Enoncés des exercices

1
Variables aléatoires
Cahier d’exercices no 1
Les énoncés page 2
Les solutions page 5

2
Enoncés des exercices
Solutions
Le mot “écart” désignera l’écart type.
Exercice 1
X est une variable aléatoire de loi Binomiale
)4,0;5(B
.
1) Quelles sont les valeurs possibles de X ?
2) Donner l’expression en fonction de k de la probabilité pour que X soit égale à
k, indiquer les valeurs possibles de k.
3) Calculer le plus simplement possible la probabilité pour que X soit au moins
égale à 1.
4) Calculer la probabilité pour que X soit au plus égale à 3.
5) Calculer la probabilité pour que X soit égale à moins de 3.
6) Donner l’espérance mathématique, la variance et l’écart de la variable
aléatoire X.
Y est une variable aléatoire de Poisson de paramètre 2.
7) Quelles sont les valeurs possibles de Y ?
8) Donner l’expression en fonction de k de la probabilité pour que Y soit égale à
k, indiquer les valeurs possibles de k.
9) Calculer la probabilité pour que Y soit au moins égale à 1.Calculer la
probabilité pour que Y soit au plus égale à 3.Calculer la probabilité pour que Y
soit égale à moins de 3.
10) Donner l’espérance mathématique, la variance et l’écart de Y.
Z est une variable aléatoire de loi Normale N (100,10).
11) Donner l’espérance mathématique, la variance et l’écart de la variable
aléatoire Z.
12) Calculer la probabilité pour que Z soit au plus égale à 110.
Calculer la probabilité pour que Z soit au plus égale à 110.25.
Calculer la probabilité pour que Z soit au plus égale à 90.25.
Calculer la probabilité pour que Z soit au plus égale à 110.25et supérieure à
90.25.
13) Trouver la plus petite valeur de t pour que Z ne dépasse pas la valeur de t
avec une probabilité de 0,95.
Trouver la plus petite valeur de s pour que Z soit dans l’intervalle
)s100;s100(
.
Avec une probabilité de 0,90(on ne tient pas compte de la nature exacte de
l’intervalle : fermé, ouvert, semi- fermé).
Solution de l’exercice

3
Exercice 2
X est une variable aléatoire de loi Binomiale B (n, p).
1) Quelles sont les valeurs possibles de X ?
2) Donner l’expression en fonction de k de la probabilité pour que X soit égale à
k, indiquer les valeurs possibles de k.
3) Comment calculer le plus simplement possible la probabilité pour que X soit
au moins égale à 1.
4) exprimer en fonction de n l’espérance mathématique, la variance et l’écart de
la variable aléatoire X.
5) On suppose n supérieur à 30 et
np
inférieur à 9, par quelle loi peut-on
approcher la loi de X. Quels seront l’espérance mathématique, la variance et
l’écart de cette nouvelle loi ?
6) On suppose n supérieur à 30 et
np
supérieur à 10, par quelle loi peut-on
approcher la loi de X ? Quels seront l’espérance mathématique, la variance et
l’écart de cette nouvelle loi ?
Solution de l’exercice 2
Exercice 3
X est une variable aléatoire de loi Binomiale B (1000 ; 0,002).
1) Quelles sont les valeurs possibles de X ?
2) Donner l’espérance mathématique, la variance et l’écart de la variable
aléatoire X.
3) Donner l’expression en fonction de k de la probabilité pour que X soit égale à
k, indiquer les valeurs possibles de k.
4) Donner une valeur approchée au millième près de la probabilité pour que X
soit au moins égale à 1.
5) Par quelle loi peut-on approcher la loi de X. Quels seront l’espérance
mathématique, la variance et l’écart de cette nouvelle loi ? Calculer à l’aide de
cette approximation la probabilité pour que X soit au moins égale à 1 ; comparer
le résultat avec celui obtenu en utilisant la véritable loi.
Solution de l’exercice 3

4
Exercice 4
Y est une variable aléatoire de loi Binomiale B (1000, 0,50).
1) Quelles sont les valeurs possibles de Y ?
2) Donner l’espérance mathématique, la variance et l’écart de la variable
aléatoire Y.
3) Par quelle loi peut-on approcher la loi de Y ? Quelle sera l’espérance
mathématique, la variance et l’écart de cette nouvelle loi (on prendra pour écart
la valeur entière la plus proche? Calculer à l’aide de cette approximation la
probabilité pour que Y soit au plus égale à 516.
4) On choisit une valeur de Y au hasard, quelle est la probabilité pour que cette
valeur soit parmi l’ensemble des entiers {485, 486,……, 515, 516} ?
On considère avoir atteint notre objectif lorsque Y prend une des valeurs
précédentes ; on décide de choisir 5 fois une valeur de Y (les choix seront
indépendants les uns des autres), on appelle X le nombre d’objectifs qui seront
atteints.
4.1) Quelle est la loi suivie par X ?
4.2) Quelle est l’espérance mathématique la variance et l’écart de X ?
4.3) Quelle est la probabilité pour que la valeur absolue de la différence entre
le nombre de fois où l’objectif sera atteint et le nombre de fois où il ne sera pas
atteint soit égal à 1 ?
Solution de l’exercice 4

5
SOLUTIONS DES EXERCICES 1, 2, 3, 4
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Exercice 1 (SOLUTION)
1) Les valeurs possibles de X sont {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
3)
5
601 .
est la probabilité pour que X soit au moins égale à 1.
4) Il faut calculer :
).3X(P)2X(P)1X(P)0X(P 
On obtient :
........ 233245 6040106040106040560 
6) 2 ; 1.2
2.1;
.
7) Tous les entiers positifs (zéro compris).
2
2
8 e
!k
)k
, les valeurs possibles de k sont tous les entiers (zéro compris).
9)
2
e5;
2
e
3
19
;
2
e1 
10) 2 ; 2
2;
.
11) 100 ; 100 ; 10.
12) 0.8413.
0.84614 par défaut, 0.84850 par excès.10.83398 par défaut.
0.84850+0.833981.
13) On cherche la plus petite valeur de t telle que P (Zt)=
950
10
100 . t
.
651
10
100 . t
:trouve On 
, donc : la plus petite valeur de t telle que
5.116est95,0)tZ(P 
.
k5
6.0
k
4.0
k
5
C)kX(P)2 
......) 3245 60401060405605 