N4 Calcul littéral I/ Donner du sens au calcul littéral : 1. Programme de calcul : Une expression littérale exprime un programme de calcul sur des nombres dont certains sont représentés par des lettres. Exemple : 2(x+3) est l’expression du programme qui pour chaque valeur de x donne le double de la somme de x est de 3. Pour x = 4 le programme donne 14 2(4+3) 2 × 7 = 14 Tester l’égalité 2-3x = 4 pour x = -1 Je remplace x par -1 2-3 × (-1) 2+3=5 5 ≠ 4 donc pour x = -1 l’égalité est fausse Descriptions d’un nombre : Une expression littérale permet aussi de décrire des nombres n désigne un entier relatif n+1 n-1 n + 1 désigne le nombre entier qui est le suivant de n et n-1 désigne le nombre qui est le précédent de n Exemple 2 : k désigne un entier positif 2k 2k décrit les nombres pairs 3 k décrit les multiples de 3 II/ Réduction d’une expression littérale Vocabulaire : réduire une expression littérale signifie écrire cette expression sous la forme la plus simple. Exemple : Réduire E = 3x + 3 – (5x-4) +2 On supprime les parenthèses E = 3x +3 – 5x +4 +2 On regroupe les termes semblables E = 3x – 5x + 3 + 4 + 2 On réduit : E = -2x + 9 Tester l’égalité 2 – 3x = 4 pour x = -1 Je remplace x par -1 III/ Développements : Développer signifie transformer un produit en somme Distributivité simple : K (a +b) = ka + kb Distributivité double (a+b) (c+d) = ac + ad + bc + bd A b Ac Ad C bc bd d Exemple: Developer et réduire : F = (x+ 5) (2x + 1) F = x × 2x + x ×1 + 5 × 2x + 5 × 1 F = 2x² + x + 10x + 5 F = 2x² + 11x + 5 G = (3x-1) (x + 7)- (2x-3) (3x-1) G = 3x × x + 3 x × 7 – 1 × x – 1 × 7 [ 2x × 3x +2 x × (-1) – 3 × 3x – 3 × (-1) G = 3x ² + 21x – x – 7 – 6x ² + 2x + 9x -3 G = -3x² + 31x -10 IV/ Factoriser une expression littéral : Factoriser une expression signifie transformer une somme (ou une différence) Ka + Kb = k (a + b) Ka – kb = k (a-b) Exemple: Factoriser: 3x² - 27x On repère le facteur commun dans chaque terme : 3x × x - 3x × 9 Je factorise : 3x (x-9) IV/ Factoriser une expression littérale : 8 π x ² - 2π x × 1 2π x × 4x – 2 2 π x (4x 1) (3x – 1)(2x + 5) – (3x-1) (x+3) = (3x – 1) [(2x + 5) – (x+3)] (3x-1) (2x+5-x-3) = (3x – 1)(x +2) V / Egalité remarquables : 1. Carré d’une somme : (a + b)² = (a +b)(a+b) =a×a+a×b+b×a+b×b = a² + ab + ab + b² = a² + ab + b² Exemples: (2x + 1)² = (2x)² + 2 × 2x × 1 + 1 = 4x² + 4x +1 (3x + 7)² = (3x)² + 2 × 3 x ×7 + 7 ² = 9x² + 42x + 49 2. Carré d’une différence (a-b)² = (a-b)(a-b) = a × a + ax(-b) - b×a - b×(-b) = a² - ab – ab –ab + b² a² - 2ab +b² (5-2x)² = 5²-2 × 5x × 2x +(2x)² = 25 – 20x + 4x² (5x – 3)² = (5x)² - 2 ×5x × 3 + 3² = 25x² - 30x + 9 3. Produit d’une somme par une différence (a+b)(a-b) = a × a + a × (-b) + b × a + b × (-b) = a² - ab + ab –b² = a²-b² Exemples (5-2x) (5+ 2x) = 25-4x² (5x – 3) (5x + 3) = 25x² -9 4) Factorisation : Rappel factoriser une expression c’est transformer une somme ou une différence en un produit. On utilisera donc les égalités remarquables dans l’autre sens : a²+2ab+b² = (a+b) ² a²-2ab+b² = (a-b) ² a²-b² = (a+b) (a-b) Exemple: 9-12x + 4x² = 3² - 12x + (2x) ² = 3² - 2 × 3 × 2x + (2x) ²= (3-2x)² 3-x² + 1 + 12 x= (6x)² + 1² +2 × 6x × 1 (6x+1)² 81x²-16 = (9x) ² - 4² = (9x-4) (9x+4) Factoriser: (5x – 2)² - (3x+1)² A² - B² A = (5x-2) B = (3x +1) [(5x-2) + (3x +1)] [(5x-2) – (3x +1)] = (5x -2 + 3x + 1) (5x-2-3x-1) = (8x-1) (2x-3) (3x-2)² - 4(x-3)² = -9x² + 8² A = (3x-2)² - (3x-2) (x+7) -9x²+4 B = (2x-1)² - (1-2x) (5x-3) + 4x² - 4x² - 4x+1 A = 9x² - 4² B = 4x -1 – 18x² Correction: E = (2x-1)²- (2x-1) (3x-2) + (2x-1) E = 4x² - 4x × 1x + 1 – (6x²+ 2 – 4x – 3x) + (2x-1) E = 4x²-4x+1 + 6x² - 2 + 4x + 3x + 2x-1 E = -2x² + 5x -2 E = (2x-1) [(2x – 1) (3x-2)] – 1] E =(2x-1) [2x-1-3x+2+1] E = (2x-1) (-x+2)