Chap - Mathematikos

Mathématiques 11ème Sciences – Production de Mathematikos – Votre Ticket pour l’excellence en Maths
Polycopié de cours –Chapitre 2 : Fonctions polynômes – 11ème Sciences – Lycée TATA Sikasso Page 8
CHAPITRE 2
FONCTIONS POLYNÔMES
2.1. Généralités sur les fonctions polynômes
a) Définition d’un monôme
On appelle monôme de degré  tout terme 
Le coefficient du monôme de plus haut degré  est appelé
le coefficient dominant de .
Exemple pratique 1
 est un monôme
b) Définition d’un binôme
On appelle binôme (ou fonction affine), toute fonction de la
forme 
Exemple pratique 2
La fonction définie par est un binôme ou
fonction polynôme de degré 1.
c) Définition d’un trinôme
Étant donnés trois nombres réels  avec  
On nomme fonction polynôme du second degré ou trinôme
du second degré ou fonctions quadratiques, toute fonction
définie sur  par .
Exemple pratique 3
La fonction définie par est un trinôme.
d) Définition d’une fonction polynôme (plusieurs monômes)
On nomme fonction polynôme ou fonction polynomiale (à
coefficient réel) de degré  (, toute relation  définie
sur  dont l’écriture peut se ramener sous la forme
 des réels avec 
Exemple pratique 4
La fonction définie par est une
fonction polynôme de degré 3 ou fonctions cubiques.
e) Définition du degré d’une fonction polynôme
Soit  une fonction polynôme non nulle, on appelle degré de
et on note  ou  , le plus grand entier naturel  tel
que .
Alors le degré de  est noté  
f) Opération sur les degrés
Soient  et  deux fonctions polynômes non nulles. Alors :
 et
Remarque
L’inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré
pouvant s'annuler.
g) Égalité de deux fonctions polynômes
Soient  et deux fonctions polynômes.
 signifie que :  et les coefficients des
termes de même degré de  et  sont égaux
Remarque
1) Les fonctions constantes  sont des
fonctions polynômes de degré 0.
2) La fonction est une fonction polynôme nulle.
Elle n’a pas de degré. On note par convention 
3) Toutes les fonctions puissances d’exposants entiers
 sont des fonctions polynômes de degré 
avec la convention de base 
Attention !!!
-La fonction 
 n’est pas une fonction
polynôme.
-La fonction polynôme 
 est polynôme.
Puisqu’après une simplification on obtient 
-La fonction polynôme 
 n’est pas une fonction
polynôme
NB : Il serait d’usage de confondre fonction polynôme et
polynôme.
2.2. Rappel sur la forme canonique d’un trinôme
Recherche de la formule
Soit  une fonction polynôme du second
degré avec  .
Pour tout réel , on peut écrire
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Le terme 
début du développement de
 alors 
Alors on obtient successivement
 soit
Cette écriture se nomme forme canonique de 
Remarque
En posant   
 et 
Alors  devient 
Exemple pratique 5
On considère la fonction polynôme  .
Mettre  sous la forme canonique.
2.3. Division euclidienne de deux polynômes
a) Activité 1 en groupe de travail
1) Effectuer les divisions suivantes :
a) 15 par 5
b) 11 par 2
2) Réécrire les dividendes en fonction des diviseurs, des
quotients et des restes (s’ils existent).
Conclusion
On dit que l’on a effectué une division euclidienne
b) Définition
Étant donnés  et  deux polynômes à coefficients réels avec
 . Il existe un unique couple  de polynômes à
coefficient réels tels que  
Remarque
Si    on dit que le polynôme  divise 
Exemple pratique 6
1) Trouver le quotient et le reste de la division euclidienne du
polynôme  par
2) Effectuer la division euclidienne du polynôme
 par 
2.4. Zéro ou racine d’une fonction polynôme
a) Activité 2 en groupe de travail
On donne la fonction  et le nombre réel
.
Calculer 
Conclusion
On dit que le réel  est un zéro de 
b) Définition
On nomme zéro ou racine réelle de la fonction polynôme 
(à coefficient réels) le réel λ tel que .
Exemple pratique 7
Vérifier que le nombre réel  
 est un zéro du
polynôme 
Remarque
-Les fonctions polynômes du 1er degré
 (où  et  sont des réels avec  ) admettent
toutes un seul zéro 
 .
-Certains polynômes n’ont aucun zéros réels par exemple
.
-Une fonction polynôme sans zéros réels est nécessairement
de signe constant.
2.5. Factorisation d’un polynôme
a) Activité 3 en groupe de travail
On considère la fonction polynôme de degré 3 telle que
.
Prouver que 
Conclusion
On dit que l’on a factorisé .
b) Théorème 1
Étant donné un polynôme  à coefficient réels de
degré . Si  alors on peut factoriser
.
C'est-à-dire  où  est une fonction
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polynôme de degré .
Remarque
Le polynôme  peut aussi à son tour être factorisé.
Exemple pratique 8
On considère le polynôme défini par 
1) Calculer 
2) Trouver une factorisation de 
c) Théorème 2
1) Un polynôme P de degré   à coefficients réels
possède au plus  racines réelles.
2) Une fonction polynôme P de degré  à coefficient
réels admettant plus de  (ou une infinité) de racines réelles
est la fonction polynôme nulle.
d) Factorisation de polynôme par la méthode des
coefficients indéterminés
Principe de la méthode
Soit un polynôme P à coefficient réels de degré  a
une racine réelle  alors on peut factoriser  par 
 où  est une fonction polynôme de
degré . La détermination de  revient à déterminer
certains réels par indentification dont le nom de la méthode.
Exemple pratique 9
Soit le polynôme 
a) Vérifier que 
b) Factoriser  par la méthode des coefficients indéterminés.
e) Factorisation par la Méthode de la division euclidienne
Principe de la méthode
Soit un polynôme P à coefficient réels de degré  a
une racine réelle  alors  est divisible par .
Le quotient est un polynôme Q et le reste est nul. Ainsi
 où  est une fonction polynôme de n-1
Exemple pratique 10
Soit le polynôme .
a) Effectuer la division euclidienne du polynôme  par le
polynôme 
b) En déduire une factorisation de .
f) Méthode de l’algorithme de Hörner
Principe de l’algorithme
Soit le polynôme de degré 3 défini par
.
Si le réel  est un zéro de  alors il existe un polynôme  tel
que 
L’algorithme d’Hörner donne les coefficients de 
 serait de degré  ie  , alors on a le
tableau suivant :
Coef de 
Coef de 
Exemple pratique 11
On considère le polynôme  défini par
a) Calculer 
b) Trouver une factorisation de f par la méthode de
l’algorithme d’hörner.
2.6. Factorisation d’une fonction polynôme du second
degré
Factoriser un trinôme c’est le mettre sous forme d’un
produit de binômes de degré 1. La factorisation du
polynôme  avec   consiste à le
mettre sous cette dite forme en se servent de sa forme
canonique.
On distingue trois suivant 
1er cas : Si 
Dans ce cas  n’est pas factorisable
2ème cas : Si 
Alors pour tout réel , on a :  
Puisque , alors  
Soit sous forme factorisée  
3ème cas Si 
 peut s’écrire  
En se rappelant que  on a
 soit
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Avec 
 et 
Exemple pratique 12
1) Factoriser les fonctions polynômes suivantes :
a)  b) 
c) 
Une formule utile
Quels que soient les réels  et ,
2.7. Signe de l’image d’un réel par une fonction polynôme
Activité 4 en groupe de travail
On considère la fonction définie par 
Trouver les signes de l’image des réels suivants par 
a)  b)  c)  d) 
 e)  f) 
1) Fonctions polynôme de degré 1
Soit la fonction définie par 
Cette fonction s’annule pour  
Pour tous nombre réel  et 
1er cas : Si 
Pour tout 
 , 
Pour tout 
 , 
2ème cas : Si 
Pour tout 
 , 
Pour tout   
 , 
2) Fonction polynôme du second degré
Soit la fonction polynôme du second degré
 avec 
Pour tout nombre réel , le signe de  est tel que :
1er cas : Si 
-Si  alors pour tout réel  
-Si  alors pour tout réel , 
2ème cas : Si 
-Si  alors pour tout réel  
-Si  alors pour tout réel , 
3ème cas : Si 
Si  admet deux zéros distincts  et  tels que 
Si 
pour tout réel , 
pour tout réel  , 
Si 
pour tout réel , 
pour tout réel  , 
3) Fonction polynôme de degré supérieur à 2
Si  est un polynôme de degré 3 admettent 3 racines réelles
,  et  telles que . On a le tableau :
Si le coefficient dominant est positif
Si le coefficient dominant est négatif
Pour tout réel , par rapport à la position de  par rapport à
,  et , on conclut le signe .
Exemple pratique 13
1) Soit le polynôme défini par 
Trouver le signe de  sans calculer sa valeur.
2) On définit le polynôme de degré 3 par
.
On suppose que g admet les  et .
Déterminer le signe de .
2.8. Histoire de mathématiciens
Euclide
Euclide, (IIIe siècle av. J.-C.), mathématicien grec, auteur du
plus célèbre ouvrage de l’histoire des mathématiques, les
Éléments. Euclide se distingue également en théorie des
nombres, démontrant notamment que l’ensemble des
nombres premiers est infini. Il est aussi le premier à pratiquer
la division avec le reste, appelée aujourd’hui division
euclidienne.
Horner
Horner (1786 – 1837) mathématicien anglais. Il trouve un
moyen rapide de factoriser les polynômes sans à faire avec la
méthode des coefficients indéterminés.
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