
Or, les vecteurs u , v et w sont coplanaires. Alors, la droite  BC  est parallèle au plan
 A; 2 AB  AD, 2 AC  AD 
3. a. G est le centre de gravité du triangle ABC. Exprimer les vecteurs EI et EG
en fonction des vecteurs EA et ED .
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On utilise la règle du parallélogramme : EI 
1
( EA  ED ) .
2
Pour EG ,il faut partir de la définition du centre de gravité :
GA  GB  GC  0  GE  EA  GE  EB  GE  EC  0  3GE  EA  EB  EC  0
3EG  EA  EB  EC .Il faut faire intervenir ED . Si on regarde bien : ED  EB  EC ( règle d u…)
Ainsi : 3EG  EA  ED  2 EI  EG 
2
EI
3
b. Que peut-on en déduire pour les points E, G et I ?
D’après le résultat précédent, ces trois points sont alignés.
c. Placer le point G sur la figure.
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