CHAPITRE N°8 : CHUTE VERTICALE. I CHAMP DE PESANTEUR. (RAPPEL) 1) Poids d’un corps Comme nous l’avons vu en première, tout objet de masse m subit au voisinage de la Terre la force d’attraction gravitationnelle qui a pour expression : F=P= .m G.MT /(RT+z)2 . u u en vecteur. Vecteur dirigé vers le centre de la Terre 2) Champ de pesanteur Le vecteur champ de pesanteur est défini en un point par g= G.MT /(RT+z)2 . u A la surface de la Terre, g=9.81N.kg-1 La direction de g varie d’un point à l’autre de la surface de la Terre. On peut considérer que dans une zone restreinte à la surface de la Terre, le champ de pesanteur est uniforme. II ETUDE D’UN SOLIDE EN CHUTE VERTICALE DANS UN FLUIDE ; 1) expérience : Vidéo fluide 1 On repère la position de la bille à chaque image. Y a-t-il différentes phases ? Pourquoi ? Tout d’abord on a un régime initial ou la vitesse augmente donc le vecteur accélération n’est pas nul.(somme F0 d’après la deuxième loi de Newton.) Puis la vitesse reste constante ( vitesse limite) donc la somme vectorielle des forces devient nulle. Mais pourquoi ces deux phases ? 2) les frottements du fluide. Quand on est en voiture si l’on met la main par la fenêtre on sent une force s’exercée sur notre main. Def : la force exercée par un fluide (gaz, liquide) sur un solide en mouvement a la même direction que le vecteur vitesse du solide, mais le sens opposé. Sa valeur dépend de la nature du fluide, de la vitesse du solide de sa forme de ses dimensions et de l’état de sa surface. f est proportionnelle à vn f=k.v pour de faible vitesse. 3) la poussée d’Archimède Cette force a été vu en 1ère. Def : tout corps plongé dans un fluide subit de la part de ce fluide une force noté F ou dont les caractéristiques sont les suivantes : - direction verticale - sens vers le haut - valeur : poids du fluide déplacé masse volumique du fluide en kg.m-3 V en m3 g : valeur du champ de pesanteur en N.kg-1 F valeur de la poussée d’Archimède en N F ne change pas si le solide est en mouvement. Si en vecteur F= - .V.g F==.V.g 4) équation différentielle du mouvement : Soit un repère terrestre (O,i,j,k) où l’axe O k est vertical descendant. A la date t=0 la bille a une vitesse verticale vO Syst d’étude : la bille en chute verticale. Référentiel : terrestre supposé comme Galiléen. Forces exercées sur la bille : - son poids - la poussée d’Archimède - les forces de frottement. Donc d’après la deuxième loi de Newton : F=P+∏+f=m.a Donc en projetant sur un axe dirigée vers le bas Pk + ∏k + fk=m.ak=m.dvk/dt on a Pk=P ∏k=- ∏ et fk=-f (m-V).g-k.vn= m.dv/dt donc dv/dt = - k/m vn + (m-V).g/m Avec A = (m-V).g/m et B = - k/m Cette équation est de la forme : dv/dt =A + B.vn ou z’’=A + B.z’ ou a = A + B.vn 5) vitesse limite : La vitesse augmente au début du mouvement. Donc f aussi ceci jusqu’a un équilibre à ce moment on a : dvk/dt =0 donc - k/m vk + (m-V).g/m = 0 or V= mfluide - k/m vk + (m-mfluide).g/m = 0 vk= (m-mfluide).g /k 6) résolution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler La méthode d’Euler permet de résoudre numériquement cette équation différentielle. Pour l’utiliser il faut connaître la vitesse à un instant donné. (souvent la vitesse initiale vo ) Cette méthode comporte 2 étapes de calcul qu’il faut répéter. C’est une méthode itérative. Première étape : On calcule l’accélération ao à la date to L’équation différentielle nous donne : ao = A – B.von prenons n=1 Deuxième étape : On calcul v1 à la date t1 = to + t la durée t est appelé le pas du calcul. Il suffit ensuite de recommencer ces deux étapes de calcul. a1 = A – B.v1 v2 = v1 + a1.t ETC….. Ensuite on opère par tâtonnement pour trouver les valeurs de A, B et n qui permettent de faire coïncider la courbe théorique et la courbe expérimentale. Le choix du pas de calcul est important car si il est trop grand les résultats ne seront pas cohérents et si il est trop petit il y aura un très grand nombre de calcul. 7) interprétation graphique La résolution graphique de la solution montre que le mouvement de la bille se décompose en : - un régime initial pendant lequel le mouvement est accéléré - un régime asymptotique (ou permanent) pour lequel la vitesse est constante, sa valeur est appelée vitesse limite. - On peut associer un temps caractéristique à cette chute. Sa valeur est donnée par l’intersection de l’asymptote et de la tangente à la courbe. III CHUTE VERTICALE LIBRE. 1) chute libre Un solide est en chute libre s’il n’est soumis qu’à son poids. 2) accélération de la pesanteur Le système étudié est un solide S de masse m soumis seulement à son poids P=mg (vect). A l’instant t = 0s on lâche le solide sans vitesse initiale du point O de coordonnées (0,0,0). Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, la deuxième loi de Newton permet d’écrire : P=maG (vect) D’où mg=ma et donc a=g (vect) Cc : en chute libre, le vecteur accélération aG du centre d’inertie d’un solide est égal au vecteur champ de pesanteur. L’accélération d’un corps ne dépend pas de sa masse. 3) équation horaire du mouvement : On choisi un repère d’étude (o,i,j,k) l’axe ok est orienté vers le bas. Vitesse du centre d’inertie : aG= dv/dt=dvx/dt.i +dvy/dt.j +dvz/dt.k =g=g.k d’où dvx/dt=0 ; dvy/dt=0 ; dvz/dt=g On peut en déduire vx,vy et vz grâce aux primitive : vx=A vy=B vz=g.t+C or à la date t=0 les coordonnées de v sont nulles donc A=B=C=0 vx=0 vy=0 vz=g.t cc la direction du vecteur vitesse est verticale, il est dirigé vers le bas et sa valeur augmente linéairement avec le temps. VG=(gt)k vect Position du centre d’inertie : vG étant la dérivée du vecteur position OG On peut vérifier que ces équations différentielles ont pour solutions x=D ; y=E ; z=1/2.g.t2 +F Or à t=o x,y et z sont nulles, il en est donc de même pour D,E et F. D’où x=0 y=0 z=1/2.g.t2 Remarque : des équations horaires du mouvement on peut déduire une relation entre la vitesse et la position du mobile : vz=gt z=1/2.g.t2 2 vz =2gz 4) importance des conditions initiales : Cas ou il existe une vitesse initiale vo et ou les coordonnées du point O sont (0,0,zo) L’accélération est toujours la même a=g Donc vz=gt+A avec A=vo car à t=0 vz=vo vz=gt+vo Donc z=1/2.g.t2 + vo.t + B Ici B =zo car à t=0 z=zo D’où l’équation horaire du mouvement : z=1/2.g.t2 + vo.t + zo Instant ou vz = 0 m/s Si vo<0 vz s’annule pour : vz=gt+ vo = 0 donc t= -vo/g Altitude maximale À l’altitude max vz=O m/s L’objet monte jusqu’à z=1/2.g.t2 + vo.t pour t= -vo/g D’où z= vo2/2g