Correction des exercices sur les Anneaux et les Corps

IUFM d’Aix-Marseille
M2 EFM
Ann´ee 2012-2013
Correction des exercices sur les Anneaux et les Corps
Anneaux
1. Quelle est la forme des id´eaux de Z?
Un id´eal de Zen est un sous-groupe (sg) additif et on connait la forme des sg
additifs de Z, ce sont les nZ, n PN. Il reste `a v´erifier que ces sg sont aussi des
id´eaux. Ce qui est trivial.
2. a) ´ Enoncer et d´emontrer la propri´et´e de B´ezout pour deux entiers aet b;
a^b“1ô Dpλ, µq P Z2, λa `µb “1.
Pour le d´emontrer, on part de l’ensemble I“ txa `yb, px, yq P Z2uet on montre
qu’il est un id´eal de Z. On en d´eduit qu’il existe nPN, tel que I“nZ. Mais
alors, n“pgcdpa, bq. En effet, a“1.a `0.b PIet il existe donc uPZtel que
a“nu. D’o`u, n|a. De mˆeme, n|bet nest un diviseur commun `a aet b, donc n
divise a^b. Si on note d“a^b, alors ddivise tout ´el´ement de Iet donc divise
n(car n“n.1PnZ“Iet il existe λet µdans Ztels que n“λa `µb, or d
divise aet b).
Dans le cas o`u a^b“1, I“Zet il existe donc λet µtels que λa `µb “1.
R´eciproquement, si de tels coefficients existent dans Zet si ddivise aet b, alors
il divise λa `µb, c’est-`a-dire 1 et donc d“1.
Il faut noter que la r´eciproque de l’´enonc´e :
a^b“dñ Dpλ, µq P Z2, λa `µb “d
est fausse. Par exemple, 4 ˆ12 `p´5qˆ8“8 et le pgcd de 12 et de 8 n’est pas
8.
1

b) Proposer un algorithme pour d´eterminer les coefficients de B´ezout.
L’algorithme classique consiste `a d´eterminer le pgcd des deux nombres aet b`a
l’aide de l’algorithme d’Euclide, cad en effectuant une suite de divisions eucli-
diennes. Plus pr´ecis´ement, on a la propri´et´e suivante. Si a“bq `r, 0ďrăb,
alors a^b“b^r. On pose α0“1, β0“0, r0“α0a`β0bet α0“0, β1“1, r1“
α1a`β1b. Les coefficients de B´ezout et le pgcd sont alors donn´es par la suite
d’it´erations :
Tant que r1‰0 faire
q:“iquopr0, r1q
x:“α0´qα1
α0:“α1
α1:“x
x:“β0´qβ1
β0“β1
β1:“x
x:“r0´qr1
r0:“r1
r1:“x
fin faire
Afficher α0, β0, r0
O`u iquopu, vqd´esigne le quotient entier des deux nombres (entiers) uet v.
c) Que deviennent ces r´esultats lorsqu’on consid`ere nnombres au lieu de deux ?
Si les nnombres, not´es ai, i P v1, nw, ont pour pgcd dPN˚, alors il existe
pλiq, i P v1, nwtels que n
ÿ
i“1
λiai“d.
La d´emonstration de ce r´esultat est semblable `a celle qui vient d’ˆetre explicit´ee.
On montre que l’ensemble
I“#n
ÿ
i“1
xiai, xiPZ+
est un id´eal de Zet que l’entier qui v´erifie I“dZest le pgcd des ai.
Dans le cas particulier o`u les aisont premiers entre eux dans leur ensemble (i.e.
2

leur seul diviseur commun est 1), alors on a l’´equivalence :
pgcdpaiq “ 1ô Dpλiq P Zn,
n
ÿ
i“1
λiai“1.
Comme pr´ec´edemment, si le pgcd est diff´erent de 1, alors la r´eciproque est fausse.
3. Qu’appelle-t-on le !th´eor`eme chinois "ou le !th´eor`eme des restes chinois "? Quel
th´eor`eme g´en´eral sur les anneaux quotients justifie ce th´eor`eme ?
Le th´eor`eme chinois, ou !th´eor`eme des restes chinois ", est un th´eor`eme qui
´enonce l’existence et l’unicit´e d’une solution `a un syst`eme de congruences. Plus
pr´ecis´ement, si on note Sle syst`eme :
$
’
&
’
%
x“α1ra1s
.
.
..
.
..
.
.
x“αkraks
et si les paiqsont premiers entre eux deux `a deux, alors Sposs`ede une solution
unique modulo a“
k
ź
i“1
ai.
Ce r´esultat est un corollaire du th´eor`eme suivant.
Soit kPN˚, si les pi, i P v1, kw, sont des entiers premiers entre eux deux `a deux,
alors l’application
xrp1. . . pks ÞÑ pxrp1s, . . . , x rpksq
d´efinit un isomorphisme d’anneaux de l’anneau Z{p1. . . pkZsur l’anneau Z{p1Zˆ
. . . ˆZ{pkZ.
La d´emonstration a ´et´e d´etaill´ee en classe.
Pr´ecisons le lien entre le th´eor`eme d’isomorphisme et la r´esolution des syst`emes de
congruences.
Le second membre du syst`eme Sest un k-uplet de la forme pα1ra1s, . . . , αkraksq,
lorsque les paiqsont premiers entre eux deux `a deux, l’isomorphisme pr´ec´edent
assure qu’un tel k-uplet a un, et un seul, ant´ec´edent dans Z{a1. . . akZ. si cet
ant´ed´edent est not´e xra1. . . aks, alors la d´efinition de l’isomorphisme assure que
xra1s “ α1,...xraks “ αk.
Remarque : dans un syst`eme de congruences `a deux ´equations, si a1^a2“d‰1,
il est parfaitement possible que le syst`eme admette une solution. Pour vous en
convaincre consid´erez le syst`eme suivant.
p‹q "x“8r12s
x“2r15s.
3

On a :
p‹q ô "x“8r12s
8r12s “ 2r15s.
La seconde ´equation de ce dernier syst`eme est de la forme
6“15k´12mô2“5k´4m, pk, mq P Z2.
Une solution particuli`ere est trivialement 5 ˆ2´4ˆ2“2. D’o`u,
5pk´2q “ 4pm´2q,pk, mq P Z2.
En utilisant le th´eor`eme de Gauss, 5 et 4 ´etant premiers entre eux, k“2`4λ, λ PZ.
D’o`u,
x“2`15k“2`15p2`4λq “ 32 `60λ.
Ainsi, avec les notations g´en´erales, si a1^a2“det si ddivise α1´α2, le syst`eme
a une solution unique modulo ppcmpa1, a2q.
4. R´esoudre dans Zles syst`emes de congruences :
aq"x“4r7s
x“9r11sbq$
&
%
x“3r5s
x“6r12s
x“1r7s
Les d´etails des calculs ont ´et´e donn´es en classe. On trouve, pour a) : x“53 r77s
et pour bq: 78 r420s.
5. Probl`eme du cuisinier chinois :
Une bande de 17 pirates s’est empar´ee d’un butin compos´e de pi`eces d’or d’´egale
valeur. Ils d´ecident de se les partager ´egalement et de donner le reste au cuisinier
chinois. Celui-ci recevrait alors trois pi`eces. Mais les pirates se querellent et six
d’entre eux sont tu´es. Le cuisinier recevrait alors quatre pi`eces. Dans un naufrage
ult´erieur, seuls le butin, six pirates et le cuisinier sont sauv´es et le partage laisserait
cinq pi`eces d’or `a ce dernier. Quelle est alors la fortune minimale que peut esp´erer
le cuisinier quand il d´ecide d’empoisonner le reste des pirates ?
Mod´elisons ce probl`eme. En d´esignant par Ble nombre de pi`eces d’or du butin :
i) 17x`3“B;
ii) 11y`4“B;
iii) 6z`5“B.
4

On en d´eduit que $
&
%
B“3r17s
B“4r11s
B“5r6s
.
L’unique solution est alors 785 r1122s. Le plus petit de ces entiers positifs est
´evidemment 785, c’est la fortune minimale que peut esp´erer le cuisinier.
D´etaillons la r´esolution. On commence par s’assurer que 17, 11 et 6 sont premiers
entre eux deux `a deux. Ensuite, on r´esoud l’´equation diophantienne d´eduite des
deux premi`eres congruences :
3`17x“4`11yô17x´11y“1.
Or, une solution particuli`ere est 17ˆ2´11 ˆ3“1. D’o`u, 17px´2q “ 11py´3q, 11
divise le produit 17px´2q, mais est premier avec 17, donc (th´eor`eme de Gauss) il
divise x´2 et x“2`11k, k PZ. Alors, B“3`17x“3`17p2`11kq “ 37`187k
et on r´esoud le syst`eme de deux congruences :
"B“37 r187s
B“5r6s
On en d´eduit que 37 `187u“5`6vô187u´6v“ ´32. Les nombres 187
et 6 ´etant premiers entre eux, on sait qu’il existe deux entiers, aet btels que
187a`6b“1. On rep`ere que 187 ˆ1`6ˆ p´31q “ 1, on obtient `a partir de l`a
187 ˆp´32q`6p´31 ˆ32q“´32 et, par diff´erence, 187pu`32q`6pv`992q “ 0.
En utilisant, comme pr´ec´edemment, le th´eor`eme de Gauss, u“ ´32 ´6k1, k1PZ
et finalement, B“37 `187p´32 ´6k1q“´5947 ´1122k1“785 `1122k”, k”PZ.
La fortune minimale que peut esp´erer le cuisinier est donc le plus petit nombre
positif de la forme 785 `1122k”, k”PZ, c’est-`a-dire 785 pi`eces d’or.
Corps
1. a) Rappeler la d´efinition d’un anneau int`egre et donner des exemples d’anneaux
non int`egres.
Un anneau int`egre est un anneau Adans lequel :
@a, b PA, a.b “0Aôa“0Aou b“0A.
Les anneaux pZ{nZ,`, .q, o`u nest un entier non premier, les anneaux de matrices
carr´ees `a coefficients dans R(ou mˆeme dans C) munis des op´erations usuelles,
sont des exemples d’anneaux non int`egres.
b) Montrer que les ´el´ements inversibles d’un anneau forment un groupe multipli-
catif. On l’appelle le groupe des unit´es de l’anneau.
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