I Les forces extérieures exercées sur un solide en chute

Physique TS
MECANIQUE
CHUTE VERTICALE D’UN SOLIDE
Problématique : Comment comprendre et prévoir le mouvement de chute d’un solide, dans le vide ou dans
un fluide avec ou sans frottement.
I Les forces extérieures exercées sur un solide en chute verticale

La force de pesanteur : Cette force est due à l’action du champ de pesanteur noté g sur tous les corps à
proximité de la terre. L’intensité de la pesanteur diminue avec l’altitude. Dans un espace réduit à quelques

kilomètres de côté, on considère le champ de pesanteur g uniforme.


Le champ de pesanteur g uniforme  direction, sens et intensité g = g sont constants.



La force de pesanteur P  m.g est appliquée au centre de gravité G du solide, de même direction que g (

verticale ), de même sens que g ( vers le bas ) et d’intensité P = m.g : P : poids (N) ; m : masse ( kg ) et g :
intensité de la pesanteur ( N.kg-1 ou m.s-2).
Poussée d’Archimède : La poussée d'Archimède est une force de contact répartie sur la surface de contact
solide-fluide. On la représente par un vecteur qui possède une origine : le centre d'inertie C du volume de
fluide déplacé, une direction : la verticale passant par C, un sens : vers le haut et une valeur :
= P (fluide déplacé) = m(fluide déplacé) . g =( o .V(fluide) ).g
La poussée d'Archimède PA s'exprime en Newton.(N), o : masse volumique du liquide déplacé ( kg.m-3 ou
kg.L-1) ; V(fluide) : volume de fluide déplacé ( m3 ou L ) ;g : intensité de la pesanteur ( N.kg-1 ).
Force de frottement fluide : Si le fluide est fixe ou sans mouvement latéral par rapport à l’objet en
déplacement, les frottements du solide sur le fluide sont assimilées à une force de frottement


f appliquée au centre de gravité du solide, de même direction que la vitesse v , de sens opposé
à la vitesse et d’intensité f = kvn f : force ( N ) ; v : vitesse ( m.s-1) ;k et n des constantes à
déterminer expérimentalement qui dépendent de l’objet et du fluide.
Illustration :

- le poids P :
Direction : verticale
Sens : vers le centre de la Terre
Valeur : P = m.g
Application : centre d’inertie.

- la poussée d'Archimède 
Direction : verticale
Sens : de bas en haut
Valeur : égale au poids du volume de fluide
déplacé   .V.g
Application : centre d’inertie du fluide déplacé.

- les forces de frottement f
Direction : celle du vecteur vitesse (la verticale)
Sens : opposé à celui de la vitesse (de bas en haut)
Valeur : f = kvn
Application : centre d’inertie du solide.
f  6. . f .v
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II Etude de la chute verticale sans frottement
Une petite bille en plomb de masse m est lâchée, sans vitesse initiale, à partir de l'origine d'un axe
vertical (O, ) orienté vers le bas. Après un parcours de 2 m, la bille frappe le sol.
a- Pourquoi peut-on considérer qu'il s'agit d'une chute libre ?
b- À l’aide de la 2° loi de Newton, établir l'équation différentielle du mouvement.
Référentiel Galiléen : le solide Terre. On lui associe le repère (O, ).
Système étudié : la bille
Une seule force extérieure s'exerce sur la bille :
c- Quelle est la solution analytique de cette équation ?
- La fonction vz qui admet g comme dérivée est :
La constante C1 est la valeur prise par la vitesse V à la date 0. L'énoncé donne C1 = V(o) = 0 m / s.
La fonction z qui admet g t comme dérivée est :
La constante C2 est la valeur prise par z à la date 0. L'énoncé donne C2 = z (o) = 0 m.
Les équations horaires du mouvement sont donc :
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d- A quelle date et à quelle vitesse la bille frappera-t-elle le sol ?
La bille frappe le sol au point S tel que zS = + 2 m.
III Chute verticale avec frottement
On lâche sans vitesse initiale une bille de verre (de masse m, de volume V) dans un tube contenant de l’huile
de masse volume ρ0. La viscosité du fluide n’est plus négligeable devant le poids.
1° Application de la 2° loi de Newton
2° Résolution de l’équation différentielle dans le cas où n = 1 :
a- Méthode analytique :
Vérifier que la solution est du type v = A ( 1- e-t/ ).
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ρ
dv
k.v

 g.(1  f )
dt
m
ρb
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0,0
8
vz (limite)
vz (m.s-1)
0,0
6
0,63.vz
(limite)
0,0
2
0,0
0
régime
asymptotiqu
e
(permanent)
tangente à la
courbe à l’instant t
=0
régim
e
initial
t (s)
0 
0,0
5
0,1
0
b- Méthode d’Euler : Nous avons à résoudre l’équation suivante :
ρ
dv
k.v

 g.(1  f ) . Pour la valeur v0 , nous calculons :
dt
m
ρb
k.v 0
dv1
ρ

 g.(1  f )
dt
m
ρb
Puis on calcule la valeur de la vitesse v1 à la date t1 = t0 + Δt avec la relation : v1 = v0 +
Et ainsi de suite …..
dv1
. Δt
dt
3° Résolution de l’équation différentielle dans le cas où n  1 : dv/dt + (k/m) vn = g ( 1- o/)
a- Méthode d’Euler
Elle se réalise comme dans le cas précédent. Par comparaison avec les données expérimentales, il est
possible de déterminer la valeur de n, c’est à dire le modèle de la force de frottements.
b- Méthode analytique
La résolution complète est trop complexe, on effectue une analyse partielle de la solution qui permet
seulement de déterminer le régime initial et le régime asymptotique.
En effet dv/dt = g’ - (k/m) vn avec g’ = g ( 1- o/), donc à t = 0, v = 0 et l’accélération a = dv/dt = g’.
Quand t augmente, v augmente mais a = dv/dt diminue, jusqu’à s’annuler lorsque g’ = (k/m) vn.
Le régime initial est un mouvement accéléré, dont l’accélération diminue.
Lorsque l’accélération est nulle v = v l  n
mg '
, appelée vitesse limite.
k
Le régime asymptotique est un mouvement uniforme, dont la vitesse constante v = vl.
L’évolution de la vitesse est encore caractérisée par la grandeur t1/2, temps au bout duquel la moitié de la
vitesse limite est atteinte, ou par la constante de temps  qui le temps correspondant au point d’intersection
entre la tangente à la courbe à l’origine et l’asymptote.
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