Fiche 5.

M2A – Th´eorie alg´ebrique des nombres Fiche 5
Fiche 5.
Exercice 1. Soit pun nombre premier. Pour x∈Qpde d´eveloppement p-adique x=
Pn≥0xnpnavec xn∈ {0, . . . , p −1}, montrer que x∈Qsi et seulement si la suite (xn)n≥0est
p´eriodique `a partir d’un certain rang.
Exercice 2. Donner le d´eveloppement p-adique des nombres suivants : −1, −1/2 avec p
impair, 1/3 avec p= 2, (p−1)/2 avec pimpair.
Exercice 3. Soit pun nombre premier. Soit σun automorphisme de Qp. Montrer que σest
l’identit´e.
Exercice 4. Soit pun nombre premier.
1. Montrer que les racines de l’unit´e dans Qpd’ordre premier `a ps’injectent modulo p.
2. Montrer que si pest impair, alors Qpcontient les racines (p−1)-i`emes de l’unit´e.
3. Montrer que Qpcontient les racines de l’unit´e primitives d’ordre pk, avec k≥1, si et
seulement si p= 2 et k= 1.
4. En d´eduire que les racines de l’unit´e contenues dans Qpsont ±1 si p= 2 et les racines
de l’unit´e d’ordre p−1 si pest impair.
5. Calculer les quatre premiers termes du d´eveloppement 5-adique d’une racine carr´ee de
−1 contenue dans Q5.
On note µ(Qp) le groupe des racines de l’unit´e contenues dans Qp, et on pose q= 4 si p= 2
et q=psi pest impair.
6. Soit x∈Zp. Montrer qu’il existe un unique ω(x)∈µ(Qp) tel que x≡ω(x) (mod qZp).
On appelle ω(x) le rel`evement de Teichm¨uller de x.
7. Montrer que l’application x7→ ω(x) est un morphisme de groupes de Z×
p, le groupe des
unit´es de Zp, dans µ(Qp) dont le noyau est 1 + qZp.
8. Montrer qu’on a la d´ecomposition
Q×
p=µ(Qp) (1 + qZp)pZ.
Exercice 5. Soit pun nombre premier. En utilisant l’exercice pr´ec´edent, montrer que
•Qpadmet 3 extensions quadratiques, deux ramifi´ees et une non ramifi´ee, pour pimpair.
•Q2admet 7 extensions quadratiques. Pr´eciser le discriminant de chacune de ces exten-
sions.

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Exercice 6. Soit pun nombre premier impair. Soient a,bet ctrois ´el´ements de Z×
p. On
consid`ere l’´equation
aX2+bY 2+cZ2= 0.(†)
1. Montrer qu’on peut toujours supposer qu’un des trois coefficients est une unit´e.
2. On consid`ere l’ensemble Sdes triplets (x, y, z)∈F3
pqui sont solutions de l’´equation (†)
modulo p.
(a) Montrer que
|S|≡− X
(x,y,z)∈F3
p
(ax2+by2+cz2)p−1(mod p).
On note Tla somme de droite.
(b) Montrer que Tpeut s’´ecrire comme une combinaison lin´eaires de termes de la forme
X
(x,y,z)∈F3
p
x2iy2jz2k
avec 2i+ 2j+ 2k= 2(p−1).
(c) Soit nun entier premier avec p. Montrer que
X
x∈Fp
xn≡0 (mod p).
(d) D´eduire des questions pr´ec´edentes qu’il existe toujours des solutions (x, y, z)∈F3
p
non triviales `a l’´equation (†).
3. Montrer que l’´equation (†) admet toujours des solutions non triviales dans Qp.
Exercice 7. Soit pun nombre premier.
1. Soit (an)n≥0une suite de nombres p-adiques. Montrer que Pn≥0anconverge (pour la
topologie p-adique) si et seulement si limn→∞ |an|p= 0.
2. Soit n∈N. On ´ecrit n=n0+n1p+· · · +nrprle d´eveloppement p-adique de n. Montrer
que
vp(n!) = n−(n0+· · · +nr)
p−1.
3. Soit a∈qZpavec q= 4 si p= 2 et q=psinon. Montrer que la s´erie
(1 + a)1/2= 1 + X
n≥1
(1/2)(1/2−1) · · · (1/2−n+ 1)
n!an(‡)
converge vers une racine carr´ee de 1 + a∈Zp.
4. Calculer la limite de la s´erie (‡) pour a= 7/9∈R.
5. Calculer la limite de la s´erie (‡) pour a= 7/9∈7Z7.