un solide

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Chute verticale d’un solide
1- La force de pesanteur :
1.1 rappels :
Un solide placé au voisinage de la Terre est soumis à des forces d’attraction
gravitationnelle équivalentes à une force unique appelée force de pesanteur ou
poids. Le poids est représenté par un vecteur noté
P
.
Caractéristiques du poids : point d’application : centre de gravité G
Direction : verticale passant par G
Sens : vers le bas
Valeur : P = mg (attention la masse m est en kg)
1.2 champ de pesanteur :
En un lieu donné, les vecteurs poids de différents corps sont colinéaires, de même
sens, de normes proportionnelles à la masse :
1
1
m
P
=
2
2
m
P
=
3
3
m
P
=
g
où
g
est le vecteur champ de pesanteur du lieu considéré.
Caractéristiques de
g
: direction : verticale du lieu
sens : du haut vers le bas
valeur : intensité de la pesanteur au lieu considéré
exprimée en N.kg – 1 ou en m.s – 2 .
Au voisinage du sol terrestre, l’intensité de la pesanteur a pour valeur g = 9,8 N.kg – 1.
Le champ de pesanteur est uniforme (même direction, même sens et même
intensité) dans une région dont les dimensions sont de l’ordre de quelques
kilomètres. Pour des distances plus grandes, l’effet de la rotondité de la Terre influe
sur la direction de
g
(les verticales du lieu en deux points ne sont plus parallèles :
inclinaison). En effet,
g
est orienté vers le centre de la Terre.
2- La poussée d’Archimède :
Un solide immergé dans un fluide est soumis à des forces de pression.
Petite manip avec un dynamomètre et une masse qui trempe dans un fluide.
La résultante de ces forces de pression exercée sur le solide par le fluide est la
poussée d’Archimède noté
A.
On montre expérimentalement que
A dépend de la nature du fluide donc de sa
masse volumique µ.

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Tout corps immergé dans un fluide est soumis de la part de celui-ci à une force
verticale
A orientée vers le haut, de valeur égale au poids du volume V de fluide
déplacé par le corps immergé : A = µVg où µ désigne la masse volumique du fluide
en kg.m – 3 donc V est en m3.
Le point d’application de
A est appelé centre de poussée qui se situe au centre de
gravité des fluides déplacés. (centre de poussée  centre de gravité du solide
immergé).
3- Chute libre verticale :
3.1 définition :
Un corps tombant en chute libre n’est soumis qu’à son poids. En théorie, une chute
libre ne peut avoir lieu que dans le vide. Cependant, pour des solides denses et des
hauteurs de chute de l’ordre du mètre, on admettra que la force de frottement de l’air
ainsi que la poussée d’Archimède due à l’air sont négligeables devant le poids du
solide.
Deuxième loi de Newton :
amP 
ce qui donne
ga  
L’accélération du centre d’inertie d’un solide tombant en chute libre est égale au
vecteur champ de pesanteur
g
. L’accélération est indépendante de la masse du
solide.
3.2 chute sans vitesse initiale :
A t = 0, le solide est abandonné sans vitesse initiale d’un point O pris comme origine
de l’axe vertical Oz orienté vers le bas dans le sens du mouvement.
Sur l’axe Oz, deuxième loi de Newton : az =
dt
dvz
= g avec g > 0.
L’équation différentielle du mouvement est
²
2
dtzd
= g.
Une recherche de primitive conduit à l’équation horaire de la vitesse :
v = gt + v0 et comme v0 = 0 on obtient vz (t) = gt.
La vitesse varie linéairement avec le temps.
Une nouvelle recherche de primitive conduit à l’équation horaire du mouvement :
z = ½ gt² + z0 comme on a choisi z0 = 0 ; z(t) = ½ gt²
3.3 chute avec vitesse initiale colinéaire à Oz :
Les élèves reprennent la démarche précédente pour trouver :

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z(t) = ½ gt² + v0t + z0
Quelque soit le signe de v0, le solide est animé d’un mouvement dont l’accélération
a
est constante et égale à
g
. Le mouvement du solide est qualifié de rectiligne
uniformément accéléré.
4- Chute verticale avec frottements : (voir TP)
4.1 force de frottement fluide de la forme f = kv :
Cette expression de f est valable pour des vitesses très faibles de l’ordre du cm.s – 1.
Schéma de la chute verticale dans un fluide :
Deuxième loi de Newton :
A
P
+
amf 
Projection sur l’axe Oz vertical dirigé vers le bas :
mg - µVg – kv = ma = m
dt
dvz
(équation différentielle du mouvement)
Si la durée de chute du solide est suffisante, la vitesse atteint une valeur limite vl
lorsque
dt
dvz
= 0. vl = g/k.(m - µV).
Graphe de v = f(t) en plaçant v limite,  (temps caractéristique du passage d’un
régime à l’autre) et les régimes initial et asymptotique.
4.2 force de frottement fluide de la forme f = kv² :
Cette expression de f est valable pour des vitesses plus élevées que le cm.s – 1. (bille
acier dans l’eau du TP).
Refaire la même étude et donner l’équation différentielle du mouvement.
4.3 résolution des équations différentielles du mouvement :
Pour connaître l’évolution de la vitesse au cours du temps, on utilise une méthode
d’intégration numérique telle que la méthode d’Euler. (voir TP)