Faculté des Sciences Dhar El Mehrez Département de

Faculté des Sciences Dhar El Mehrez
Département de Mathématiques et Informatique
Chapitre 4
Espaces topologiques séparés
Abdelaziz Kheldouni
0.0.1
§ IV.1.Espaces topologiques séparés
Espaces de Hausdorff
Définition 1 : Soit (X, τX ) un espace topologique. Deux parties A et B de X sont dites
topologiquement disjointes si elles admettent des voisinages disjoints.
Proposition 2 : Deux parties A et B de X sont topologiquement disjointes si et seulement
si il existe un espace topologique Y et une application continue f : X → Y telle que f (A) et
f (B) soient topologiquement disjoints.
Démonstration : La condition est nécessaire; en effet si A et B sont topologiquement disjoints,
on prend Y = X, et f = idX .
La condition est suffisante; Soit f : X → Y continue telle que f (A) et f (B) soient
topologiquement disjoints. Il va donc exster deux voisinages V ∈ v( f (A) ) et V 0 ∈ v( f (B))
tels que V ∩ V 0 = ∅. Mais comme f´ est continue, f −1 (V ) ∈ v(A) et f −1 (V 0 ) ∈ v(B) , de plus
f −1 (V ) ∩ f −1 (V 0 ) = ∅.
Définition 3 : Un espace topologique X est dit séparé si deux points distincts de X sont
topologiquement disjoints. X séparé est aussi appelé espace de Hausdorff ou bien espace de type
T2 .
Un espaee topologique X est dit de type T0 si pour tous x et x0 distincts dans X l’un
aumoins de ces points possède un voisinage qui ne contient pas l’autre. Par exemple, l’ensemble
1
X = {a, b} muni de la topologie de Sieperski ( cf. exemple (6) § I.2 ) τX = {∅ , {a} , X}. Cet
espace est évidement de type T0 , mais il n’est pas de type T2 . Notons qu’un espace de type
T2 est à fortiori de type T0 , mais l’inverse est faux. Pour le voir on peut prendre l’exemple
précédent , c’est un espace type T0 , qui n’est pas de type T2 .
Un espaee topologique X est dit de type T1 (ou accessible) si pour tous x et x0 distincts
dans X chacun de ces points possède un voisinage qui ne contient pas l’autre. Par exemple un
ensemble X muni de la topologie cofinie ( cf. exemple (7) § I.2 )
On remarquera que X de type T2 ⇒ X de type T1 ⇒ X de type T0 , mais que les implications dans le sens inverse ne sont pas vraies. Par exemple (X = {a, b}, τX = {∅ , {a} , {a, b}})
est un espace topologique de type T0 mais il n’est pas de type T1 , et l’espace X∞ muni de la
topologie cofinie est de type T1 mais non de type T2 .
Remarque : Toute topologie plus fine qu’une topologie séparée est séparée.
Proposition 4 : Pour tout espace topologique X les propriétés suivantes sont équivalentes:
1) X est séparé
2) Pour tout x ∈ X, l’intersection de tous les voisinages fermés de x est le singleton {x}
3) La diagonale ∆ de X × X est fermée.
Démonstration : (1) ⇒ (2) : On a déja {x} ⊂
∩ V ; montrons l’inclusion inverse. Soit
V ∈v(x)
y =
6 x, il existe deux voisinages ouverts V ∈ v(x) et V 0 ∈ v(y) tels que V ∩ V 0 = ∅; donc
0
0
V ⊂ {V et alors {V est un voisinage fermé de x qui ne contient pas y ; d’où y ∈
/ ∩ V. Ainsi
V ∈v(x)
∩
V
{{x} ⊂ {V ∈v(x) .
(2) ⇒ (3) : Soit (x, y) ∈
/ ∆ i.e x 6= y, il existe donc V ∈ v(x) et V 0 ∈ v(y) tels que y ∈
/ V.
V.
∆
ce qui donne un voisinage élémentaire V × { de (x, y) contenu dans { ; ce dernier est donc
ouvert, i.e ∆ est fermée.
(3) ⇒ (1) : Soit x et y deux points distincts, (x, y) ∈ {∆ qui est ouvert, donc il existe deux
voisinages θ ∈ v(x) et ω ∈ v(y) tels que θ × ω ⊂ {∆ qui entraine que θ ∩ ω = ∅.
Remarque :1) Dans un espace séparé, tout singleton est fermé. La réciproque n’est pas vraie,
prendre par exemple un espace muni de la topologie cofinie. Si l’ensemble X est fini, la seule
topologie séparée sur X est la topologie discrète. Il découle de cette remarque que dans un
espace séparé, toute partie finie est fermée.
2) Si X est séparé, et A ⊂ X, alors a ∈ acc(A) ⇔ ∀ V ∈ v(a) , V ∩ A est infini. La condition
est évidement nécessaire. Montrons qu’elle est suffisante. Supposons qu’il existe un V ∈ v(a)
◦
tel que V ∩ A soit fini, alors V ∩ A\{a} est fini dans X qui est séparé, donc c’est un fermé
3) L’image continue d’un espace séparé n’est pas toujours séparée. Pour s’en convaincre il
suffit de considérer l’identité de R muni de la topologie euclidienne sur R muni de la topologie
grossière.
Proposition 6 : Si pour tous points distincts x et x0 ∈ X il existe une application continue
f de X dans un espace séparé Y telle que f (x) =
6 f (x0 ) , alors X est séparé ( f et Y pouvant
0
dépendre de x et x ).
2
Démonstration : Comme x 6= x0 les singletons {x} et {x0 } sont topologiquement disjoints, le
résultat découle alors de la proposition 1.
On déduit immédiatement que tout sous-espace d’un espace séparé est séparé, et que la
séparation est une propriété topologique.
Proposition 7 : L’espace produit X = ΠXi est séparé si et seulement si pour tout i , Xi est
séparé.
Démonstration : chaque Xi est homéomorphe à un sous-espace de X ; donc la séparation de
X entraine celle des Xi . Inversement si tous les Xi sont séparés, et si x et y sont deux points
distincts de X, il va exister un indice i pour lequel pri : X → Xi vérifie pri (x) 6= pri (y) donc
grâce à la proposition 6 X est séparé.
Si f et g sont deux applications continues d’un espace topologique X dans un espace
topologique séparé Y alors l’ensemble A = {x ∈ X / f (x) = g(x)} est un fermé de X.
Ceci découle du fait que A n’est rien d’autre que l’image réciproque de la diagonale ∆ de Y × Y
par l’application continue h : X → Y × Y qui à x associe (f (x), g(x)).
Si maintenant les deux apllications f et g coincident sur une partie D dense dans X, alors
elles coincident partout. En effet, l’ensemble E = {x ∈ X / f (x) = g(x)} est un fermé de X
contenant B donc X = B ⊂ E d’où E = X.
Corollaire 8 : Le graphe d’une application continue d’un espace topologique X dans un espace
séparé.Y est fermé
Démonstration : Le graphe de f est Gr(f ) = {(x, y) ∈ X × Y / ϕ(x, y) = ψ(x, y)} où ϕ et
ψ sont deux applications de X × Y → Y définies par ϕ(x, y) = y et ψ(x, y) = f (x) qui sont
continues
0.0.2
§ IV.2.Espaces réguliers
Proposition 1 : Soit X un espace topologique; les assertions suivantes sont équivalentes
i) Pour tout fermé F et pour tout x ∈
/ F , on a {x} et F sont topologiquement disjoints.
ii) Pour tout fermé F et pour tout x ∈
/ F , il existe V ∈ v(x) tel que V ∩ F = ∅.
iii) Pour tout x ∈ X, l’ensemble des voisinages fermés de x est un système fondamental de
voisinages de x.
Démonstration : (i) ⇒ (ii) {x} et F sont topologiquement disjoints; donc il existe un ouvert
0
O contenant x et un ouvert O0 contenat F tels que O ∩ O0 = ∅, et alors x ∈ O ⊂ {O (qui est
0
fermé) donc O ⊂ {O et on a O ∩ F = ∅.
(ii) ⇒ (iii) Soit V ∈ v(x) il existe donc θ ∈ τX tel que x ∈ θ ⊂ V ; et alors x ∈
/ F := {θ donc
d’aprés (ii) il existe ω ∈ v(x) tel que ω ∩ F = ∅ ce qui entraine que ω ⊂ θ ⊂ V .
(iii) ⇒ (i) Soit F un fermé, et x ∈
/ F , i.e x ∈ {F qui est ouvert, donc il existe un voisinage
V ∈ v(x) tel que V ⊂ {F ce qui revient à dire que F ⊂ {V ouvert. Donc {V ∈ v(x) et on a :
V ∩ {V ⊂ V ∩ {V = ∅.
3
Définition 2 : Un espace topologique séparé qui vérifie en plus l’une des assertions équivalentes
de la proposition ci-desuus est appelé espace régulier.
Exemples :
1) un espace discret est régulier car tout singleton {x} est un système fondamental de
voisinages fermé de x.
2) L’espace R est un espace régulier car tout voisinage de x contient des fermés du type
[x − ε, x + ε].
Notons qu’il y a des espaces séparés qui ne sont pas réguliers; par exemple :
L’ensemble R muni de la topologie τ admettant pour base l’ensemble des intervalles ouverts
et les traces sur Q de ces intervalles. (R, τ ) est séparé car τ est plus fine que la topologie
euclidienne, mais (R, τ ) n’est pas régulier du fait que 0 et {Q ne sont pas topologiquement
disjoints. De cet exemple on déduit aussi qu’une topologie plus fine qu’une topologie régulière
n’est pas nécessairement régulière.
Proposition 3 : - Un sous-espace topologique d’un espace régulier est régulier.
- La régularité des espaces est une propriété topologique
- Un espace topologique produit X = ΠXi est régulier si et seulement si Xi est régulier pour
tout i.
Démonstration : 1) Soient X un espace régulier, et A un sous-espace de X, A est séparé car
X l’est. Si maintenant a ∈ A et F un fermé de A ne contenant pas a, F est de la forme A ∩ Φ
où Φ est un fermé de X qui ne contient pas bien sur a. Comme X est régulier, il va exister un
voisinage V ∈ v(a) , et V 0 ∈ v(Φ) tels que V ∩ V 0 = ∅.
on prend alors ω = V ∩ A qui est un voisinage de a dans A et ω 0 = V 0 ∩ A qui est un
voisinage de F dans A; ils vérifient ω ∩ ω 0 = ∅. Donc A est régulier.
2) Soit f : X → Y un homéomorphisme d’un espace régulier X sur un espace topologique
Y . L’espace Y est séparé car X l’est. De plus si y ∈ Y et F un fermé de Y ne contenant pas y,
alors f −1 (F ) est un fermé de X qui ne contient pas f −1 (y) ; comme X est régulier, il existe un
voisinage V ∈ v(f −1 (y)) , et V 0 ∈ v(f −1 (F )) tels que V ∩ V 0 = ∅; cependant, f (V ) ∈ v(y) et
f (V 0 ) ∈ v(F ) sont des voisinages disjoints de y et F respectivement.
3) Si por tout i, Xi est régulier alors X = ΠXi est séparé, et pour tout x ∈ X, et pour
tout V ∈ v(x), il existe ω = Πθi avec θi = Xi sauf pour i ∈ J, une partie finie de I, tel que
x ∈ ω ⊂ V . Pour tout j ∈ J, θj ∈ v(xj ) dans Xj qui est régulier donc il existe un voisinage
Wj ∈ v(xj ) tel que Wj ⊂ θj et alors ΠWj × ΠXi est un voisinage élémentaire fermé contenu
dans V .
Réciproquement, ∀ i, Xi est homéomorphe à un sous-espace de X qui est régulier, il donc
est régulier.
0.0.3
§ IV.3.Espaces normaus
Soit X un espace topologique, les assertions suivantes sont équivalentes:
1) Deux fermés disjoints de X sont toplogiquement disjoints.
4
2) Si F1 et F2 sont deux fermés disjoints de X alors il existe un ouvert U de X contenant F1
tel que U ∩ F2 = ∅
3) tout fermé admet un système fondamental de voisinages fermés.
En effet, (1) ⇒ (2) : soient F1 et F2 deux fermés disjoints de X , il existe deux ouverts U
et V disjoints tels que F1 ⊂ U et F2 ⊂ V mais U ⊂ {V qui est fermé, donc U ⊂ {V de plus, U ∩
F2 = ∅.
(2) ⇒ (3) : Soit F un fermé de X et U un ouvert contenant F . Les deux fermés F et {U
sont disjoints, donc il existe un ouvert ϑ contenant F tel que ϑ ∩ {U = ∅ d’où ϑ ⊂ U .
(3) ⇒ (1) : Soient F1 et F2 deux fermés disjoints de X , {F2 est un voisinage ouvert de
F1 donc il existe U ∈ v(F1 ) tel que U ⊂ {F2 , donc {U est un voisinage de F2 qui vérifie U ∩
{U ⊂ U ∩ {U = ∅ Définition 1 : Un espace topologique est dit normal ou de type T4 s’il est séparé, et s’il vérifie
l’une des conditions équivalentes ci-dessus.
Exemples :
1) Un espace topologique discret est normal
2) R est normal
3) Les espaces metriques sont normaux, en effet si A et B sont deux fermé disjoints de
l’espace métrique (M, ρ), pour tout point x ∈ A il zxiste Ox ∈ v(x) tel que Ox ∩ B = ∅, donc
ρ(x, B) = ρx > 0, de même, pour tout point y ∈ B , ρ(y, A) = ρy > 0. On considère alors les
deux ouverts U = ∪ B(x, ρ2x ) et V = ∪ B(y, ρ2y ) , contiennent A et B respectivement, et sont
x∈X
y∈Y
disjoints car si a ∈ U ∩ V , il va exister alors x0 ∈ X et y0 dans Y tels que, ρ(x0 , a) <
ρ(y0 , a) < ρ2y on supposera par exemple que ρx0 ≤ ρy0 nous avons
ρ(x0 , y0 ) ≤ ρ(x0 , a) + ρ(a, y0 ) <
ρx
2
et
ρx0 ρy0
+
≤ ρy 0
2
2
ce qui signifiera que x0 ∈ B(y0 , ρy0 ), ce qui est impossible.
Remarque : - Tout espace normal est régulier, la réciproque est fausse
- La normalité est une propriété topologique
- Le produit même fini d’espaces normaux n’est pas toujours normal.
- Un sous-espace d’un espace normal n’est pas toujours normal, sauf par exemple s’il est fermé
Soient X et X 0 deus espaces toplogiques, et A une partie de X. Une application f : A → X 0
est prolongeable par continuité dans X, s’il existe une application continue fe : X → X 0 telle
que la restriction fe |A de fe à A vaut f .
Notons que fe peut ne pas exister comme c’est le cas par exemple pour f :]0, +∞[→ R qui à x
associe x1 . Et quand elle existe elle n’est pas nécessairement unique.
Lemme d’Uryshon : Si A et B sont deux fermés disjoints d’un espace topologique normal
(X, τX ), alors il existe une application continue f : X → [0, 1] telle que : f |A = 0 et f |B = 1
Démonstration : Comme A et B́ sont deux fermés dans un espace normal, alors il existe donc
un ouvert U contenant A tel que U ∩ B = ∅.
5
Posons D = {m2−n / (m, n) ∈ N2 } l’ensemble des nombres rationels diadiques positifs,
et considérons l’application F : D → τX définie comme suit:
4 si t ∈ D , et t > 1 on pose : F (t) = X
4 si t = 1 on pose : F (1) = {B
X
4 si t = 0 on pose : F (0) = U
, et on définit F (t) = F ( 2m+1
) := Vn par
4 si t ∈]0, 1[∩D on écrit t sous la forme t = 2m+1
2n
2n
récurrence sur n de la façon suivante :
) = F (n) ⊂ F (n + 1) = F ( 2n+2
) donc les deux fermés F ( 2n
)
• Pour n = 1 : on a bien sur F ( 2n
2
2
2
2n
F ( 2n+2
)
2
et {
sont disjoints, et comme X est normal il va exister un ouvert V1 ⊃ F ( 2 ) et tel que
F ( 2n+2
)
2
V1 ⊂ {
on pose alors F ( 2m+1
) = V1
2
2m+1
n
• Supposons avoir construit F ( 2p−1 ) := Vp−1 on a alors F ( 2p−1
) ⊂ F ( 2n+1
p−1 ) .Les deux fermés
n+1
F
(
)
n
n
F ( 2p−1
)et { 2p−1 sont disjoints, il va donc exister un ouvert Vp ⊃ F ( 2p−1
) et tel que V1 ⊂
n+1
F ( p−1 )
2m+1
{ 2
.On pose alors F ( 2p ) = Vp .
Nous avons ainsi construit une application F : D → τX telle que si t > t0 , F (t0 ) ⊂ F (t).
Considérons maitenant l’application f : X → R qui à x associe f (x) = inf{t ∈ D / x ∈ D}.
Nous avons
- f (X) ⊂ [0, 1] car s’il existe x ∈ X tel que f (x) > 1 alors il existerait un t ∈ D∩]1, f (x)[ et
alors x ∈
/ F (t) = X; ce qui est absurde.
- f |A = 0 car A ⊂ F (0) = U
- f |B = 1 car ∀ t ∈ D ∩ [0, 1[ , f (t) ⊂ F (1) = {B
X et F (t) = X pour tout t > 1.
f est continue, grâce au lemme suivant :
Lemme : Soit X un espace topologique. Supposons que pour tout élément t d’un sous-espace
dense D de R+ , Ft est un ouvert de X qui vérifie :
(a) si t < s alors Ft ⊂ Fs
(b) ∪{Ft : t ∈ D} = X
alors la fonction x 7−→ inf{t : x ∈ Ft } est continue
Corollaire 2 :Soit f une fonction contnue définie sur une partie fermée F d’un espace
topologique normal X, et telle que | f (x) |≤ c avec c > 0. Alors il existe une application
continue g : X → R telle que :
| g(x) |≤ 31 c si x ∈ X
| f (x) − g(x) |≤ 23 c si x ∈ F
Démonstration : les sous ensembles A = f −1 (] − ∞, − 31 c]) et B = f −1 ([ 13 c, +∞[) sont deux
fermés disjoints de X qui est normal, donc d’aprés le lemme d’Uryshon, il existe une application
continue g : X → [− 13 c, 13 c] telle que : g(x) = − 31 c si x ∈ A , et g(x) = 31 c si x ∈ B
. Nous avons ainsi | g(x) |≤ 13 c pour tout x ∈ X , et | f (x) − g(x) |≤ 23 c , pour tout
x ∈ F = (A ∩ F ) ∪ (B ∩ F ) ∪ (f −1 (] − 31 c , 13 c[) ∩ F ).
Théorème 3 : Soit X un espace topologique séparé, X est normal si et seulement si
Pour tout fermé F de et pour toute application continue f : F → R , f est prolongeable en une
fonction continue ef sur X. Si de plus | f (x) |≤ c pour tout x ∈ F , alors | fe(x) |≤ c pour
6
tout x ∈ X.
Démonstration : Soit F1 et F2 deux fermés disjoints de X. considérons la fonction f qui vaut
0 sur F1 et 1 sur F2 . Cette fonction est continue sur F1 ∪ F2 car ses restrictions à F1 et F2 sont
des constantes. D’où une fonction continue Φ : X → R, continue telle que Φ |F1 ∪F2 = f ; nous
avons alors Φ(F1 ) = {0} et Φ(F2 ) = {1} qui sont topologiquement disjoints dans R. Donc F1
et F2 sont topologiquement disjoints.
Réciproque : Admise.
7