Correction des exercices sur les Anneaux et les Corps

IUFM d’Aix-Marseille
M2 EFM
Année 2012-2013
Correction des exercices sur les Anneaux et les Corps
Anneaux
1. Quelle est la forme des idéaux de Z ?
Un idéal de Z en est un sous-groupe (sg) additif et on connait la forme des sg
additifs de Z, ce sont les nZ, n P N. Il reste à vérifier que ces sg sont aussi des
idéaux. Ce qui est trivial.
2. a) Énoncer et démontrer la propriété de Bézout pour deux entiers a et b ;
a ^ b “ 1 ô Dpλ, µq P Z2 , λa ` µb “ 1.
Pour le démontrer, on part de l’ensemble I “ txa ` yb, px, yq P Z2 u et on montre
qu’il est un idéal de Z. On en déduit qu’il existe n P N, tel que I “ nZ. Mais
alors, n “ pgcdpa, bq. En effet, a “ 1.a ` 0.b P I et il existe donc u P Z tel que
a “ nu. D’où, n|a. De même, n|b et n est un diviseur commun à a et b, donc n
divise a ^ b. Si on note d “ a ^ b, alors d divise tout élément de I et donc divise
n (car n “ n.1 P nZ “ I et il existe λ et µ dans Z tels que n “ λa ` µb, or d
divise a et b).
Dans le cas où a ^ b “ 1, I “ Z et il existe donc λ et µ tels que λa ` µb “ 1.
Réciproquement, si de tels coefficients existent dans Z et si d divise a et b, alors
il divise λa ` µb, c’est-à-dire 1 et donc d “ 1.
Il faut noter que la réciproque de l’énoncé :
a ^ b “ d ñ Dpλ, µq P Z2 , λa ` µb “ d
est fausse. Par exemple, 4 ˆ 12 ` p´5q ˆ 8 “ 8 et le pgcd de 12 et de 8 n’est pas
8.
1
b) Proposer un algorithme pour déterminer les coefficients de Bézout.
L’algorithme classique consiste à déterminer le pgcd des deux nombres a et b à
l’aide de l’algorithme d’Euclide, cad en effectuant une suite de divisions euclidiennes. Plus précisément, on a la propriété suivante. Si a “ bq ` r, 0 ď r ă b,
alors a ^ b “ b ^ r. On pose α0 “ 1, β0 “ 0, r0 “ α0 a ` β0 b et α0 “ 0, β1 “ 1, r1 “
α1 a ` β1 b. Les coefficients de Bézout et le pgcd sont alors donnés par la suite
d’itérations :
Tant que r1 ‰ 0 faire
q :“ iquopr0 , r1 q
x :“ α0 ´ qα1
α0 :“ α1
α1 :“ x
x :“ β0 ´ qβ1
β0 “ β1
β1 :“ x
x :“ r0 ´ qr1
r0 :“ r1
r1 :“ x
fin faire
Afficher α0 , β0 , r0
Où iquopu, vq désigne le quotient entier des deux nombres (entiers) u et v.
c) Que deviennent ces résultats lorsqu’on considère n nombres au lieu de deux ?
Si les n nombres, notés ai , i P v1, nw, ont pour pgcd d P N˚ , alors il existe
pλi q, i P v1, nw tels que
n
ÿ
λi ai “ d.
i“1
La démonstration de ce résultat est semblable à celle qui vient d’être explicitée.
On montre que l’ensemble
#
+
n
ÿ
I“
xi ai , xi P Z
i“1
est un idéal de Z et que l’entier qui vérifie I “ dZ est le pgcd des ai .
Dans le cas particulier où les ai sont premiers entre eux dans leur ensemble (i.e.
2
leur seul diviseur commun est 1), alors on a l’équivalence :
n
pgcdpai q “ 1 ô Dpλi q P Z ,
n
ÿ
λi ai “ 1.
i“1
Comme précédemment, si le pgcd est différent de 1, alors la réciproque est fausse.
3. Qu’appelle-t-on le ! théorème chinois " ou le ! théorème des restes chinois " ? Quel
théorème général sur les anneaux quotients justifie ce théorème ?
Le théorème chinois, ou ! théorème des restes chinois ", est un théorème qui
énonce l’existence et l’unicité d’une solution à un système de congruences. Plus
précisément, si on note S le système :
$
’
& x “ α1 ra1 s
.. ..
..
.
.
.
’
% x “ α ra s
k
k
et si les pai q sont premiers entre eux deux à deux, alors S possède une solution
k
ź
unique modulo a “
ai .
i“1
Ce résultat est un corollaire du théorème suivant.
Soit k P N˚ , si les pi , i P v1, kw, sont des entiers premiers entre eux deux à deux,
alors l’application
x rp1 . . . pk s ÞÑ px rp1 s, . . . , x rpk sq
définit un isomorphisme d’anneaux de l’anneau Z{p1 . . . pk Z sur l’anneau Z{p1 Z ˆ
. . . ˆ Z{pk Z.
La démonstration a été détaillée en classe.
Précisons le lien entre le théorème d’isomorphisme et la résolution des systèmes de
congruences.
Le second membre du système S est un k-uplet de la forme pα1 ra1 s, . . . , αk rak sq,
lorsque les pai q sont premiers entre eux deux à deux, l’isomorphisme précédent
assure qu’un tel k-uplet a un, et un seul, antécédent dans Z{a1 . . . ak Z. si cet
antédédent est noté x ra1 . . . ak s, alors la définition de l’isomorphisme assure que
x ra1 s “ α1 , . . . x rak s “ αk .
Remarque : dans un système de congruences à deux équations, si a1 ^ a2 “ d ‰ 1,
il est parfaitement possible que le système admette une solution. Pour vous en
convaincre considérez le système suivant.
"
x “ 8 r12s
p‹q
.
x “ 2 r15s
3
On a :
"
p‹q ô
x
“ 8 r12s
.
8 r12s “ 2 r15s
La seconde équation de ce dernier système est de la forme
6 “ 15k ´ 12m ô 2 “ 5k ´ 4m, pk, mq P Z2 .
Une solution particulière est trivialement 5 ˆ 2 ´ 4 ˆ 2 “ 2. D’où,
5pk ´ 2q “ 4pm ´ 2q, pk, mq P Z2 .
En utilisant le théorème de Gauss, 5 et 4 étant premiers entre eux, k “ 2`4λ, λ P Z.
D’où,
x “ 2 ` 15k “ 2 ` 15p2 ` 4λq “ 32 ` 60λ.
Ainsi, avec les notations générales, si a1 ^ a2 “ d et si d divise α1 ´ α2 , le système
a une solution unique modulo ppcmpa1 , a2 q.
4. Résoudre dans Z les systèmes de congruences :
$
"
& x “ 3 r5s
x “ 4 r7s
aq
bq x “ 6 r12s
x “ 9 r11s
%
x “ 1 r7s
Les détails des calculs ont été donnés en classe. On trouve, pour a) : x “ 53 r77s
et pour bq : 78 r420s.
5. Problème du cuisinier chinois :
Une bande de 17 pirates s’est emparée d’un butin composé de pièces d’or d’égale
valeur. Ils décident de se les partager également et de donner le reste au cuisinier
chinois. Celui-ci recevrait alors trois pièces. Mais les pirates se querellent et six
d’entre eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors quatre pièces. Dans un naufrage
ultérieur, seuls le butin, six pirates et le cuisinier sont sauvés et le partage laisserait
cinq pièces d’or à ce dernier. Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer
le cuisinier quand il décide d’empoisonner le reste des pirates ?
Modélisons ce problème. En désignant par B le nombre de pièces d’or du butin :
i) 17x ` 3 “ B ;
ii) 11y ` 4 “ B ;
iii) 6z ` 5 “ B.
4
$
& B “ 3 r17s
B “ 4 r11s .
On en déduit que
%
B “ 5 r6s
L’unique solution est alors 785 r1122s. Le plus petit de ces entiers positifs est
évidemment 785, c’est la fortune minimale que peut espérer le cuisinier.
Détaillons la résolution. On commence par s’assurer que 17, 11 et 6 sont premiers
entre eux deux à deux. Ensuite, on résoud l’équation diophantienne déduite des
deux premières congruences :
3 ` 17x “ 4 ` 11y ô 17x ´ 11y “ 1.
Or, une solution particulière est 17 ˆ 2 ´ 11 ˆ 3 “ 1. D’où, 17px ´ 2q “ 11py ´ 3q, 11
divise le produit 17px ´ 2q, mais est premier avec 17, donc (théorème de Gauss) il
divise x ´ 2 et x “ 2 ` 11k, k P Z. Alors, B “ 3 ` 17x “ 3 ` 17p2 ` 11kq “ 37 ` 187k
et on résoud le système de deux congruences :
"
B “ 37 r187s
B “
5 r6s
On en déduit que 37 ` 187u “ 5 ` 6v ô 187u ´ 6v “ ´32. Les nombres 187
et 6 étant premiers entre eux, on sait qu’il existe deux entiers, a et b tels que
187a ` 6b “ 1. On repère que 187 ˆ 1 ` 6 ˆ p´31q “ 1, on obtient à partir de là
187 ˆ p´32q ` 6p´31 ˆ 32q “ ´32 et, par différence, 187pu ` 32q ` 6pv ` 992q “ 0.
En utilisant, comme précédemment, le théorème de Gauss, u “ ´32 ´ 6k 1 , k 1 P Z
et finalement, B “ 37 ` 187p´32 ´ 6k 1 q “ ´5947 ´ 1122k 1 “ 785 ` 1122k”, k” P Z.
La fortune minimale que peut espérer le cuisinier est donc le plus petit nombre
positif de la forme 785 ` 1122k”, k” P Z, c’est-à-dire 785 pièces d’or.
Corps
1. a) Rappeler la définition d’un anneau intègre et donner des exemples d’anneaux
non intègres.
Un anneau intègre est un anneau A dans lequel :
@a, b P A, a.b “ 0A ô a “ 0A ou b “ 0A .
Les anneaux pZ{nZ, `, .q, où n est un entier non premier, les anneaux de matrices
carrées à coefficients dans R (ou même dans C) munis des opérations usuelles,
sont des exemples d’anneaux non intègres.
b) Montrer que les éléments inversibles d’un anneau forment un groupe multiplicatif. On l’appelle le groupe des unités de l’anneau.
5
Commençons par vérifier que l’ensemble des unités (noté U désormais), est stable
pour la multiplication de l’anneau.
Soit x, y P U et x1 , y 1 leurs inverses respectifs. Le produit x.y est-il inversible
dans U ? On a :
px.yq.py 1 .x1 q “ x.py.y 1 q.x1 “ x.1A .x1 “ x.x1 “ 1A .
Le calcul est mené dans A, où les propriétés d’associativité et d’élément neutre
de la multiplication sont acquises puisque A est un anneau. On a ainsi montré
que x.y était inversible à droite, mais le même élément de A : y 1 x1 est aussi inverse à gauche. Il est donc l’inverse de x.y et x.y P U .
L’associativité de la multiplication dans U est un corrolaire trivial de l’associativité dans A.
Le neutre de la multiplication dans A, vérifie 1A .1A “ 1A , il est donc inversible
et du coup appartient à U .
Enfin si x P U , alors il existe x1 P U , tel que x.x1 “ x1 .x “ 1A et x1 est inversible
dans U , avec x1´1 “ x.
Conclusion : pU, .q est un groupe.
?
c) On note K l’ensemble tr ` s 2, r, s P Qu. Montrer que K est un sous-corps de
R.
Il est facile de vérifier que K est un sous-anneau de R muni de ses opérations
usuelles. K est un sous-corps si K est stable pour le passage à l’inverse. Or,
?
?
r´s 2
r
s
1
? “ 2
“ 2
´ 2
2.
2
2
2
r ´ 2s
r ´ 2s
r ´ 2s
r`s 2
r
s
Comme il est évident que 2
et
appartiennent à Q dès que r et s
r ´ 2s2
r2 ´ 2s2
y appartiennent aussi, l’inverse de tout élément de K est bien dans K.
2. Montrer que tout anneau intègre fini est un corps.
Notons A un anneau intègre fini. Soit a P A˚ . Considérons l’application de A dans
lui-même définie par x ÞÑ a.x. Cette application est injective car a.x “ a.y ô
a.px ´ yq “ 0A . A étant intégre et a ‰ 0A , x “ y. Mais, une injection d’un ensemble
fini dans lui-même est une bijection et l’équation a.x “ 1A admet une solution
unique dans A. Notons la a1 et vérifions que a1 est aussi un inverse à gauche de a.
En effet, a1 .pa.a1 q “ a1 ô pa1 .a ´ 1A q.a1 “ 0A . Comme a1 ‰ 0A (sinon le produit a.a1
serait nul) et que l’anneau est intègre, on déduit que a1 .a “ 1A .
3. Verifier que l’anneau pZ{nZ, `, .q est un corps ssi n est un entier premier.
Compte tenu du résultat de l’exercice précédent, on va montrer que pZ{nZ, `, .q
6
est un anneau intègre ssi n est premier.
C’est évidemment l’intégrité qu’il faut étudier. Supposons n premier.
Si a.b “ 0, alors le produit ab est divisible par n. Si n divise a, alors a “ 0 et
c’est fini. Sinon, d’après le théorème de Gauss, n divise ab et il est premier avec a
(puisqu’il est lui-même premier qu’il ne divise pas a), donc il divise b et b “ 0.
Supposons que @a, b P Z{nZ, a.b “ 0 ñ a “ 0 ou b “ 0. Si n “ pq, où p et q sont
des entiers naturels compris entre 1 et n, alors n “ 0 et soit p “ 0, soit q “ 0.
Ce qui revient à dire que soit p, soit q, est un multiple de n. Mais alors, le second
facteur est égal à 1 et n ne peut donc se factoriser que d’une seule façon n “ n ˆ 1,
c’est donc que n est premier.
4. Montrer que si le polynôme P pXq “ an X n ` . . . ` a0 , où les ai P Z, admet une
p
racine rationnelle , alors p divise a0 et q divise an . Que se passe-t-il si P pXq est
q
unitaire ?
p
Écrivons que est une racine de P :
q
p
P p q “ 0 ô an pn ` an´1 pn´1 q ` . . . ` a1 pq n´1 ` a0 q n “ 0.
q
On en déduit que p divisant chacun des n premiers termes et 0, il divise a0 q n . Mais,
p ^ q “ 1 ñ p ^ q n “ 1 et p divise a0 . De la même façon, q divise les n derniers
termes et 0, il divise donc an pn . Comme q ^ pn , q divise an .
Si P est unitaire, q divise an signifie que q “ 1. Les seules racines rationnelles de
P sont alors des entiers relatifs qui divisent a0 .
Application : chercher les racines rationnelles des équations suivantes.
3X 2 ´ 7X “ 5 ; 8X 5 ` 3X 2 ´ 17 “ 0 ; 2X 3 ´ X 2 ` 6X “ 3.
L’application du résultat précédent justifie que les solutions rationnelles de 3X 2 ´
1
5
7X “ 5, s’il en existe, appartiennent à l’ensemble t˘ , ˘5, ˘ , ˘1u. On vérifie
3
3
qu’aucun de ces nombres n’est solution, l’équation n’admet donc pas de racines
rationnelles (ce qu’on pouvait évidemment savoir en la résolvant dans R).
Pour la deuxième équation (qu’on ne peut pas résoudre dans R !), les solutions
17 17 17
1 1 1
possibles appartiennent à t˘ , ˘ , ˘ , ˘17, ˘ , ˘ , ˘ , ˘1u. Ici encore, on
8
4
2
8 4 2
vérifie qu’aucun de ces nombres n’est racine de l’équation.
Pour la troisième équation, les rationnels solutions ne peuvent être que ceux de
1
3 1
l’ensemble t˘ , ˘ , ˘3, ˘1u et on vérifie que est racine.
2 2
2
7
5. a) Étudier la réductibilité, ou l’irréductibilité, dans Z{3Z puis dans Z{5Z des polynômes : X 2 ´ 2 et X 3 ` X ` 2.
Si ces polynômes sont factorisables, alors ils admettent un facteur du premier
degré et donc une racine dans le corps de réduction. Il nous suffit de tester si les
éléments de chacun des deux corps sont solutions.
Le polynôme X 2 ´ 2 n’admet de racine ni dans Z{3Z, ni dans Z{5Z, il est donc
irréductible sur ces deux corps.
Le polynôme X 3 ` X ` 2 s’annule sur 2 P Z{3Z et se factorise en pX ´ 2qpX 2 ´
X ´ 1q dans Z{3ZrXs.
Sur Z{5ZrXs, on trouve X 3 ` X ` 2 “ pX ´ 4qpX 2 ´ X ´ 3q.
b) Décomposer le polynôme X 4 ´5X 2 `6 en produit de facteurs irréductibles dans
RrXs puis dans QrXs.
?
?
4
2
2
2
3qpX
`
3qpX ´
Dans
RrXs,
X
´
5X
`
6
“
pX
´
3qpX
´
2q
“
pX
´
?
?
4
2
2qpX ` 2q. Dans QrXs, la factorisation donne seulement X ´ 5X ` 6 “
pX 2 ´ 3qpX 2 ´ 2q car les deux facteurs sont irréductibles sur Q.
– Montrer que les polynômes irréductibles de RrXs sont les polynômes de degrés
1 ou 2.
En se plaçant dans CrXs, on remarque que les polynômes de RrXs admettent des
racines qui sont des complexes conjugés. Le produit de deux facteurs du premier
degré de la forme pX ´ zi q et pX ´ zi q donne un polynôme du second degré à
coefficients dans R. De tels polynômes peuvent évidemment être irréductibles sur
R lorsque leur discrimant est strictement négatif. Les polynômes irréductibles de
RrXs sont donc de degré deux (à discriminant négatifs) ou de degré 1.
?
2π
– Démontrer que 3 2 n’est pas constructible à la règle et au compas et que cos
5
l’est.
On connait une condition
nécessaire de constructibilité-RC : c’est le théorème
?
3
ed Wantzel. Il faut que 2 soit algébrique sur Q et que son polynôme minimal
admette un degré qui?soit une puissance de 2.
Ici, on remarque que 3 2 est racine du polynôme X 3 ´ 2 P QrXs. On va justifier
que ce polynôme est minimal.
En effet, s’il ne l’est pas, il se factorise avec un polynôme (de QrXs) de degré
1 et un tel polynôme a une racine dans Q. Or, une telle racine appartiendrait
à t˘2, ˘1u (cf. exercice 4). On vérifie
facilement qu’aucun de ces nombres n’est
?
3
est donc X 3 ´ 2 dont le degré 3 n’est pas
racine. Le polynôme minimal de 2 ?
une puissance de 2. Il en résulte que 3 2 n’est pas constructible.
2π
Si α “ cos , on a déjà eu l’occasion de remarquer que α est la partie réelle de
5
8
2π
la racine cinquième de l’unité ξ “ e 5 . Alors, ξ 4 ` ξ 3 ` ξ 2 ` ξ ` 1 “ 0 p‹q avec
8π
2π
ξ 4 “ e 5 “ ξ “ e´ 5 et ξ 3 “ ξ 2 .
En utilisant ces deux relations dans p‹q, on obtient :
2 cos α ` 2 cos 2α ´ 1 “ 0 ô 4 cos2 α ` 2 cos α ´ 1 “ 0.
´1 `
La résolution de l’équation 4X 2 ` 2X ´ 1 “ 0 donne cos α “
4
qui montre que α est un nombre contructible.
?
5
, valeur
– Montrer que le pentagone régulier est constructible à la règle et au compas et
proposer une telle construction.
La constructibilité du pentagone (convexe) régulier est liée à la constructibilité
2π
de α “ cos .
5
1. Á partir de deux points de base O et I, on trace la droite pOIq, puis le point
I 1 symétrique de I par rapport à O, la droite pOJq médiatrice de rII 1 s et le point
J 1 symétrique de O par rapport à J.
?
2. On trace le cercle de centre I 1 passant par J 1 . Ce cercle a pour rayon 5. Il
coupe pOIq en deux
? points, l’un de ces points a pour abscisse (sur l’axe pOIq
évidemment) 1 ´ 5. On note A ce point, on détermine le milieu de rOAs, noté
A1 , et on trace la parallèle à pOJq passant par le milieu de rOA1 s. Cette droite
coupe le cercle unité en deux points, celui de ces deux points qui a une ordonnée
2π
ÝÑ
ÝÝÑ
{
r2πs.
positive, noté B1 , détermine l’angle pOI, OB1 q “
5
3. Á partir de B1 , on centre un cercle de rayon B1 I qui détermine sur le cercle
2π
ÝÝÑ
ÝÝÑ
{
unité un point B2 tel que pOB1 , OB2 q “
r2πs, etc.
5
– Déterminer, dans C :
‚ les racines carrés de -17, de 1 ` 2i ;
?
?
˛ On a : ´17 “ 17i2 et les deux racines de -17 dans C
i 17 et ´i 17.
" sont
a2 ´ b 2 “ 1
˛ La résolution de z 2 “ pa ` ibq2 “ 1 ` 2i conduit à
.
2ab
“ 2
La résolution de ce système à partir de l’équation du second degré X 2 ´
SX ` P “ 0, où S “ a2 ` p´b2 q “ 1 et P “ a2 p´b2 q “ ´1, avec ab ą 0,
donne
¨d
˛
d
?
?
1` 5
´1 ` 5 ‚
a ` ib “ ˘ ˝
`i
.
2
2
9
‚ les racines cubiques
1 ` i;
? de
?
iπ
On a : 1 ` i “ 2 e 4 . Si z “ ρ eiθ P C vérifie z 3 “ 1 ` i, alors ρ “ 6 2 et
iπ 2π
r 3 s. D’où, les trois racines cubiques :
θ “ 12
z1 “
?
?
?
iπ
3iπ
17π
6
6
6
2 e 12 ; z2 “ 2 e 4 ; z3 “ 2 e 12 .
π
12
“ π3 ´ π4 et en déduire que :
?
?
?
?
6` 2
π
6´ 2
π
et sinp q “
cosp q “
12
4
12
4
On peut remarquer que
et que :
?
?
?
?
17π
´ 6` 2
17π
´ 6´ 2
cosp
q“
et sinp
q“
12
4
12
4
Les expressions algébriques des racines cubiques suivent.
‚ les racines 7-ième de l’unité.
Pensez-vous que l’heptagone régulier soit constructible à la règle et au compas ?
Les racines septième de l’unité sont solutions de l’équation z 7 “ 1. Si on écarte
la solution évidente z “ 1, les six autres solutions sont racines de l’équation :
2iπ
z 6 ` z 5 ` z 4 ` z 3 ` z 2 ` z ` 1 “ 0. Si on note z “ e 7 , alors z 6 et z, z 5 et z 2 ,
z 4 et z 3 sont des couples de racines conjuguées. L’équation en z devient :
2 cos α ` 2 cos 2α ` 2 cos 3α ` 1 “ 0 ô 8 cos3 α ` 4 cos2 α ´ 4 cos α ´ 1 “ 0.
2π
est donc racine de l’équation 8X 3 ` 4X 2 ´ 4X ´ 1 “ 0. Il est
7
facile de vérifier que le polynôme 8X 3 ` 4X 2 ´ 4X ´ 1 est irréductible sur
2π
QrXs, il en résulte que cos
n’est pas constructible et donc que l’heptagone
7
régulier n’est pas constructible à la règle et au compas.
Le réel cos
10