Base des nombres II

Les nombres en diff´erentes bases
II - Comment passer de la base 10 `a une autre base.
Dans le texte intitul´e Base des nombres I vous avez vu une technique qui nous permet
de passer d’un nombre `a la base n`a un nombre `a base 10. Ici on vous pr´esente une technique
pour aller dans le sens contraire.
Supposons que vous voulez vendre 2 039 ordinateurs au berger qui ne compte qu’`a la
base 3. Il refuse d’acheter vos ordinateurs `a moins que vous puissiez lui dire quel est le
nombre 2 039 `a la base 3 car il ne comprend pas ce que signifient les symboles 3 et 9. Pour
comprendre ce qui suit vous devrez d’abord comprendre le principe de distributivit´e (Voir
le concept intitul´e Distributivit´e). Vous proc´edez donc comme suit:
•On divise d’abord 2 039 par 3 pour obtenir 679 avec un reste de 2. On ´ecrit donc
2 039 = 3 ·679 + 2.
•Ensuite on divise 679 par 3 pour obtenir 226 avec un reste de 1. On ´ecrit
679 = 3 ·226 + 1
•On poursuit ce genre de calcul: 226 divis´e par 3 nous donne 75 avec un reste de 3. Et
donc:
226 = 3 ·75 + 1
•On poursuit jusqu’`a ce que le quotient soit 0:
2 039 = 3 ·679 + 2 (1)
679 = 3 ·226 + 1 (2)
226 = 3 ·75 + 1 (3)
75 = 3 ·25 + 0 (4)
25 = 3 ·8 + 1 (5)
8 = 3 ·2 + 2 (6)
2 = 3 ·0 + 2 (7)
•Tentez de voir par vous-mˆemes ce qui se passe dans la chaˆıne d’´equation qui suit (et
surtout n’ayez pas peur . . . , prenez le taureau par les cornes, ou encore si vous ne
comprenez pas, demandez `a quelqu’un non loin de vous!):
1

2 039 = 3 ·679 + 2
= 3 ·(3 ·226 + 1) + 2
= 32·226 + 3 ·1 + 2
= 32·(3 ·75 + 1) + 3 ·1 + 2
= 33·75 + 32·1 + 3 ·1 + 1
= 33·(3 ·25 + 0) + 32·1 + 3 ·1 + 1
= 34·25 + 33·0 + 32·1 + 3 ·1 + 1
= 34·(3 ·8 + 1) + 33·0 + 32·1 + 3 ·1 + 1
= 35·8 + 34·1 + 33·0 + 32·1 + 3 ·1 + 1
= 35·(3 ·2 + 2) + 34·1 + 33·0 + 32·1 + 3 ·1 + 1
= 36·2 + 35·2 + 34·1 + 33·0 + 32·1 + 3 ·1 + 1
= 36·(3 ·0 + 2) + 35·2 + 34·1 + 33·0 + 32·1 + 3 ·1 + 1
= 36·2 + 35·2 + 34·1 + 33·0 + 32·1 + 3 ·1 + 1
= (103)6·2 + (103)5·2 + (103)4·1 + (103)3·0 + (103)2·1 + (103)·1 + 1
= 10000003·2 + 1000003·2 + 100003·1 + 10003·0 + 1003·1 + 103·1 + 1
= 20000003+ 2000003+ 100003+ 0 + 1003+ 103+ 1
= 22101113
•Donc 2 039 = 22101113.
c
Club Pythagore, 2007
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