Fiche 5.

M2A – Théorie algébrique des nombres
Fiche 5
Fiche 5.
Exercice
1. Soit p un nombre premier. Pour x ∈ Qp de développement p-adique x =
P
n avec x ∈ {0, . . . , p − 1}, montrer que x ∈ Q si et seulement si la suite (x )
x
p
n
n n≥0 est
n≥0 n
périodique à partir d’un certain rang.
Exercice 2. Donner le développement p-adique des nombres suivants : −1, −1/2 avec p
impair, 1/3 avec p = 2, (p − 1)/2 avec p impair.
Exercice 3. Soit p un nombre premier. Soit σ un automorphisme de Qp . Montrer que σ est
l’identité.
Exercice 4. Soit p un nombre premier.
1. Montrer que les racines de l’unité dans Qp d’ordre premier à p s’injectent modulo p.
2. Montrer que si p est impair, alors Qp contient les racines (p − 1)-ièmes de l’unité.
3. Montrer que Qp contient les racines de l’unité primitives d’ordre pk , avec k ≥ 1, si et
seulement si p = 2 et k = 1.
4. En déduire que les racines de l’unité contenues dans Qp sont ±1 si p = 2 et les racines
de l’unité d’ordre p − 1 si p est impair.
5. Calculer les quatre premiers termes du développement 5-adique d’une racine carrée de
−1 contenue dans Q5 .
On note µ(Qp ) le groupe des racines de l’unité contenues dans Qp , et on pose q = 4 si p = 2
et q = p si p est impair.
6. Soit x ∈ Zp . Montrer qu’il existe un unique ω(x) ∈ µ(Qp ) tel que x ≡ ω(x) (mod qZp ).
On appelle ω(x) le relèvement de Teichmüller de x.
7. Montrer que l’application x 7→ ω(x) est un morphisme de groupes de Z×
p , le groupe des
unités de Zp , dans µ(Qp ) dont le noyau est 1 + qZp .
8. Montrer qu’on a la décomposition
Z
Q×
p = µ(Qp ) (1 + qZp ) p .
Exercice 5. Soit p un nombre premier. En utilisant l’exercice précédent, montrer que
• Qp admet 3 extensions quadratiques, deux ramifiées et une non ramifiée, pour p impair.
• Q2 admet 7 extensions quadratiques. Préciser le discriminant de chacune de ces extensions.
M2A – Théorie algébrique des nombres
Fiche 5
Exercice 6. Soit p un nombre premier impair. Soient a, b et c trois éléments de Z×
p . On
considère l’équation
aX 2 + bY 2 + cZ 2 = 0.
(†)
1. Montrer qu’on peut toujours supposer qu’un des trois coefficients est une unité.
2. On considère l’ensemble S des triplets (x, y, z) ∈ F3p qui sont solutions de l’équation (†)
modulo p.
(a) Montrer que
X
|S| ≡ −
(ax2 + by 2 + cz 2 )p−1
(mod p).
(x,y,z)∈F3p
On note T la somme de droite.
(b) Montrer que T peut s’écrire comme une combinaison linéaires de termes de la forme
X
x2i y 2j z 2k
(x,y,z)∈F3p
avec 2i + 2j + 2k = 2(p − 1).
(c) Soit n un entier premier avec p. Montrer que
X
xn ≡ 0 (mod p).
x∈Fp
(d) Déduire des questions précédentes qu’il existe toujours des solutions (x, y, z) ∈ F3p
non triviales à l’équation (†).
3. Montrer que l’équation (†) admet toujours des solutions non triviales dans Qp .
Exercice 7. Soit p un nombre premier.
1. Soit (an )n≥0 une suite de nombres p-adiques. Montrer que
topologie p-adique) si et seulement si limn→∞ |an |p = 0.
P
n≥0 an
converge (pour la
2. Soit n ∈ N. On écrit n = n0 + n1 p + · · · + nr pr le développement p-adique de n. Montrer
que
n − (n0 + · · · + nr )
vp (n!) =
.
p−1
3. Soit a ∈ qZp avec q = 4 si p = 2 et q = p sinon. Montrer que la série
(1 + a)1/2 = 1 +
X (1/2)(1/2 − 1) · · · (1/2 − n + 1)
n≥1
n!
converge vers une racine carrée de 1 + a ∈ Zp .
4. Calculer la limite de la série (‡) pour a = 7/9 ∈ R.
5. Calculer la limite de la série (‡) pour a = 7/9 ∈ 7Z7 .
an
(‡)