Equations et nb premiers - Corrigé

Evaluation arithm´etique
Exercice no1
1) On suppose les nombres p1,p2, . . ., pnrang´es dans l’ordre croissant, avec p1= 2.
Alors E=p1×p2× · · · × pn+ 1 >2 + 1 >2.
On montre maintenant que Eest premier avec p1, le raisonnement est le mˆeme avec les autres nombres pi.
1 = E−p1×p2× · · · × pn=E×1 + p1×(−p2× · · · × pn) donc d’apr`es le th´eor`eme de B´ezout, Eet p1sont premiers entre
eux.
On montre de la mˆeme mani`ere que Eest premier avec tous les nombres p2, . . ., pn.
2) Eest sup´erieur `a tous les nombres premiers p1, . . . pn, donc diff´erents d’eux, donc il n’est pas premier. Il admet donc un
diviseur premier, qui n’est pas dans la liste p1, . . . pn.
Il existe donc un autre nombre premier dans cette liste, ce qui contredit l’affirmation de d´epart.
Exercice no2
1) 256 = 28, 280 = 23×5×7.
2) a. pgcd(17640,1750) = 2×5×7 = 70 (on prend la puissance la plus petite de chaque facteur premier des deux d´ecompositions)
b. On d´etermine le plus petit commun multiple `a chaque d´enominateur. Pour cela on prend la puissance la plus grande de
chaque facteur premier des deux d´ecompositions : P=ppcm(17640; 1750) = 23×32×53×72(= 441 000), ce qui revient
`a multiplier :
•17640 par 52= 25
•1750 par 22×32×7 = 252.
On a alors 1
1750 −1 17640 =252 P−25 P=227 441 000
Exercice no3
aet bsont premiers entre eux donc il existe uet vtels que au +bv = 1.
Donc auc +bvc =c. Or, adivise bc donc il existe un entier ktel que bc =ak,
Donc auc +avk =c, ce qui s’´ecrit en factorisant par a:a(uc +vk) = c.
Cette ´egalit´e prouve que adivise c.
Exercice no4
1) a. 23 ×(−2) + 47 ×1 = 1 donc (−2; 1) est une solution de cette ´equation.
b. 23x+ 47y= 23 ×(−2) + 47 ×1
Donc 23(x+ 2) = 47(1 −y) (1).
47 divise 23(x+ 2) et comme 23 et 47 sont premiers entre eux, alors d’apr`es le th´eor`eme de Gauss, 47 divise x+ 2,
c’est-`a-dire qu’il existe un nombre entier relatif ktel que x+ 2 = 47k, soit x=−2 + 47k.
En rempla¸cant xpar cette valeur dans l’´equation (1), on trouve que y= 1 −23k
D’o`u l’ensemble solution : S={(−2 + 47k, 1−23k), k ∈Z}.
c. Modulo 47, l’´equation devient 23x≡1(47) et les nombres xde l’ensemble Snous donne des valeurs de xv´erifiant cette
´equation.
En particulier pour k= 1, on trouve x= 45.
2) a. Si ab ≡0(47), alors 47 divise ab, et on a deux cas possibles :
•Soit 47 divise aet dans ce cas a≡0(47)
•Soit 47 ne divise pas a, et alors comme 47 est un nombre premier, il est premier avec aet alors d’apr`es le th´eor`eme
de Gauss, il divise bet dans ce cas b≡0(47)
b. Si a2≡1(47) alors a2−1≡0(47), c’est-`a-dire (a−1)(a+ 1) ≡0(47), et en appliquant le r´esultat de la question
pr´ec´edente on a soit a≡1(47), soit a≡ −1(47)
3) a. D’apr`es la question 1)c), l’inverse de 23 est 45 car 23 ×45 ≡1(47).
b. Pour calculer i(10), on ´ecrit 10 ×i(10) ≡1(47),
soit 10 i(10) −1 est divisible par 47, or ce nombre se termine par 9.
On recherche donc parmi les multiples de 47 un nombre qui se termine par 9, le premier est 329 = 47 ×7.
On a alors 10 ×i(10) = 330, soit i(10) = 33.
c. les nombres xtels que i(x) = xsont les nombres v´erifiant x2≡1(47), et d’apr`es la question 2)b), ce sont les nombres 1
et -1.