Chap - Mathematikos

Mathématiques 11ème Sciences – Production de Mathematikos – Votre Ticket pour l’excellence en Maths
Alors le degré de
CHAPITRE 2
est noté
f) Opération sur les degrés
FONCTIONS POLYNÔMES
Soient
et
deux fonctions polynômes non nulles. Alors :
2.1. Généralités sur les fonctions polynômes
et
a) Définition d’un monôme
On appelle monôme de degré tout terme
Le coefficient du monôme de plus haut degré
le coefficient dominant de .
Remarque
est appelé
L’inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré
pouvant s'annuler.
Exemple pratique 1
g) Égalité de deux fonctions polynômes
est un monôme
Soient
b) Définition d’un binôme
est un binôme ou
c) Définition d’un trinôme
Étant donnés trois nombres réels
avec
On nomme fonction polynôme du second degré ou trinôme
du second degré ou fonctions quadratiques, toute fonction
définie sur ℝ par
.
Exemple pratique 3
La fonction définie par
est un trinôme.
d) Définition d’une fonction polynôme (plusieurs monômes)
On nomme fonction polynôme ou fonction polynomiale (à
coefficient réel) de degré (
, toute relation définie
sur ℝ dont l’écriture peut se ramener sous la forme
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La fonction définie par
fonction polynôme de degré 1.
deux fonctions polynômes.
signifie que :
On appelle binôme (ou fonction affine), toute fonction de la
forme
Exemple pratique 2
et
et les coefficients des
termes de même degré de
Remarque
et
sont égaux
1) Les fonctions constantes
fonctions polynômes de degré 0.
sont des
2) La fonction
est une fonction polynôme nulle.
Elle n’a pas de degré. On note par convention
3) Toutes les fonctions puissances d’exposants entiers
sont des fonctions polynômes de degré
avec la convention de base
Attention !!!
-La fonction
n’est pas une fonction
polynôme.
-La fonction polynôme
est polynôme.
Puisqu’après une simplification on obtient
-La fonction polynôme
n’est pas une fonction
polynôme
des réels avec
Exemple pratique 4
La fonction définie par
est une
fonction polynôme de degré 3 ou fonctions cubiques.
e) Définition du degré d’une fonction polynôme
Soit une fonction polynôme non nulle, on appelle degré de
et on note
ou , le plus grand entier naturel tel
que
.
NB : Il serait d’usage de confondre fonction polynôme et
polynôme.
2.2. Rappel sur la forme canonique d’un trinôme
Recherche de la formule
Soit
degré avec
une fonction polynôme du second
.
Pour tout réel , on peut écrire
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2) Effectuer la division euclidienne du polynôme
Le terme
par
début du développement de
2.4. Zéro ou racine d’une fonction polynôme
alors
a) Activité 2 en groupe de travail
Alors on obtient successivement
On donne la fonction
.
soit
et le nombre réel
Calculer
Conclusion
Cette écriture se nomme forme canonique de
On dit que le réel
Remarque
est un zéro de
b) Définition
En posant
On nomme zéro ou racine réelle de la fonction polynôme
(à coefficient réels) le réel λ tel que
.
devient
Exemple pratique 5
On considère la fonction polynôme
Mettre
.
sous la forme canonique.
2.3. Division euclidienne de deux polynômes
a) Activité 1 en groupe de travail
1) Effectuer les divisions suivantes :
a) 15 par 5
b) 11 par 2
2) Réécrire les dividendes en fonction des diviseurs, des
quotients et des restes (s’ils existent).
Conclusion
On dit que l’on a effectué une division euclidienne
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Alors
et
Exemple pratique 7
Vérifier que le nombre réel
polynôme
Remarque
er
-Les fonctions polynômes du 1 degré
(où et sont des réels avec
) admettent
toutes un seul zéro
.
-Certains polynômes n’ont aucun zéros réels par exemple
.
-Une fonction polynôme sans zéros réels est nécessairement
de signe constant.
2.5. Factorisation d’un polynôme
a) Activité 3 en groupe de travail
On considère la fonction polynôme de degré 3 telle que
.
b) Définition
Étant donnés et deux polynômes à coefficients réels avec
. Il existe un unique couple
de polynômes à
coefficient réels tels que
on dit que le polynôme
divise
Conclusion
b) Théorème 1
Étant donné un polynôme
Exemple pratique 6
1) Trouver le quotient et le reste de la division euclidienne du
polynôme
Prouver que
On dit que l’on a factorisé .
Remarque
Si
est un zéro du
degré
. Si
à coefficient réels de
alors on peut factoriser
.
par
C'est-à-dire
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où
est une fonction
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polynôme de degré
.
Principe de l’algorithme
Remarque
Le polynôme
Soit le polynôme de degré 3 défini par
peut aussi à son tour être factorisé.
.
Exemple pratique 8
Si le réel
On considère le polynôme défini par
que
1) Calculer
L’algorithme d’Hörner donne les coefficients de
2) Trouver une factorisation de
serait de degré
tableau suivant :
c) Théorème 2
est un zéro de
alors il existe un polynôme
ie
tel
, alors on a le
Coef de
1) Un polynôme P de degré
à coefficients réels
possède au plus racines réelles.
2) Une fonction polynôme P de degré
à coefficient
réels admettant plus de (ou une infinité) de racines réelles
est la fonction polynôme nulle.
Coef de
Exemple pratique 11
On considère le polynôme
Principe de la méthode
Soit un polynôme P à coefficient réels de degré
a
une racine réelle alors on peut factoriser
par
où est une fonction polynôme de
degré
. La détermination de revient à déterminer
certains réels par indentification dont le nom de la méthode.
Exemple pratique 9
Soit le polynôme
a) Vérifier que
b) Factoriser
par la méthode des coefficients indéterminés.
e) Factorisation par la Méthode de la division euclidienne
Principe de la méthode
a
.
Le quotient est un polynôme Q et le reste est nul. Ainsi
est une fonction polynôme de n-1
b) Trouver une factorisation de f par la méthode de
l’algorithme d’hörner.
2.6. Factorisation d’une fonction polynôme du second
degré
Factoriser un trinôme c’est le mettre sous forme d’un
produit de binômes de degré 1. La factorisation du
polynôme
avec
consiste à le
mettre sous cette dite forme en se servent de sa forme
canonique.
On distingue trois suivant
er
1 cas : Si
ème
2
n’est pas factorisable
cas : Si
Alors pour tout réel , on a :
Puisque
, alors
Soit sous forme factorisée
Exemple pratique 10
Soit le polynôme
défini par
a) Calculer
Dans ce cas
Soit un polynôme P à coefficient réels de degré
une racine réelle alors
est divisible par
où
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d) Factorisation de polynôme par la méthode des
coefficients indéterminés
ème
3
.
a) Effectuer la division euclidienne du polynôme
cas Si
peut s’écrire
par le
En se rappelant que
polynôme
on a
soit
b) En déduire une factorisation de .
f) Méthode de l’algorithme de Hörner
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Avec
Si
et
admet deux zéros distincts
et
tels que
Si
Exemple pratique 12
pour tout réel
1) Factoriser les fonctions polynômes suivantes :
a)
pour tout réel
b)
,
,
Si
c)
Une formule utile
Quels que soient les réels
pour tout réel
et ,
pour tout réel
,
,
3) Fonction polynôme de degré supérieur à 2
2.7. Signe de l’image d’un réel par une fonction polynôme
Si
Activité 4 en groupe de travail
est un polynôme de degré 3 admettent 3 racines réelles
,
On considère la fonction définie par
et
telles que
. On a le tableau :
Si le coefficient dominant est positif
Trouver les signes de l’image des réels suivants par
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Si le coefficient dominant est négatif
1) Fonctions polynôme de degré 1
Soit la fonction définie par
Cette fonction s’annule pour
Pour tous nombre réel et
er
1 cas : Si
,
Pour tout
,
ème
2
cas : Si
Pour tout
Pour tout
,
,
2) Fonction polynôme du second degré
Soit la fonction polynôme du second degré
avec
Pour tout nombre réel , le signe de
er
1 cas : Si
-Si
alors pour tout réel
-Si
alors pour tout réel ,
ème
2
cas : Si
-Si
alors pour tout réel
-Si
alors pour tout réel ,
ème
3
est tel que :
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Pour tout
Pour tout réel , par rapport à la position de
, et , on conclut le signe
.
par rapport à
Exemple pratique 13
1) Soit le polynôme défini par
Trouver le signe de
sans calculer sa valeur.
2) On définit le polynôme de degré 3 par
.
On suppose que g admet les
Déterminer le signe de
et .
.
2.8. Histoire de mathématiciens
Euclide
e
Euclide, (III siècle av. J.-C.), mathématicien grec, auteur du
plus célèbre ouvrage de l’histoire des mathématiques, les
Éléments. Euclide se distingue également en théorie des
nombres, démontrant notamment que l’ensemble des
nombres premiers est infini. Il est aussi le premier à pratiquer
la division avec le reste, appelée aujourd’hui division
euclidienne.
Horner
Horner (1786 – 1837) mathématicien anglais. Il trouve un
moyen rapide de factoriser les polynômes sans à faire avec la
méthode des coefficients indéterminés.
cas : Si
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