Similitudes indirectes

Similitudes indirectes et nombres complexes
 Exercice 1 : Application
bzaz 
Soit F l'application définie dans C par
2zi3'z 
. Caractériser géométriquement la
transformation f qui, à tout point M d'affixe z fait correspondre le point M' d'affixe z'.
Même exercice :
2z)i1('z 
2iz)i1('z 
i2z3i'z 
1iz)i1('z 
 Exercice 2 : On considère l'application f de C dans C, qui à tout nombre complexe z,
associe
z f z iz i' ( )   2 2
,
z
désignant le nombre complexe conjugué de z.
On désigne par F la transformation du plan complexe, qui au point M d'affixe z, fait
correspondre le point
M ' = F (M), d'affixe z' = f(z).
1) La transformation f admet-elle des points invariants ?
2) Déterminer la nature de F et préciser les éléments géométriques qui la caractérisent :
centre, rapport, axe.
 Exercice 3 : Un plan euclidien P est rapporté à un repère orthonormé direct. Le complexe
z = x+iy est l'affixe du point M de coordonnées (x, y) de ce plan.
z
est le conjugué de z.
a) Déterminer la nature et les éléments de chacune des applications S1 et S2 de P dans P Qui
associent au point M d'affixe z respectivement les points S1 (M) d'affixe
z iz
1
et S2 (M) d'affixe
z2 = 2iz + 5i.
b) Déterminer l'ensemble E des points M du plan pour lesquels la distance des points S1 (M)
et S2 (M) est égale à 1. Préciser la nature des éléments de symétrie de E.
 Exercice 4 : a) - Soit A, B, A' et B' quatre points distincts de P. Montrer qu’il existe une
unique similitude indirecte f telle que f(A) = A' et f(B) = B'. Quand f est-elle une isométrie ?
Quand possède-elle un unique point fixe ?
b) - Dans le cas où f est une similitude à centre donner une construction à la règle et au
compas de son centre.
 Exercice 5 : Dans le plan affine euclidien P muni d'un repère orthonormé, on considère le
point M (x, y) d'affixe
z = x + iy. On pose
z x iy 
.
1) Déterminer l'ensemble des points M de P dont l'affixe z vérifie la relation
2 1 2iz i  
.
2) Soit f l'application de P dans P qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z'
définie par
z iz i'  2 1
.
a- Montrer que f admet un point invariant unique.
b- Déterminer l'ensemble des points M du plan P tel que
 M M' 2
.
c- Indiquer alors la nature et les éléments géométriques précis de l'application f.
3) Utiliser la question 2) pour retrouver les résultats de la question 1) par une méthode
géométrique.
 Exercice 6 : Le plan euclidien E est rapporté à un repère orthornomé
R O u v ( , , )
.

s est la similitude plane directe de centre I (-1 , 1) de rapport k = 2 et d'angle
23
; s1 est
la similitude qui, au point M d'affixe z, fait correspondre M' d'affixe z', tel que :
z i z i'   2 2
Déterminer la similitude s2 telle que s = s2 o s1.