Faculté des Sciences Dhar El Mehrez Département de

Facult´e des Sciences Dhar El Mehrez
D´epartement de Math´ematiques et Informatique
Chapitre 4
Espaces topologiques s´epar´es
Abdelaziz Kheldouni
0.0.1 §IV.1.Espaces topologiques s´epar´es
Espaces de Hausdorff
D´efinition 1 : Soit (X, τX)un espace topologique. Deux parties Aet Bde Xsont dites
topologiquement disjointes si elles admettent des voisinages disjoints.
Proposition 2 : Deux parties Aet Bde Xsont topologiquement disjointes si et seulement
si il existe un espace topologique Yet une application continue f:X→Ytelle que f(A)et
f(B)soient topologiquement disjoints.
D´emonstration : La condition est n´ecessaire; en effet si Aet Bsont topologiquement disjoints,
on prend Y=X, et f=idX.
La condition est suffisante; Soit f:X→Ycontinue telle que f(A) et f(B) soient
topologiquement disjoints. Il va donc exster deux voisinages V∈v(f(A) ) et V0∈v(f(B))
tels que V∩V0=∅. Mais comme ´ fest continue, f−1(V)∈v(A) et f−1(V0)∈v(B) , de plus
f−1(V)∩f−1(V0) = ∅.
D´efinition 3 : Un espace topologique Xest dit s´epar´e si deux points distincts de Xsont
topologiquement disjoints. Xs´epar´e est aussi appel´e espace de Hausdorff ou bien espace de type
T2.
Un espaee topologique Xest dit de type T0si pour tous xet x0distincts dans Xl’un
aumoins de ces points poss`ede un voisinage qui ne contient pas l’autre. Par exemple, l’ensemble
1

X={a, b}muni de la topologie de Sieperski ( cf. exemple (6) §I.2 ) τX={∅ ,{a}, X}. Cet
espace est ´evidement de type T0, mais il n’est pas de type T2. Notons qu’un espace de type
T2est `a fortiori de type T0, mais l’inverse est faux. Pour le voir on peut prendre l’exemple
pr´ec´edent , c’est un espace type T0, qui n’est pas de type T2.
Un espaee topologique Xest dit de type T1(ou accessible) si pour tous xet x0distincts
dans Xchacun de ces points poss`ede un voisinage qui ne contient pas l’autre. Par exemple un
ensemble Xmuni de la topologie cofinie ( cf. exemple (7) §I.2 )
On remarquera que Xde type T2⇒Xde type T1⇒Xde type T0, mais que les implica-
tions dans le sens inverse ne sont pas vraies. Par exemple (X={a, b}, τX={∅ ,{a},{a, b}})
est un espace topologique de type T0mais il n’est pas de type T1, et l’espace X∞muni de la
topologie cofinie est de type T1mais non de type T2.
Remarque : Toute topologie plus fine qu’une topologie s´epar´ee est s´epar´ee.
Proposition 4 : Pour tout espace topologique Xles propri´et´es suivantes sont ´equivalentes:
1) Xest s´epar´e
2) Pour tout x∈X, l’intersection de tous les voisinages ferm´es de xest le singleton {x}
3) La diagonale ∆de X×Xest ferm´ee.
D´emonstration : (1) ⇒(2) : On a d´eja {x} ⊂ ∩
V∈v(x)V; montrons l’inclusion inverse. Soit
y6=x, il existe deux voisinages ouverts V∈v(x) et V0∈v(y) tels que V∩V0=∅; donc
V⊂{V0et alors {V0est un voisinage ferm´e de xqui ne contient pas y; d’o`u y /∈ ∩
V∈v(x)V. Ainsi
{{x}⊂{∩
V∈v(x)V.
(2) ⇒(3) : Soit (x, y)/∈∆ i.e x6=y, il existe donc V∈v(x) et V0∈v(y) tels que y /∈V.
ce qui donne un voisinage ´el´ementaire V×{V. de (x, y) contenu dans {∆; ce dernier est donc
ouvert, i.e ∆ est ferm´ee.
(3) ⇒(1) : Soit xet ydeux points distincts, (x, y)∈{∆qui est ouvert, donc il existe deux
voisinages θ∈v(x) et ω∈v(y) tels que θ×ω⊂{∆qui entraine que θ∩ω=∅.
Remarque :1) Dans un espace s´epar´e, tout singleton est ferm´e. La r´eciproque n’est pas vraie,
prendre par exemple un espace muni de la topologie cofinie. Si l’ensemble Xest fini, la seule
topologie s´epar´ee sur Xest la topologie discr`ete. Il d´ecoule de cette remarque que dans un
espace s´epar´e, toute partie finie est ferm´ee.
2) Si Xest s´epar´e, et A⊂X, alors a∈acc(A)⇔ ∀ V∈v(a), V ∩Aest infini. La condition
est ´evidement n´ecessaire. Montrons qu’elle est suffisante. Supposons qu’il existe un V∈v(a)
tel que V∩Asoit fini, alors ◦ V∩A\{a}est fini dans Xqui est s´epar´e, donc c’est un ferm´e
3) L’image continue d’un espace s´epar´e n’est pas toujours s´epar´ee. Pour s’en convaincre il
suffit de consid´erer l’identit´e de Rmuni de la topologie euclidienne sur Rmuni de la topologie
grossi`ere.
Proposition 6 : Si pour tous points distincts xet x0∈Xil existe une application continue
fde Xdans un espace s´epar´e Ytelle que f(x)6=f(x0), alors Xest s´epar´e ( fet Ypouvant
d´ependre de xet x0).
2

D´emonstration : Comme x6=x0les singletons {x}et {x0}sont topologiquement disjoints, le
r´esultat d´ecoule alors de la proposition 1.
On d´eduit imm´ediatement que tout sous-espace d’un espace s´epar´e est s´epar´e, et que la
s´eparation est une propri´et´e topologique.
Proposition 7 : L’espace produit X= ΠXiest s´epar´e si et seulement si pour tout i,Xiest
s´epar´e.
D´emonstration : chaque Xiest hom´eomorphe `a un sous-espace de X; donc la s´eparation de
Xentraine celle des Xi. Inversement si tous les Xisont s´epar´es, et si xet ysont deux points
distincts de X, il va exister un indice ipour lequel pri:X→Xiv´erifie pri(x)6=pri(y) donc
grˆace `a la proposition 6 Xest s´epar´e.
Si fet gsont deux applications continues d’un espace topologique Xdans un espace
topologique s´epar´e Yalors l’ensemble A={x∈X / f(x) = g(x)}est un ferm´e de X.
Ceci d´ecoule du fait que An’est rien d’autre que l’image r´eciproque de la diagonale ∆ de Y×Y
par l’application continue h:X→Y×Yqui `a xassocie (f(x), g(x)).
Si maintenant les deux apllications fet gcoincident sur une partie Ddense dans X, alors
elles coincident partout. En effet, l’ensemble E={x∈X / f(x) = g(x)}est un ferm´e de X
contenant Bdonc X=B⊂Ed’o`u E=X.
Corollaire 8 : Le graphe d’une application continue d’un espace topologique Xdans un espace
s´epar´e.Yest ferm´e
D´emonstration : Le graphe de fest Gr(f) = {(x, y)∈X×Y / ϕ(x, y) = ψ(x, y)}o`u ϕet
ψsont deux applications de X×Y→Yd´efinies par ϕ(x, y) = yet ψ(x, y) = f(x) qui sont
continues
0.0.2 §IV.2.Espaces r´eguliers
Proposition 1 : Soit Xun espace topologique; les assertions suivantes sont ´equivalentes
i) Pour tout ferm´e Fet pour tout x /∈F, on a {x}et Fsont topologiquement disjoints.
ii) Pour tout ferm´e Fet pour tout x /∈F, il existe V∈v(x)tel que V∩F=∅.
iii) Pour tout x∈X,l’ensemble des voisinages ferm´es de xest un syst`eme fondamental de
voisinages de x.
D´emonstration : (i) ⇒(ii) {x}et Fsont topologiquement disjoints; donc il existe un ouvert
Ocontenant xet un ouvert O0contenat Ftels que O∩O0=∅, et alors x∈O⊂{O0(qui est
ferm´e) donc O⊂{O0et on a O∩F=∅.
(ii) ⇒(iii) Soit V∈v(x) il existe donc θ∈τXtel que x∈θ⊂V; et alors x /∈F:= {θdonc
d’apr´es (ii) il existe ω∈v(x) tel que ω∩F=∅ce qui entraine que ω⊂θ⊂V.
(iii) ⇒(i) Soit Fun ferm´e, et x /∈F, i.e x∈{Fqui est ouvert, donc il existe un voisinage
V∈v(x) tel que V⊂{Fce qui revient `a dire que F⊂{Vouvert. Donc {V∈v(x) et on a :
V∩{V⊂V∩{V=∅.
3

D´efinition 2 : Un espace topologique s´epar´e qui v´erifie en plus l’une des assertions ´equivalentes
de la proposition ci-desuus est appel´e espace r´egulier.
Exemples :
1) un espace discret est r´egulier car tout singleton {x}est un syst`eme fondamental de
voisinages ferm´e de x.
2) L’espace Rest un espace r´egulier car tout voisinage de xcontient des ferm´es du type
[x−ε, x +ε].
Notons qu’il y a des espaces s´epar´es qui ne sont pas r´eguliers; par exemple :
L’ensemble Rmuni de la topologie τadmettant pour base l’ensemble des intervalles ouverts
et les traces sur Qde ces intervalles. (R, τ) est s´epar´e car τest plus fine que la topologie
euclidienne, mais (R, τ ) n’est pas r´egulier du fait que 0 et {Qne sont pas topologiquement
disjoints. De cet exemple on d´eduit aussi qu’une topologie plus fine qu’une topologie r´eguli`ere
n’est pas n´ecessairement r´eguli`ere.
Proposition 3 : - Un sous-espace topologique d’un espace r´egulier est r´egulier.
- La r´egularit´e des espaces est une propri´et´e topologique
- Un espace topologique produit X= ΠXiest r´egulier si et seulement si Xiest r´egulier pour
tout i.
D´emonstration : 1) Soient Xun espace r´egulier, et Aun sous-espace de X,Aest s´epar´e car
Xl’est. Si maintenant a∈Aet Fun ferm´e de Ane contenant pas a,Fest de la forme A∩Φ
o`u Φ est un ferm´e de Xqui ne contient pas bien sur a. Comme Xest r´egulier, il va exister un
voisinage V∈v(a) , et V0∈v(Φ) tels que V∩V0=∅.
on prend alors ω=V∩Aqui est un voisinage de adans Aet ω0=V0∩Aqui est un
voisinage de Fdans A; ils v´erifient ω∩ω0=∅. Donc Aest r´egulier.
2) Soit f:X→Yun hom´eomorphisme d’un espace r´egulier Xsur un espace topologique
Y. L’espace Yest s´epar´e car Xl’est. De plus si y∈Yet Fun ferm´e de Yne contenant pas y,
alors f−1(F) est un ferm´e de Xqui ne contient pas f−1(y) ; comme Xest r´egulier, il existe un
voisinage V∈v(f−1(y)) , et V0∈v(f−1(F)) tels que V∩V0=∅; cependant, f(V)∈v(y) et
f(V0)∈v(F) sont des voisinages disjoints de yet Frespectivement.
3) Si por tout i,Xiest r´egulier alors X= ΠXiest s´epar´e, et pour tout x∈X, et pour
tout V∈v(x), il existe ω= Πθiavec θi=Xisauf pour i∈J, une partie finie de I, tel que
x∈ω⊂V. Pour tout j∈J,θj∈v(xj) dans Xjqui est r´egulier donc il existe un voisinage
Wj∈v(xj) tel que Wj⊂θjet alors ΠWj×ΠXiest un voisinage ´el´ementaire ferm´e contenu
dans V.
R´eciproquement, ∀i,Xiest hom´eomorphe `a un sous-espace de Xqui est r´egulier, il donc
est r´egulier.
0.0.3 §IV.3.Espaces normaus
Soit Xun espace topologique, les assertions suivantes sont ´equivalentes:
1) Deux ferm´es disjoints de Xsont toplogiquement disjoints.
4

2) Si F1et F2sont deux ferm´es disjoints de Xalors il existe un ouvert Ude Xcontenant F1
tel que U∩F2=∅
3) tout ferm´e admet un syst`eme fondamental de voisinages ferm´es.
En effet, (1) ⇒(2) : soient F1et F2deux ferm´es disjoints de X, il existe deux ouverts U
et Vdisjoints tels que F1⊂Uet F2⊂Vmais U⊂{Vqui est ferm´e, donc U⊂{Vde plus, U∩
F2=∅.
(2) ⇒(3) : Soit Fun ferm´e de Xet Uun ouvert contenant F. Les deux ferm´es Fet {U
sont disjoints, donc il existe un ouvert ϑcontenant Ftel que ϑ∩{U=∅d’o`u ϑ⊂U.
(3) ⇒(1) : Soient F1et F2deux ferm´es disjoints de X,{F2est un voisinage ouvert de
F1donc il existe U∈v(F1) tel que U⊂{F2, donc {Uest un voisinage de F2qui v´erifie U∩
{U⊂U∩{U=∅
D´efinition 1 : Un espace topologique est dit normal ou de type T4s’il est s´epar´e, et s’il v´erifie
l’une des conditions ´equivalentes ci-dessus.
Exemples :
1) Un espace topologique discret est normal
2) Rest normal
3) Les espaces metriques sont normaux, en effet si Aet Bsont deux ferm´e disjoints de
l’espace m´etrique (M, ρ), pour tout point x∈Ail zxiste Ox∈v(x) tel que Ox∩B=∅, donc
ρ(x, B) = ρx>0, de mˆeme, pour tout point y∈B,ρ(y, A) = ρy>0. On consid`ere alors les
deux ouverts U=∪
x∈XB(x, ρx
2) et V=∪
y∈YB(y, ρy
2) , contiennent Aet Brespectivement, et sont
disjoints car si a∈U∩V, il va exister alors x0∈Xet y0dans Ytels que, ρ(x0, a)<ρx
2et
ρ(y0, a)<ρy
2on supposera par exemple que ρx0≤ρy0nous avons
ρ(x0, y0)≤ρ(x0, a) + ρ(a, y0)<ρx0
2+ρy0 2≤ρy0
ce qui signifiera que x0∈B(y0, ρy0), ce qui est impossible.
Remarque : - Tout espace normal est r´egulier, la r´eciproque est fausse
- La normalit´e est une propri´et´e topologique
- Le produit mˆeme fini d’espaces normaux n’est pas toujours normal.
- Un sous-espace d’un espace normal n’est pas toujours normal, sauf par exemple s’il est ferm´e
Soient Xet X0deus espaces toplogiques, et Aune partie de X. Une application f:A→X0
est prolongeable par continuit´e dans X, s’il existe une application continue
e
f:X→X0telle
que la restriction
e
f|Ade
e
f`a Avaut f.
Notons que
e
fpeut ne pas exister comme c’est le cas par exemple pour f:]0,+∞[→Rqui `a x
associe 1
x. Et quand elle existe elle n’est pas n´ecessairement unique.
Lemme d’Uryshon : Si Aet Bsont deux ferm´es disjoints d’un espace topologique normal
(X, τX), alors il existe une application continue f:X→[0,1] telle que : f|A= 0 et f|B= 1
D´emonstration : Comme Aet ´ Bsont deux ferm´es dans un espace normal, alors il existe donc
un ouvert Ucontenant Atel que U∩B=∅.
5