Equations et inéquations

Collège Calvin
2015 – 2016
Equations et inéquations
A LG ÈBRE
1
2MA
Introduction
Dans ce chapitre, nous nous pencherons sur des résultats et des techniques portant sur la résolution de divers
types d’équations et d’inéquations algébriques nouvelles, dont certaines sont en lien avec les notions de Géométrie Analytique vues au chapitre précédent et d’autres nous fournirons des outils mathématiques utiles à l’étude
des fonctions abordées dans le chapitre suivant.
2
Equations irrationnelles
Les équations dites irrationnelles sont
√ des équations comportant des termes où intervient un radical (ou racine),
c’est-à-dire une opération du type n A, avec n ∈ N∗ , pour A une expression algébrique à valeur dans R. Un
exemple d’équation de ce type serait l’équation suivante
√
2x − 1 = 2 + x + 6 .
(1)
√ √
√
Comme des nombres réels tels que 2, 3 −5, 4 7 sont irrationnels, c’est-à-dire ne peuvent s’écrire sous la
forme ab , avec a ∈ Z et b ∈ Z ∗ , on désigne par analogie ces équations par l’épithète d’irrationnelles.
2.1
Technique de résolution
La stratégie pour résoudre une équation telle que (1) consiste à procéder comme suit :
i. isoler la racine ;
ii. élever chaque membre à la puissance inverse de la racine ;
iii. résoudre l’équation obtenue ;
iv. dans le cas de racines paires, vérifier que les solutions obtenues au point iii. satisfont l’équation de
départ.
Remarque. Le point iv. est nécessaire, car en élevant une équation à une puissance paire, celle-ci peut
admettre des solutions supplémentaires, qui ne sont pas solutions de l’équation de départ.
Exemples illustrant le point iv.
Considérons l’équation du premier degré :
2x = x + 1 .
(2)
Si l’on la résout, on trouve une solution unique :
2x = x + 1
⇐⇒
x=1
⇐⇒
S = {1} .
• Si maintenant on élève au carré chaque membre de l’équation (2) et qu’on résout cette nouvelle équation,
on obtient deux solutions distinctes.
(2x)2 = (x + 1)2 ⇐⇒ 4x2 = x2 + 2x + 1
1
⇐⇒
3x2 − 2x − 1 = 0
(3)
⇐⇒ x± =
2±
√
6
16
⇐⇒
�
�
1
S= − ;1 .
3
On observe que seul x = 1 est solution de l’équation de départ. La valeur x =
l’équation quadratique (3), mais non de l’équation du premier degré initiale (2).
1
3
est solution de
• En revanche si l’on élève l’équation (2) au cube et qu’on résout cette nouvelle équation, on obtient le
même nombre de solution qu’initialement.
(2x)3 = (x + 1)3 ⇐⇒ 16x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
�
�
⇐⇒ (x − 1) 7x2 + 4x + 1 = 0
� �� � �
⇒ x=1
Remarque
��
∆=−12<0
�
⇐⇒
⇐⇒
15x2 − 3x2 − 3x − 1 = 0
S = {1} .
La raison pour laquelle élever une équation à une puissance impaire ne change pas le nombre de solution de
celle-ci provient du fait que, comme nous le verrons plus tard, les fonctions du type x �→ x2n+1 , n ∈ N, sont
des bijections de R dans R, c’est-à-dire qu’elles font correspondre à tout élément de l’ensemble d’arrivée y un
et un seul élément de l’ensemble de départ x. Elever une équation à une puissance impaire conserve ainsi le
nombre (et la valeur) des solutions, par rapport à l’équation de départ.
Des fonctions du type x �→ x2n , n ∈ N, ne sont pas des bijections, c’est-à-dire en particulier qu’elles
peuvent faire correspondre à un y plusieurs x différents. Ceci permet d’expliquer pourquoi lorsqu’on élève une
équation à une puissance paire, l’équation obtenue peut admettre plus de solutions que l’équation initiale.
2.2
Modèles de résolution d’équations irrationnelles
2
3
Exercice 1.
Résoudre dans R les équations irrationnelles suivantes.
√
√
1) x − x − 2 = 0 ,
4) 3x + 1 = 1 − x ,
1
2
2) √ = − 1 ,
x
x
√
3) 2 + 3 1 − 5t = 0 ,
5) 3 −
6)
√
5
√
1 − 2x = x ,
2x2 + 1 − 2 = 0 ,
Exercice 2.
a)
b)
4
7)
√
x+4+
8)
√
2x + 3 −
9)
� √
5 x=
√
x + 7 = 3,
√
√
x + 1 = 1,
2x − 3 .
3
Inéquations du premier degré à une inconnue
Commençons par un exemple.
Problème.
On cherche à résoudre l’inéquation suivante
1
2 (x − 4) ≤ x + 3 .
2
(4)
Cette inéquation contient une inconnue au premier degré (x). Elle comporte un membre de gauche et un
membre de droite, séparés par un signe d’inégalité : ≤.
Remarque 1. Résoudre l’inéquation (4) consiste à trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifient
l’inégalité. Ces valeurs sont appelées les solutions de l’inéquation. On désignera par S l’ensemble de ces
solutions.
Remarque 2. Lorsqu’on résout une inéquation ou un système d’inéquations, l’ensemble des solutions S est
en général un intervalle.
3.1
Propriétés des inégalités
Afin de résoudre une inéquation, on a recours aux P ROPRI ÉT ÉS des inégalités suivantes, qui permettent de
transformer l’inégalité en une inégalité équivalente de la forme : x > a (x ≥ a) ou x < b (x ≤ b), avec a et b
des nombres réels.
P ROPRI ÉT ÉS DES IN ÉGALIT ÉS
(P1) Propriété 1 : Additivité.
On peut ajouter (ou retrancher) un même nombre à chaque membre d’une inégalité, sans en changer le
sens. Soient deux nombres a, b ∈ R.
∀c ∈ R :
si a ≤ b ,
alors a + c ≤ b + c .
Exemple
Considérons l’inégalité : 7 < 8 . Si l’on ajoute (−2) à chaque membre, on a bien : 7 − 2 < 8 − 2 (car
en effet : 5 < 6).
(P2) Propriété 2 : Multiplication par un nombre positif.
On peut multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par un même nombre positif, sans
changer le sens de l’inégalité. Soient trois nombres a, b, c ∈ R.
∀c>0 :
si
a ≤ b,
alors a · c ≤ b · c .
Exemple
Considérons l’inégalité : 7 < 8 . On peut multiplier chaque membre par 3, sans changer le sens de
l’inégalité : 3 · 7 < 3 · 8 (car en effet : 21 < 24).
(P3) Propriété 3 : Multiplication par un nombre négatif.
On peut multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par un même nombre négatif, à condition de changer le sens de l’inégalité. Soient trois nombres a, b, c ∈ R.
∀c<0 :
si a ≤ b
alors a · c ≥ b · c .
Exemple
Considérons l’inégalité : 7 < 8 . On peut multiplier chaque membre par (−1), à condition de changer
le sens de l’inégalité : (−1) · 7 > (−1) · 8
(car en effet : −7 > −8).
5
3.2
Résolution d’une inéquation du premier degré à une inconnue
M ÉTHODE DE R ÉSOLUTION
Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue revient à appliquer les propriétés ci-dessus pour
obtenir une équation équivalente, où l’inconnue est isolée dans un des membres de l’inéquation.
Exemple
On cherche à résoudre l’inéquation suivante.
−x + 4 ≤ 2x − 2 .
Si x vérifie cette inéquation, on peut isoler l’inconnue en appliquant les propriétés des inégalités présentées
ci-dessus.
−x − 2x ≤ −2 − 4
(PL1)
(réduction)
−3x ≤ −6
−3x
−6
≥
−3
−3
x ≥ 2
(PL3)
(simplification des fractions)
Conclusion. L’inéquation est vérifiée par toutes les valeurs de x supérieures ou égales à 2. On peut alors
écrire :
�
�
S = x | x ≥ 2 = [2 ; ∞[.
e
2
4.5. LES SYSTÈMES D’INÉQUATIONS À UNE INCONNUE
Représentation
graphique.
Les solutions
sont indiquées
par
la partie
non
hachurée
la droite
graduée.
e
Représentation
graphique
Les solutions
sont indiquées
par la
partie
nonD’INÉQUATIONS
hachurée
de de
la droite
graduée.
Le Le
2sens
4.5. LES
SYSTÈMES
À UNE
INCONNUE
du
crochet
indique
que
2
est
une
solution.
sens du crochet indique que 2 est une solution :
Représentation graphique Les solutions sont indiquées par la partie
� non hachurée de la droite graduée. Le
|
|
sens du crochet indique que 2 est une solution :
0
1
2 �
|
|
4.4.3 Les demi-droites et les intervalles
0
1
2
On distingue
4 typesetd’intervalles
3.3
Demi-droites
intervalles; dans la représentation graphique, l’intervalle est représenté par la
4.4.3nonLes
demi-droites
et les
partie
hachurée
de la droite.
Le intervalles
sens d’un crochet indique si a ou b appartient à l’intervalle, ou non.
On distingue quatre types d’intervalles ; dans la représentation graphique, l’intervalle est figuré par la partie
distingue
types d’intervalles
dans
laindique
représentation
est
par la
Représentation
Description
: ensemble
nonOn
hachurée
de la4droite.
Le :sens d’un ;crochet
si a ou b graphique,
appartient
à l’intervalle
l’intervalle,
ou représenté
non.
Intervalle
partie non hachurée
droite. Le sens d’un graphique
crochet indique si a des
ou bnombres
appartient
à l’intervalle,
ou non.
x tel
que :
nomde
et la
notation
Intervalle
intervalle
fermé:
nom
et
[a ; b ]notation
intervalle fermé
Intervalle
[aouvert
; b]
]a ; b [
Intervalle ouvert
Intervalle semi-ouvert
]a ; b [
à droite [a ; b [
Intervalle semi-ouvert
Intervalle
semi-ouvert
à droite
[a ; b [
à gauche ]a ; b ]
�
�
�
�
Représentation
a graphique
b �
�
a
a
�
�
b
b �
�
a
a
�
b
b �
a
a �
�
b
b �
�
Intervalle semi-ouvert
]ademi-droites
; b]
On distingue aussià4gauche
types de
: a
b
Représentation
Demi-droite
On distingue aussi
4 types :de demi-droites :
graphique
notation
:
]Demi-droite
a ; +∞[
notation
]a ; +∞[
�
Représentation
6
graphique
a
�
�
Description : ensemble
a�x �b
des nombres x tel que :
a�x �b
a<x <b
a<x <b
a�x <b
a�x <b
a<x �b
a<x �b
Description : ensemble
des nombres x tel que :
Description : ensemble
x>a
des nombres x tel que :
à droite [a ; b [
a
�
Intervalle semi-ouvert
à gauche ]a ; b ]
b
�
a
a<x �b
b
On distingue
aussiaussi
quatre
typesde
dedemi-droites
demi-droites.:
On distingue
4 types
Représentation
graphique
Demi-droite :
notation
�
]a ; +∞[
Description : ensemble
des nombres x tel que :
x>a
a
�
[a ; +∞[
x�a
a
�
] − ∞ ; a[
x<a
a
�
] − ∞ ; a]
x�a
a
4.5 Les systèmes d’inéquations à une inconnue
4 Systèmes d’inéquations à une inconnue
Voici un système de deux inéquations à une inconnue :
On se souvient qu’un système de deux équations
� du premier degré à une inconnue n’admet jamais de solution,
à moins que la deuxième équation ne soit équivalente
Il n’en est pas ainsi pour un système de
x −à4la
� première.
2x + 1
!
deux inéquations à une inconnue. En effet,
comme
la
solution
d’une
inéquation n’est en générale pas unique,
" −2x + 5 � 5x − 2
mais consiste en un intervalle, il est possible que deux inéquations à une inconnue admettent une certain
Résoudre
un tel système,
c’est trouver
toutes
valeursest
de alors
l’inconnue
qui l’intersection
vérifient à la fois
et ". Ces
nombre
de solutions
communes.
La solution
dules
système
donnéex par
des!ensembles
valeurs
sont les
du inéquations.
système.
des solutions
de solutions
chacune des
Marche à suivre:
Exemple
a) Résoudre l’inéquation !.
Considérons le système d’inéquations suivant.
➀
➁
�
56
x − 4 ≤ 2x + 1
−2x + 5 ≥ 5x − 2
.
(5)
D ÉFINITION
Résoudre un tel système consiste à trouver toutes les valeurs de l’inconnue x qui vérifient à la fois ➀ et ➁.
Ces valeurs sont les solutions du système.
M ARCHE À SUIVRE
i. Résoudre l’inéquation ➀.
ii. Résoudre l’inéquation ➁.
iii. Chercher les nombres qui sont solution à la fois de ➀ et de ➁. Ces nombres forment l’ensemble des
solutions du système.
7
2e
4.6. LES INÉQUATIONS RATIONNELLES
b) Résoudre l’inéquation !.
a) Résolution
de l’inéquation
➀.qui sont solution à la fois b)
c) Chercher
les nombres
de Résolution
" et de !. de l’inéquation ➁.
Ces nombres
des solutions du système.
x − 4 forment
≤ 2x +l’ensemble
1
a) Résolution
": 1 + 4
x − 2xde ≤
≥
b) Résolution
de !≥:
−2x − 5x
−x ≤ x −
5 4 � 2x + 1
x ≥x − −5
2x � 1 + 4
5x − 2
−2 − 5
−7x −≥
2x + 5−7
� 5x − 2
x −2≤x 1− 5x � −2 − 5
−7x � −7
Si S2 désigne l’ensemble des
solutions de ➁, on
x �1
peut écrire :
−x � 5
Si S1 désigne l’ensemble des
solutions de ➀, on
x � −5
peut écrire :
�
−2x + 5
�
�
Si S 1 désigne
S1 = l’ensemble
x | x ≥ −5 des solutions de ", on
peut écrire :
�
�
x |x � −d’inéquations
5
1 =système
Ensemble des solutionsSdu
(5)
�
Si S 2 désigne
S2 =l’ensemble
x | x ≤ 1 des solutions de !, on
peut écrire :
�
�
S 1 = x |x � 1
Pour les
trouver
les nombres
x qui sont àà la
S 2 , représentons
graphiquement
ces deux
Afin de trouver
nombres
x qui appartiennent
la fois
fois dans
à S1 Set1 àetSdans
graphiquement
ces deux
2 , représentons
ensembles :
ensembles.
�
S1
|
0
|
0
|
0
−5
S2
|
−�5
S1 ∩ S2
−5
|
+�1
+�1
+1
Si S désigne l’ensemble des solutions du système d’inéquations, on peut écrire :
L’ensemble S des solutions du système d’inéquations (5) est alors donné par l’intersection de S1 et S2 :
S = S 1 ∩ S 2.
S = S1 ∩ S2 .
On voit, en comparant les représentations graphiques de S 1 et de S 2 , que
En comparant les représentations graphiques des demi-droites
S1 et
de S2 , on obtient :
�
�
S
=
x
|
−
5
�
x
�
1
=
[−5; 1].
�
�
S = x | − 5 ≤ x ≤ 1 = [−5 ; 1].
4.6
Les inéquations rationnelles
Exercice
3. Le principe générale à suivre pour résoudre les équations de degré supérieur à 1 est de mettre tout
Rappel
re
un membre
et de en
factoriser
membre pour
avoir unesous
équation-produit
cours deinter1 ):
Résoudre les dans
inéquations
suivantes,
donnantcel’ensemble
des solutions
trois formes : (cf.
algébrique,
valle, représentation
graphique.
Exemple.
1) − 3x + 6 ≤ 0 ,
2)x5x
+20
3 < 8,
x 2 + 12
=−
3) 2x + 3 > 5x − 6 ,
2x 1
5) − <
− ,
3
2
(x + 10)(x + 2)2= 0 3
x−1
2x − 2
7) −2x...−même
3 < −2x
6 ,parfois tenté de8)faire autre
> chose ,
si on+est
2
4
4) 3x + 2 ≤ 2(2x + 4) ,
10)
x 2 + 12x + 20x= 0 1
2
3xFaux
− 1 x13
+ 3)
= x ·7x
(2x − 11(x
1) (division
par x )
−
≥
−
5
2
3
6
x = 2x − 1
Exercice 4.
x =1
6)
x−1
2x − 3
<
+ 5,
22}
⇒S4 = {−10; −
9) 3 − 4(5 − x) ≤ 2x + 5 ,
Correct
.
x 2 =x · (2x − 1)
x 2 − x · (2x − 1) = 0
�
�
x x − (2x − 1) = 0
x (−x + 1) = 0
Les températures lues sur les échelles Fahrenheit et Celsius sont liées par la formule
valeurs de F correspondent aux valeurs de C telles que 30 ≤ C ≤ 40 ?
57
8
= {=
0; 59−(F
1}
:S C
tout dans un membre
factorisation
équation-produit
− 32). Quelles
Exercice 5.
Résoudre les systèmes d’inéquations suivants, en donnant la l’ensemble des solutions sous trois formes :
algébrique, intervalle, représentation graphique.
1)
�
2)
�
3)
�
4)
�
5)
�
6)
�
x+1>0
−2x + 3 < −2
.
2(x + 4) + 3x − 1 < 4(x + 1)
.
−3 − 2(x − 2) > 7 − x
x − 4 ≤ 2x + 1
−2x + 5 ≥ 5x − 2
.
2x + 1 > 3(x − 1)
4(x − 2) + 3 ≥ 8 − (x + 17)
3x + 4 ≥ 2x + 5
2 − 3x ≥ −2x + 1
.
.
5 − 2x > −x + 3
3(x + 2) + 3x − 6 > 3 + 5x
.
Exercice 6.
Résoudre.
1) −
2x + 3
3
1
<
≤ ,
2
5
2
2) x + 3 ≤ 2x − 1 < 3(x − 2) .
9
5
La valeur absolue
On introduit l’opération valeur absolue, notée | • |, afin de pouvoir en particulier définir une distance entre
deux points de la droite réelle R. Comme une distance est toujours positive, l’opération valeur absolue à pour
effet de rendre tout nombre réel positif.
D ÉFINITION 5.1.
D ÉFINITION DE LA VALEUR ABSOLUE
La valeur absolue d’un nombre réel a, notée |a|, est la valeur numérique de ce nombre sans tenir compte de
son signe.
�
a
, si a ≥ 0
|a| =
,
∀a ∈ R.
−a , si a < 0
Exemples
| + 3| = 3 ,
| − 3| = 3 ,
|0| = 0 ,
|3 − 5| = | − 2| = 2 ,
| − 3 − 2| = | − 5| = 5 .
P ROPOSITION 5.1.
P ROPRI ÉT ÉS DE LA VALEUR ABSOLUE D ’ UN NOMBRE R ÉEL
Pour a, b ∈ R, on montre facilement les propriétés suivantes.
i. |a| = 0
⇐⇒
a=0.
ii. |a| ≥ a et |a| ≥ −a .
iii. |a · b| = |a| · |b| .
iv. Si b �= 0 :
5.1
� �
�a�
� � = |a| .
�b�
|b|
Distance dans R
Géométriquement, on peut considérer un nombre réel comme un point de la droite réelle R, l’espace euclidien
à une dimension. La valeur absolue nous permet alors de définir une distance entre deux points de cette droite.
D ÉFINITION 5.2.
D ÉFINITION DE LA DISTANCE EUCLIDIENNE DANS R
La distance euclidienne d entre deux points a et b de la droite réelle est définie par l’application suivante.
d(a, b) = |b − a| =
�
b−a
, si b − a ≥ 0
,
−(b − a) = a − b , si b − a < 0
Exemple
10
∀ a, b ∈ R .
Exercice 7.
• Calculer les distances suivantes et les représenter sur la droite réelle.
d(5, −3) ,
d(4, 7) ,
d(−6, −10) ,
d(−2, 8) ,
d(8, −2) .
• Vous avez trouvé :
d(−2, 8) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d(8, −2) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comment interprétez-vous ce résultat ?
P ROPOSITION 5.2.
P ROPRI ÉT É DE LA DISTANCE DANS R : SYM ÉTRIE
La distance dans R définie comme dans la D ÉFINITION 5.2 est symétrique sous l’échange des points : a ↔ b.
d(a, b) = d(b, a) ,
∀ a, b ∈ R .
Démonstration
Pour démontrer la P ROPOSITION 5.2, on a recours à la Propriété iii. de la valeur absolue.
d(b, a) = |a − b| = |(−1) · (−a + b)|
5.2
Propr. iii.
=
| − 1| · |b − a| = |b − a| = d(a, b) . �
La fonction valeur absolue
Pour résoudre des équations et inéquations impliquant des valeurs absolues, il sera utile de se donner une
représentation graphique de la valeur absolue comme fonction. Tout comme l’opération “élever à la puissance
2” : x → x2 permet de définir la fonction quadratique f (x) = x2 , dont la représentation graphique est une
parabole, on peut construire une fonction à partir de la valeur absolue.
f : R −→
R
.
x �−→ |x|
Tableau de valeurs
x
|x|
−6
−3
0
3
6
Axe de symétrie
En x = . . . . . . car : | − x| = |x| .
=⇒ la fonction f (x) = |x| est dite paire.
Figure 1: Graphique de la fonction f (x) = |x| .
11
Remarque 5.1. La fonction f (x) = |x| se décompose en deux demi-droites : l’une, pour x ≥ 0, de pente
p = +1 et l’autre, pour x < 0, de pente p = −1. Les deux demi-droites ont comme ordonnée à l’origine y = 0.
On peut ainsi réécrire la fonction f alternativement comme une fonction définie par morceaux :
f : R −→
x �−→
5.2.1
R
�
x
, si x ≥ 0
−x , si x < 0
.
Analyse de la représentation graphique d’une fonction valeur absolue
En s’aidant du tableau de valeurs, tracer le graphe de la fonction suivante dans le repère ci-contre.
f (x) = 2|x − 4| + 3
Tableau de valeurs
x
2|x − 4| + 3
0
2
4
6
8
Coordonnées du sommet
S = ...... .
Axe de symétrie
En x = . . . . . . .
Pentes des demi-droites
Pour x ≥ 4 : p = . . . . . . .
Pour x < 4 : p = . . . . . . .
M ÉTHODE POUR REPR ÉSENTER GRAPHIQUEMENT UNE FONCTION VALEUR ABSOLUE
Lorsqu’une fonction valeur absolue est écrite sous forme canonique :
g(x) = k|x − a| + b ,
on peut la représenter graphiquement à partir de la courbe de la fonction élémentaire f (x) = |x| en faisant
subir au graphe de celle-ci trois transformations.
Soit P (x1 ; y1 ) un point quelconque de la courbe Cf de f (x) = |x|. On obtient la courbe Cg en appliquant les
transformations suivantes à tout point P (x1 ; y1 ) de la courbe Cf :
• une translation horizontale : x1 → x1 + a ;
=⇒ coordonnées du sommet : S(a; b) .
• une translation verticale : y1 → y1 + b ;
• une contraction ou dilatation : p = k , pour x ≥ a ;
p = −k , pour x < a .
Exercice 8.
En utilisant la méthode décrite ci-dessus, représenter les fonctions suivantes dans un repère euclidien, en faisant
apparaı̂tre l’axe de symétrie de la fonction.
f1 (x) = |x + 2| ,
f2 (x) = −2|x| ,
1
f5 (x) = |x − 2| + 1 ,
3
f3 (x) = |x − 5| − 3 ,
f4 (x) = 2|2x − 1| ,
f6 (x) = −3|2x + 3| − 1
12
5.3
Equations comprenant des valeurs absolues
Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser aux méthodes de résolution d’équations contenant des valeurs
absolues.
Problème.
On cherche à résoudre dans R les équations suivantes :
|x − 1| = 2 ,
|x − 1| = 0 ,
|x − 1| = −2 .
(6)
Comme la fonction valeur absolue est représentée graphiquement par deux demi-droites de pentes opposées (cf.
Chapitre 5.2), ces équations peuvent admettre jusqu’à deux solutions réelles.
5.3.1
Résolution graphique
Afin de se convaincre que des équations du type (6) peuvent posséder jusqu’à deux solutions réélles, nous allons
commencer par les résoudre graphiquement.
Démarche.
1) Représenter graphiquement dans le repère ci-dessous la fonction f (x) = |x − 1|.
2) Représenter les droites d’équations : d1 : y = 2 , d2 : y = 0 et d3 : y = −2.
3) Déterminer les intersections entre ces droites et la fonction f , puis établir les solutions des équations (6).
a) Equation : |x − 1| = 2. Intersection : d1 ∩ f = . . . . . .
=⇒ S = . . . . . . .
b) Equation : |x − 1| = 0. Intersection : d1 ∩ f = . . . . . .
=⇒ S = . . . . . . .
c) Equation : |x − 1| = −2. Intersection : d1 ∩ f = . . . . . .
=⇒ S = . . . . . . .
Remarque. Une équation avec valeurs absolues du premier degré à une inconnue peut admettre jusqu’à
deux solutions.
13
5.3.2
Résolution algébrique
Nous allons à présent établir une méthode pour résoudre les équations (6) algébriquement.
P ROPOSITION 5.3.
R ÉSOLUTION D ’ UNE ÉQUATION AVEC VALEURS ABSOLUES
Pour résoudre une équation comprenant des valeurs absolues, on utilise le résultat suivant.
Soit x une variable réelle et a ∈ R+ .
Comme : |x| =
�
x
, si x ≥ 0
−x , si x < 0
(∀ x ∈ R) ,
alors : |x| = a
⇐⇒
(x = a ou
− x = a) .
Exemples
a) Equation : |x − 1| = 2.
b) Equation : |x − 1| = 0.
c) Equation : |x − 1| = −2.
Exercice 9.
Résoudre dans R les équations suivantes.
|2x + 3| = 4 ,
|x − 2| − 5 = 3 ,
2|1 − x| + 4 = 6 ,
7 − |3x − 4| − 3 = 4 ,
3 + |1 − 2x| = 0 .
Exercice 10.
Résoudre dans R les équations suivantes en réécrivant la valeur absolue comme dans la P ROPOSITION 5.3, puis
en établissant toutes les équations possibles, sans les valeurs absolues.
|(x + 1)(x − 2)| = 2 ,
|2x − 1| · |x + 2| = 4 ,
14
5.3.3
Equations comprenant deux valeurs absolues
Problème.
On cherche à résoudre l’équation suivante.
|x + 2| + |2x − 1| = 4 .
(7)
On pourrait songer à isoler le terme |x − 1| comme suit :
|x + 2| = 4 − |2x − 1| ,
puis appliquer la P ROPOSITION 5.3 avec a = 4 − |2x − 1|. Ensuite, on pourrait isoler le terme |2x − 1|, puis
appliquer à nouveau la P ROPOSITION 5.3.
Le problème avec cette démarche, c’est qu’on ne sait pas si le terme a = 4 − |2x − 1| est toujours
positif, condition nécessaire pour appliquer la P ROPOSITION 5.3.
Méthode pour résoudre une équation du type (7)
La méthode exposée ci-après permet de résoudre une équation avec deux valeurs absolues en éliminant le
problème mentionné ci-dessus.
• On écrit l’équation (7) en isolant tous les termes dans le même membre :
|x + 2| + |2x − 1| − 4 = 0 .
(8)
• On réécrit chaque valeur absolue comme une expression définie par morceau (voir Remarque 5.1), en
spécifiant les intervalles sur lesquels chaque expression est valable :
|x + 2| =
�
x+2
, x ∈ [−2 ; +∞ [
−(x + 2) , x ∈] − ∞ ; −2 [
,
|2x − 1| =

 2x − 1
, x∈
�
1
2
�
; +∞
�
� (9)
 −(2x − 1) , x ∈ −∞ ; 1
2
�
�
• On prend l’intersection des intervalles ] − ∞ ; −2 [ et [−2 ; +∞ [ avec les intervalles −∞ ;
�
�
1
2
1
2
et
; +∞ . Puis on écrit le membre de gauche de l’équation (8) pour chacune de ces intersections en
utilisant l’écriture par morceaux (9).
Intersections
] − ∞ ; −2 [
|x + 2|
−(x + 2)
|2x − 1|
−(2x − 1)
|x + 2| + |2x − 1| − 4
�
−2 ;
1
2
x+2
�
�
−(2x − 1)
1
2
�
; +∞
x+2
2x − 1
−(x + 2) − (2x − 1) − 4 x + 2 − (2x − 1) − 4 x + 2 + 2x − 1 − 4
• On résout les équations données par la dernière ligne du tableau et on vérifie que la solution appartient à
l’intervalle sur lequel l’équation est valable.
Equation
Solution
➀ −(x + 2) − (2x − 1) − 4 = 0 ⇔ −3x − 5 = 0 ⇔ x = − 53
➁
➂
x + 2 − (2x − 1) − 4 = 0
x + 2 + 2x − 1 − 4 = 0
⇔
⇔
−x − 1 = 0
3x − 3 = 0
⇔ x = −1
⇔
x=1
Vérification
− 53 ∈]
/ − ∞; −2[
�
−1 ∈ −2; 12
1∈
�
�
�
1
2 ; +∞
• Les solutions de l’équation sont données par les valeurs de x qui vérifient à la fois les équations ci-dessus
et appartiennent à l’intervalle considéré :
S = {−1 ; 1} .
15
Figure 2: Illustration graphique de la résolution de l’équation |x + 2| = 4 − |2x − 1| .
Exercice 11.
Résoudre les équations suivantes dans R.
1) 2|x − 2| + 3 = |x + 4| ,
2) |x + 1| + |2x + 3| = 5 ,
4) 2|x − 6| − |5 − x| = 6 ,
3) |x − 5| = |3 − 2x| − 2 ,
5) 2|x − 6| = |1 − 2x| + 1 .
16
5.4
Inéquations comprenant des valeurs absolues
Activité introductive
Soient les inéquations suivantes :
① |x| ≤ 2 ,
② |x| ≥ 2 .
Représenter sur la droite réelle, avec deux couleurs différentes, l’ensemble des solutions de chacune de ces
inéquations.
① Inéquation : |x| ≤ 2
Inéquations sans valeur absolue
Solution
② Inéquations : |x| ≥ 2
Inéquation sans valeur absolue
Solution
De ces deux exemples, on peut induire deux propriétés supplémentaires des valeurs absolues, que nous donnons
sans démonstration.
P ROPOSITION 5.4.
VALEURS ABSOLUES ET IN ÉGALIT ÉS
Soient a et b deux expressions réelles. Alors
v. |a| < b
⇐⇒
vi. |a| > b
⇐⇒
�
�
a < b et a > −b
�
a > b ou a < −b
�
⇐⇒
a ∈ ]−∞ ; b]∩[−b ; +∞[ =
⇐⇒
a ∈ ] − ∞ ; −b] ∪ [b ; +∞[ .
�
[−b ; b] , b ≥ 0
∅
,b<0
.
Remarque. Contrairement à l’hypothèse de la P ROPOSITION 5.3, qui impose b ∈ R+ , dans la P ROPOSI TION 5.4 l’expression b peut être un réel quelconque.
Donnons deux exemples pour illustrer notre propos.
1) On voit tout de suite que, comme par définition |x| ≥ 0, on a que
=⇒
|x| < −1
S = ∅.
Or, si l’on applique la conclusion de la P ROPOSITION 5.4 v., on obtient bien :
|x| < −1
=⇒
�
x < −1
et x > +1
�
17
=⇒
S = ] − ∞ ; −1] ∩ [+1 ; +∞[ = ∅ .
2) Par ailleurs, comme par définition |x| ≥ 0, il apparaı̂t clairement que
=⇒
|x| > −1
S = R.
Or, si l’on applique la conclusion de la P ROPOSITION 5.4 vi., on obtient en effet :
|x| > −1
Exemple 1
=⇒
�
x > −1
ou x < +1
�
=⇒
S = ] − ∞ ; +1] ∪ [−1 ; +∞[ = R .
On cherche à résoudre l’inéquation suivante dans R.
|x + 1| ≤ 4 .
Selon la P ROPOSITION 5.4 vi., cette inéquation avec valeur absolue se décompose en deux inéquations du
premier degré à une inconnue :
➀x+1≤4
a) Résolution de l’inéquation ➀.
et
et
➁ x + 1 ≥ −4 .
b) Résolution de l’inéquation ➁.
x+1 ≤ 4
x + 1 ≥ −4
x ≤ 3
x ≥ −5
alors : S1 = ] − ∞ ; 3 ]
alors : S2 = [−5 ; +∞ [
=⇒ comme x doit satisfaire à la fois les inéquations ➀ et ➁ :
S = S1 ∩ S2 = ] − ∞ ; 3 ] ∩ [−5 ; +∞ [ = [−5 ; 3 ]
Figure 3: Illustration graphique de la résolution de l’inéquation |x + 1| ≤ 4 .
18
Exemple 2
On cherche à résoudre l’inéquation suivante dans R.
|x − 2| ≥
x+1
.
2
Selon la P ROPOSITION 5.4 vi., cette inéquation avec valeur absolue se décompose en deux inéquations du
premier degré à une inconnue :
➀x−2≥
a) Résolution de l’inéquation ➀.
x+1
2
ou
ou
➁x−2≤−
x+1
.
2
b) Résolution de l’inéquation ➁.
x+1
2
2(x − 2) ≥ x + 1
x+1
2
2(x − 2) ≤ −(x + 1)
x−2 ≥
x−2 ≤ −
2x − 4 ≥ x + 1
2x − 4 ≤ −x − 1
x ≥ 5
3x ≥ 3
x ≥ 1
alors : S1 = [5 ; +∞ [
alors : S2 = ] − ∞ ; 1 ]
=⇒ comme x doit satisfaire soit l’inéquation ➀ soit l’inéquation
➁:
S = S1 ∪ S2 = = ] − ∞ ; 1 ] ∪ [5 ; +∞ [
Figure 4: Illustration graphique de la résolution de l’inéquation |x − 2| ≥
19
x+1
.
2
Exercice 12.
Résoudre dans R les inéquations suivantes algébriquement et graphiquement.
|x − 5| > 3 ,
|x + 3| ≤ 3 ,
|2x + 4| ≥ 3
Exercice 13.
Résoudre dans R les inéquations suivantes algébriquement.
−|3 − 2x| > −4 ,
|3x + 1| + 3 ≤ 3 ,
|x − 5| + 7 > 5 ,
−|2x − 1| > 5 .
Exercice 14.
Résoudre dans R les inéquations suivantes algébriquement et graphiquement.
|x + 2| > −
x
+ 1,
2
|2x + 3| < x + 6 .
Exercice 15.
Résoudre dans R les inéquations suivantes algébriquement.
|4x − 3| + x ≥ 6 ,
2|x| − 4 ≤ x .
Exercice 16.
Un physicien conçoit une expérience pour mesurer la vitesse d’électrons dans un fil de cuivre. La vitesse
théorique attendue est de 1,2 · 10−5 [m /s]. Pour des raisons statistiques, le physicien ne garde que les mesures
qui s’écartent de moins de 3 pourcents de la valeur théorique. Dans quel intervalle peuvent se situer les mesures
qu’il va garder ?
Exercice 17.
Déterminer tous les nombres de la droite réelle tels que la somme de leur distance au nombre 4 et de leur
distance au nombre 6 soit inférieure ou égale à 3.
20
6
Polynômes
6.1
Rappel de quelques définitions
D ÉFINITION 6.1.
M ON ÔME
Un monôme est une expression algébrique ne comportant qu’un seul terme, qui s’écrit comme un produit
de variables (notées en général x, y, z, . . .) élevées à des puissances entières naturelles. Ce produit de
variables est multiplié par un nombre réel, que l’on appelle le coefficient du monôme.
Nota bene
− Un coefficient est une constante qui possède une valeur numérique fixe.
− Une variable représente un nombre quelconque d’un ensemble donné.
Exemples
a) Les expressions suivantes sont des variables définies sur des ensembles de nombres différents : x ∈ R ,
y ∈ Z , z un nombre impair quelconque, etc.
b) Le monôme M (x, y, z) = − 13 x2 yz 3 , avec x, y, z ∈ R, s’analyse comme suit :
M (x, y, z) =
1�
· x2 y z 3 .
� �� �
3
� �� � partie littérale
�
−
coefficient
D ÉFINITION 6.2.
P OLYN ÔME
Un polynôme est une somme de monômes.
Types de polynômes
On peut classer les polynômes d’après le nombre de leurs termes.
• Monômes (1 terme) : −3 ; 2x ; −5xy 2 ;
3
3 4
4 xz y
; ...
• Binômes (2 termes) : 4x2 − 5x ; −z 2 x + 3yz ; xy + 3 ; . . .
• Trinômes (3 termes) : x2 + yx − x ; −2y 3 + y + 1 ; 4,1 x2 yz 5 − 6,2 yz 2 − xy 2 ; . . .
• ...
Nota bene
Les expressions algébriques suivantes (avec par exemple x ∈ R)
√
1
1
= 2x2 + 3x − x−1 ,
B(x) = x3 − 4x2 + x = 2x2 + 4x2 + x 2 ,
x
ne sont pas des polynômes, car elles comprennent des termes où la variable est élevée à une puissance non
entière naturelle.
A(x) = 2x2 + 3x −
6.2
Opérations sur les polynômes
Afin de définir les trois opérations (+, −, ·) sur les polynômes, il est nécessaire d’introduire la notion de degré
d’un polynôme.
21
D ÉFINITION 6.3.
D EGR É D ’ UN MON ÔME
• Le degré d’un monôme M est la somme des exposants de ses variables. On le note deg(M ).
• Le degré d’un terme constant est zéro. Exemple : deg(1) = 0.
Exemple
Soit le monôme M (x, y, z) = − 13 x2 yz 3 . Son degré vaut :
1
M (x, y, z) = − x2 y 1 z 3
3
=⇒
deg(M ) = 2 + 1 + 3 = 6 .
D ÉFINITION 6.4.
D EGR É D ’ UN POLYN ÔME
Le degré d’un polynôme P est le degré de son monôme dominant (monôme de plus haut degré).
Méthode
Déterminons deg(P ) du polynôme P (x, y) = x2 y − y 2 x2 + 2x3 y 2 + xy + 1.
1) On commence par ordonner le polynôme P (dans l’ordre croissant des degrés de ses termes) :
P = x2 y − y 2 x2 + 2x3 y 2 + xy + 1
−→
P = 2x3 y 2 − y 2 x2 + x2 y + xy + 1 .
2) On reporte le degré du monôme dominant : deg(P ) = deg(2x3 y 2 ) = 3 + 2 = 5 .
On peut à présent définir trois opérations sur les polynômes.
D ÉFINITION 6.5.
O P ÉRATIONS SUR LES POLYN ÔMES
• On définit la somme (+) et la différence (−) de deux polynômes selon les mêmes axiomes que pour la
somme et la différence de deux nombres dans R, en n’autorisant toutefois la simplification de monômes
que s’il s’agit de monômes semblables.
Exemple. Soient P (x, y) = x + y et Q(x, y) = x − y deux polynômes, avec x, y ∈ R.
P (x) + Q(x, y) = (x + y) + (x − y) = x + y + x − y = (x + x) + (y − y) = 2x ,
� �� �
=0
P (x) − Q(x, y) = (x + y) − (x − y) = x + y − x + y = (x − x) +(y + y) = 2y .
� �� �
=0
• On définit le produit (·) de deux polynômes selon les mêmes axiomes que pour le produit de deux
nombres dans R.
Exemple. Soient P (x, y) = x + y et Q(x, y) = x − y deux polynômes, avec x, y ∈ R.
P (x) · Q(x, y) = (x + y) · (x − y) = x · x − x · y + y · x − y · y = x2 + (xy − xy) −y 2 = x2 − y 2 .
�
22
��
=0
�
Remarque
Ces définitions permettent d’assurer que la somme, la différence et le produit de deux polynômes sont encore
un polynôme.
Sur la base de la D ÉFINITION 6.5, on peut montrer la proposition suivante.
P ROPOSITION 6.1.
O P ÉRATIONS SUR LES POLYN ÔMES : PROPRI ÉT ÉS DU DEGR É
Soient P et Q deux polynômes non nuls avec deg(P ) � deg(Q), alors :
A. deg(P + Q) ≤
deg(P )
B. deg(P − Q) ≤
deg(P ) .
(avec en particulier deg(P + Q) = deg(P ) si deg(P ) > deg(Q)).
(avec en particulier deg(P + Q) = deg(P ) si deg(P ) > deg(Q)).
C. deg(P · Q) =
6.3
deg(P ) + deg(Q) .
Polynômes d’une variable réelle
Dans la suite du cours, nous nous limiterons à étudier des polynômes d’une variable réelle, variable que nous
noterons x ∈ R. Tous les polynômes que nous considérerons par la suite pourront ainsi s’écrire sous la forme
suivante.
Soit un polynôme P d’une variable réelle x, de degré deg(P ) = n ∈ N. Alors celui-ci peut s’écrire sous
forme développée comme suit.
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 ,
x∈R
et an ∈ R ,
∀n ∈ N.
On ordonne ainsi chacun des termes de P par degré décroissant.
degré
terme
6.4
n
n−1
...
2
1
0
an xn an−1 xn−1 . . . a2 x2 a1 x a0
Inéquations polynomiales à une inconnue
Problème.
On cherche à résoudre l’inéquation suivante.
x2 − x − 6 < 0 .
(10)
M ÉTHODE DE R ÉSOLUTION
On factorise le polynôme P (x) = x2 − x − 6 en utilisant le quatrième identité remarquable, ce qui donne :
P (x) = (x − 3)(x + 2)
−→
(x − 3)(x + 2) < 0 .
On observe alors que comme l’inégalité ci-dessus requiert que le membre de gauche soit strictement négatif,
il suffit de déterminer les signes des facteurs (x − 3) et (x + 2), puis de les multiplier pour déterminer
les intervalles sur lesquels l’inconnue x satisfait l’inéquation (10).
La façon la plus commode de déterminer les signes de l’expression factorisée (x − 3)(x + 2) est par le biais
d’un tableau de signe.
23
Tableau de signe pour l’expression (x + 2)(x − 3)
x
−∞
+∞
3
−2
x+2
−
0
+
5
+
x−3
−
−5
−
0
+
(x + 2)(x − 3)
+
0
−
0
+
La dernière ligne du tableau nous permet de déterminer l’ensemble des solutions de l’inéquation (10) :
S = ] − 2; 3[ .
(11)
Illustration graphique
On peut se convaincre de la solution (11) en l’illustrant graphiquement comme l’intervalle en x sur lequel la
fonction quadratique f (x) = (x + 2)(x − 3) est strictement négative, c’est-à-dire l’intervalle sur lequel la
courbe de f se trouve au-dessous de l’axe des abscisses.
Figure 5: Illustration graphique de la résolution de l’inéquation x2 − x − 6 < 0 .
Problème.
On cherche à présent résoudre une inéquation comprenant un polynôme de degré 3.
x3 + 3x2 − x − 3 < 0 .
(12)
La question est de trouver une méthode pour factoriser le polynôme P (x) = x3 + 3x2 − x − 3 afin de pouvoir
établir son tableau de signe.
A cette fin, on aura recours à la définition et au théorème suivants, que nous donnons pour l’instant sans
démonstration, et sur lequels nous reviendrons par la suite dans une perspective plus large.
24
D ÉFINITION 6.6.
FACTORISATION D ’ UN POLYN ÔME
On dit d’un polynôme P (x) qu’il est factorisable par (x − a), avec a ∈ R, s’il existe un polynôme
Q(x) tel que P (x) = (x − a) · Q(x).
T H ÉOR ÈME 6.1.
Un polynôme P (x) est factorisable par (x − a) ssi P (a) = 0 (c’est-à-dire ssi a est une racine de P ).
Pour l’exemple (12) ci-dessus, on vérifie ainsi que x = 1 est une racine du polynôme P (x) = x3 + 3x2 − x − 3.
Vérification.
P (1) = 13 + 3 · 12 − 1 − 3 = 1 + 3 − 1 − 3 = 0 .
En vertu du T H ÉOR ÈME 6.1, le polynôme P est factorisable par (x − 1), c’est-à-dire qu’il existe un polynôme
Q tel que
P (x) = x3 + 3x2 − x − 3 = (x − 1) · Q(x) .
Nous allons à présent introduire une méthode qui va nous permettre de déterminer l’expression algébrique de
Q.
6.4.1
Division euclidienne sans reste de deux polynômes
Si un polynôme A est factorisable par une polynôme B, c’est à dire s’il existe un polynôme C tel que A = B·C,
on peut obtenir le facteur C par une division euclidienne (sans reste) de A par B.
Principe de la division euclidienne de deux polynômes. Le principe est en tout point semblable à celui de
la division euclidienne de deux entiers. Pour deux polynômes, cela se traduit par le fait qu’ à chaque étape de
la division, on élimine le terme de plus haut degré dans le dividende jusqu’à ce qu’on obtienne un reste nul.
Il faut par ailleurs garder à l’esprit la règle de base pour la division polynomial, qui consiste à n’éliminer
entre eux que les monômes de même degré, en vertu notamment du théorème suivant.
T H ÉOR ÈME 6.2.
É GALIT É DE DEUX POLYN ÔMES
Deux polynômes (non nuls) sont égaux ssi les coefficients des termes de même degré sont égaux.
Exemple
Prenons l’exemple de la division euclidienne de P (x) = x3 + 3x2 − x − 3 par (x − 1), ce qui nous permettra
de trouver Q(x).
x3 +
3x2 − x − 3
x−1
3
2
2
−(x −
x )
x + 4x + 3
2
4x − x
−(4x2 − 4x)
3x − 3
−(3x − 3)
0
On obtient ainsi :
Q(x) = x2 + 4x + 3
−→
P (x) = (x − 1)(x2 + 4x + 3) .
On peut alors factoriser d’avantage Q(x) en utilisant la quatrième identité remarquable :
P (x) = (x − 1)(x2 + 4x + 3)
4ème I.R.
=
25
(x − 1)(x + 1)(x + 3).
(13)
Résolution de l’inéquation polynomiale.
x3 + 3x2 − x − 3 < 0 .
On exploite le résultat de la factorisation (13), pour réécrire cette inéquation comme suit.
(x − 1)(x + 1)(x + 3) < 0 .
(14)
On résout alors celle-ci en établissant le tableau de signe du polynôme P (x) = (x − 1)(x + 1)(x + 3).
Tableau de signe pour l’expression (x − 1)(x + 1)(x + 3)
x
−∞
−3
+∞
1
−1
x + 3
−
0
+
2
+
4
+
x + 1
−
−2
−
0
+
2
+
x − 1
−
−4
−
−2
−
0
+
(x + 3)(x + 1)(x − 1)
−
0
+
0
−
0
+
La dernière ligne du tableau nous permet de déterminer l’ensemble des solutions de l’inéquation (14) :
S = ] − ∞ ; −3 [ ∪ ] − 1 ; 1 [ .
Exercice 18.
Résoudre dans R les inéquations suivantes.
1) 9x2 − 4 ≤ 0 ,
2) x2 − 3x − 10 > 0 ,
3) 2x2 < 3 − 5x ,
3) x3 ≥ 6x2 − 8x .
Exercice 19.
Résoudre dans R les inéquations suivantes.
1) x3 + 5x2 − 12x − 36 < 0 . Indication : vérifier que x = 3 est une racine du membre de gauche.
2) x3 − 10x2 + 17x + 28 ≥ 0 . Indication : vérifier que x = −1 est une racine du membre de gauche.
3) 2x3 + x2 − 5x + 2 ≤ 0 . Indication : trouver une racine évidente du membre de gauche.
4) −x3 − x2 + 2x + 8 > 0 . Indication : trouver une racine évidente du membre de gauche.
5) −x3 + 3x2 > 40 − 18x . Indication : trouver une racine du membre de gauche en testant les valeurs :
x = −1, 0, 1, 2.
6) x3 −3x2 ≤ 4x−12 . Indication : trouver une racine du membre de gauche en testant les valeurs x = ±3.
26
Choix de problèmes impliquant des équations ou des inéquations réelles
Exercice 20.
Quelles sont les dimensions d’une boı̂e parallélépipédique (ou pavé droit) à base carrée dont le volume est
V = 1875 cm3 et telle que la surface de carton employée est S = 950 cm2 .
Indication. on se ramènera à une équation du troisième degré dont on cherchera une racine évidente.
Exercice 21.
Quatre cubes ont respectivement pour arêtes, mesurées en centimètres, x, x + 1, x + 2, x + 3, où est x un
nombre entier naturel.
Déterminer x pour que le contenu (volume) des trois cubes d’arêtes x, x + 1, x + 2 remplisse exactement
le cube d’arête x + 3.
Exercice 22.
Population de cerfs
Un troupeau de 400 cerfs est introduit sur une petite ı̂le. Tout d’abord le troupeau grandit rapidement, mais par
la suite les ressources en nourriture baissent et la population diminue. Supposons que le nombre N (t) de cerfs
après t années est donné par
N (t) = −t4 + 96t2 + 400 ,
avec
t ≥ 0.
1. Déterminer les valeurs de t pour lesquelles N (t) > 0.
2. La population de cerfs va-t-elle s’éteindre ? Si oui, au bout de combien d’années ?
Exercice 23.
On veut construire une boı̂e ouverte à partir d’une feuille de carton rectangulaire de 20 cm sur 30 cm, en ôtant
de chaque angle un carré d’aire x2 et en relevant les côtés.
x
20
?
x
x
x
?
? 30
?
x
1. Montrer qu’il y a deux façons de construire une telle boı̂te d’un volume de 1000 cm3 .
2. Quelles sont les dimensions de la boı̂te dont l’aire est la plus petite ?
Quelle valeur faut-il choisir pour x pour que le volume de la boı̂te soit maximal ? Donner la meilleure estimation
possible.
(source : Swokowski E.W. Cole J.A., Algèbre)
27
Exercice 24.
La masse d’une section d’un pont suspendu est uniformément répartie entre deux tours identiques situées à 400
m l’une de l’autre et s’élevant à 90 m au-dessus de la chaussée horizontale (voir figure). Un câble fixé entre
les sommets des tours a la forme d’une parabole et son centre est à 10 m au-dessus de la chaussée. Supposons
qu’on a introduit des axes de coordonnées (repère cartésien à deux dimensions), comme le montre la figure.
1. Donner une équation de la parabole.
2. Neuf câbles verticaux équidistants sont utilisés pour soutenir le pont (voir la figure). Calculer la longueur
totale de ces supports.
400 m
y
90 m
x
(source : Swokowski E.W. Cole J.A., Algèbre)
Exercice 25.
Une fusée est tirée vers une colline suivant une trajectoire donnée par y = −0,016x2 + 1,6x. La colline a une
pente de 15 , comme illustré sur la figure.
1. Où la fusée va-t-elle atterrir ?
2. Calculer la hauteur maximale de la fusée au-dessus du sol.
y
z
x
(source : Swokowski E.W. Cole J.A., Algèbre)
28
6.4.2
Quelques résultats fondamentaux de l’algèbre des polynômes
Revenons tout d’abord sur la notion de division euclidienne appliquée aux polynômes. Jusqu’à présent, nous
avons considéré la division euclidienne uniquement comme technique de factorisation d’un polynôme. Dans
les cas considérés, où les polynômes se factorisaient toujours complètement, la division est donc sans reste.
Toutefois, il peut s’avérer qu’un polynôme ne se factorise pas par un autre polynôme . La division
euclidienne donne alors lieu à une reste, qui est lui-même un polynôme.
Exemple
Divisons par exemple le polynôme P (x) = x3 + 2x2 + 2x − 1 par le polynôme A(x) = x2 + 1, qui ne se
factorise pas plus avant dans R (car ∆ = −4 < 0).
x3 +
−(x3
2x2 + 2x − 1 x2 + 1
+ x)
x+2
2
2x + x − 1
−(2x2
+ 2)
x − 3
On peut ainsi réécrire le polynôme P (x) en fonction du polynôme A(x) = x2 + 1 de la façon suivante :
P (x) = (x2 + 1) · (x + 2) + (x − 3) .
�
��
= A(x)
� � �� �
= Q(x)
� �� �
= R(x)
Le polynôme Q(x) est appelé le quotient de la division euclidienne et R(x) son reste. Noter en particulier
que deg(R) = 1 < deg(A) = 2.
Division euclidienne de polynômes avec reste
L’exemple ci-dessus permet de motiver la Proposition suivante, que nous donnons sans démonstration.
P ROPOSITION 6.2.
D IVISION POLYNOMIALE AVEC RESTE
Soit P et A deux polynômes à valeur dans R, avec deg(A) ≤ deg(P ) et A �= 0.
Il existe un unique polynôme Q et un unique polynôme R à valeur dans R tels que P peut s’écrire comme
une division euclidienne par A, sous la forme :
P (x) = A(x) · Q(x) + R(x)
avec deg(R) < deg(A) .
(15)
Le polynôme Q est appelé le quotient de la division euclidienne et R son reste.
C OROLLAIRE 6.1.
FACTORISABILIT É D ’ UN POLYN ÔME
Un polynôme P est factorisable par un polynôme A ssi le reste R de la division euclidienne de P par A est
nul.
Démonstration
• P factorisable ⇒ R = 0 .
Si P est factorisable par A, alors il existe, selon la D ÉFINITION 6.6, un
polynôme Q tel que P = A · Q. D’après la P ROPOSITION 6.2, ceci implique (cf. expression (15)) que R = 0.
• R = 0 ⇒ P factorisable. Selon la P ROPOSITION 6.2, pour tout polynôme A avec deg(A) ≤ deg(P )
il existe deux polynômes Q et R tel que P = A · Q + R. Si R = 0, alors P = A · Q et ainsi, selon la
D ÉFINITION 6.6, P est factorisable par A.
�
29
Exercice 26.
Pour les polynômes suivants
• faire la division euclidienne de P par A, puis écrire P sous la forme : P = A · Q + R.
• déterminer quels polynômes P sont factorisables par A.
1) P (x) = x3 − 10x2 + 25x
et
2) P (x) =
x3
3) P (x) =
2x3
et
−
10x2
+ 25x
et
+x+2
4) P (x) = 3x4 + 2x3 − 8x2 − x + 8
et
6) P (x) = x4 − 3x3 − 11x2 + 8x + 15
et
5) P (x) = x4 + 2x3 − 2x2 + 2x − 3
et
Que peut-on dire du degré du R par rapport au degré de A ?
A(x) = x − 5 ;
A(x) = x ;
A(x) = x2 + x − 1 ;
A(x) = x2 − 1 ;
A(x) = x2 + 1 ;
A(x) = x − 5 ;
Exercice 27.
Montrer que, pour tout a ∈ R :
1) P (x) = x3 − a3 est divisible A(x) = x − a ;
2) P (x) = x3 + a3 est divisible A(x) = x + a.
puis compléter l’encadré ci-dessous
P ROPOSITION 6.3.
I DENTIT ÉS REMARQUABLES DU TROISI ÈME DEGR É
Pour tout a ∈ R et x à valeur dans R, on a
x3 − a3 = (x − a) · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
x3 + a3 = (x + a) · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 28.
Soit a ∈ R et x à valeur dans R.
1) Diviser P (x) = x4 − a4 par A(x) = x − a, puis compléter
x4 − a4 = (x − a) · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Enfin, factoriser complètement P (x) = x4 − a4 après avoir vérifié que P (−a) = 0.
Est-ce que P (x) = x4 − a4 est factorisable par A(x) = x + a ?
2) Pour n ∈ N∗ , considérons le polynôme :
P (x) = xn−1 + axn−2 + a2 xn−3 + . . . + an−2 x + an−1 .
Que signifient les pointillés ? On dispose ainsi les expression x · P (x) et a · P (x):
x P (x) = xn + axn−1 + a2 xn−2 + . . . + an−2 x2 + an−1 x ,
a P (x) =
axn−1 + a2 xn−2 + . . . + an−2 x2 + an−1 x . + an
A partir des expressions ci-dessus, calculer une expression factorisée de xn − an
xn − an = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3) En utilisant les résultats ci-dessus, dire pour quelles valeurs de n l’expression P (x) = xn + an est
factorisable par A(x) = x + a.
4) Même question pour P (x) = xn − an et A(x) = x + a.
30
Exercice 29.
A l’aide de l’Exercice 28 :
1) Déduire, pour tout n ∈ N∗ , une formule pour la somme : 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn−1 + xn .
2) Grâce à cette formule, calculer simplement les sommes suivantes :
1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 239 + 240 ,
1 + 3 + 32 + 33 + . . . + 349 + 250 .
3) A l’aide du point 1), résoudre le problème suivant.
“La légende dit que pour le remercier des plaisirs que lui procurait le jeu d’échecs, l’empereur
Shiram promit à son inventeur Sissa le cadeau suivant : sur la première case du jeu, il
déposerait un grain de riz, puis le double sur la deuxième case et ainsi de suite en doublant
chaque fois le nombre de grains.”
Sachant qu’un jeu d’échecs se joue sur un échiquier de 64 cases et qu’un grain de riz pèse environ 0,06 g,
déterminer la masse totale du riz déposé sur l’échiquier. De nos jours la production annuelle mondiale
de riz est d’environ 6 · 108 tonnes. Que faut-il penser de la promesse du roi Shiram ?
Critère de factorisabilité d’un polynôme
Grâce à la P ROPOSITION 6.2, on peut à présent démontrer le T H ÉOR ÈME 6.1 vu précédemment au Chapitre 6.4.,
théorème que nous rappelons ci-après.
T H ÉOR ÈME 6.1.
Un polynôme P (x) est factorisable par (x − a), a ∈ R, ssi P (a) = 0 (c.-à-d. ssi a est une racine de P ).
Démonstration
• P factorisable par (x − a) ⇒ P (a) = 0 . D’après la C OROLLAIRE 6.1, si P (x) est factorisable par
A(x) = (x − a), cela implique que le reste de la division polynomiale de P (x) par (x − a) est nul (R(x) = 0).
Ainsi, selon la P ROPOSITION 6.2, il existe un polynôme Q(x) tel que le polynôme P (x) peut s’écrire comme
Il vient alors
P (x) = (x − a) · Q(x) .
P (a) = (a − a) · Q(a) = 0 · Q(a) = 0 .
(16)
• P (a) = 0 ⇒ P factorisable par (x − a) . On effectue une division euclidienne de P (x) par A(x) =
(x − a), ce que l’on écrit :
P (x) = (x − a) · Q(x) + R(x) .
Selon la P ROPOSITION 6.2, on a de plus :
deg(R) < deg((x − a)) = 1
=⇒
deg(R) = 0 .
Ceci signifie que le reste de la division euclidienne est une constante, ce que l’on écrit : R(x) = c (c ∈ R).
Ainsi l’expression (16) devient
P (x) = (x − a) · Q(x) + c .
(17)
Or, comme par hypothèse : P (a) = 0, il vient alors, selon (17) :
0 = P (a) = (a − a) ·Q(a) + c
� �� �
=⇒
c = 0.
=0
Ainsi, dans l’expression (17) le reste est nul. On obtient alors
�
P (x) = (x − a) · Q(x)
C OROL . 6.1
=⇒
P (x) est factorisable par (x − a) .
31
Exercice 30.
1) Sans utiliser�la division
euclidienne, montrer que le polynôme P (x) = 8x3 − 14x2 − 7x + 6 est divisible
�
3
par A(x) = x + 4 .
2) Sans utiliser la division euclidienne, montrer de deux manières différentes que le polynôme
�
se factorise par A(x) = x −
Exercice 31.
1
2
�
�
P (x) = −x(2x − 1) + x −
�
et A(x) = x +
1
2
�
1
2
�2
.
Pour quelle valeur du paramètre λ le polynôme P est-il divisible par le polynôme A.
1) P (x) = x2 + 5x + λ
2) P (x) =
2x3
3) P (x) =
x3
+ λx − 3
+
λx2
+x−5
et
A(x) = x + 2 ;
et
A(x) = x − 3 ;
et
A(x) = x − 1 .
Exercice 32.
1) Déterminer la valeur du paramètre λ pour laquelle le polynôme P (x) = 2x4 +λx3 −x+1 admet a = − 12
comme racine.
2) Déterminer les valeurs des paramètres λ et µ pour lesquelles le polynôme
P (x) = −x5 + 2x4 − 3x3 + 4x2 + λx + µ
admet a = 2 et a = −1 comme racines.
Multiplicité d’une racine d’un polynôme
Il peut arriver que lorsqu’un polynôme P admet une racine a, P se factorise par A(x) = (x − a)n , avec n ∈ N∗
et n ≤ deg(P ). Le facteur (x − a) apparaı̂t ainsi n fois dans la forme factorisée de P . On dit alors que P
possède une racine de multiplicité n, ce que l’on note : multP (a) = n.
D ÉFINITION 6.7.
M ULTIPLICIT É D ’ UNE RACINE D ’ UN POLYN ÔME
Soit P un polynôme de degré n à valeur dans R qui admet i ≤ n racine réelles, dénotées ai . En d’autres
termes, P se factorise de la façon suivante :
P (x) = (x − a1 )n1 · (x − a2 )n2 · · · (x − ai−1 )ni−1 · (x − ai )ni · Q(x) ,
avec deg(Q) = n − (n1 + n2 + . . . ni−1 + ni ) .
On appelle multiplicité de la racine ai la puissance ni du facteur (x − ai )ni . On note celle-ci :
multP (ai ) = ni .
Exemple
Considérons le polynôme :
P (x) = x6 − 9x5 − 15x4 + 293x3 − 270x2 − 2400x + 4000 = (x + 4)2 (x − 2)(x − 5)3 .
D’après la D ÉFINITION 6.7, les 3 racines de P ont les multiplicités suivantes :
multP (−4) = 2 ,
multP (2) = 1 ,
32
multP (3) = 3 .
Les propositions et théorèmes vus précédemment permettent de comprendre pourquoi le théorème qui suit est
vrai. Nous donnons ce dernier sans démonstration.
T H ÉOR ÈME 6.3.
T H ÉOR ÈME FONDAMENTAL DE L’ ALG ÈBRE
Tout polynôme à valeur dans R peut s’écrire comme un produit de polynômes du premier degré ou du
second degré à discriminant négatif (∆ < 0).
Exemples
i. Le polynôme P (x) = x3 + x2 − 4x − 4 = (x + 2)(x − 2)(x + 1) se factorise en un produit de trois
polynômes distincts du premier degré.
ii. Le polynôme P (x) = x3 + 2x2 + x + 2 = (x + 2)(x2 + 1) se factorise en un produit de deux polynômes :
l’un du premier degré et l’autre du second degré avec ∆ = −4 < 0.
Exercice 33.
Factoriser complètement les polynômes suivants, puis discuter les résultats obtenus à la lumière du T H ÉOR ÈME 6.3.
1) P (x) = 2x3 + 9x2 + 7x − 6.
2) P (x) = 2x3 + 4x2 + 8x + 6.
Indication. Trouver une racine évidente de P .
Indication. Trouver une racine évidente de P .
3) P (x) = x4 − 2x3 − 12x2 + 40x − 32.
4) P (x) = −x4 + 2x3 + 14x2 + 2x + 15.
5) P (x) = x4 − 2x3 − 10x2 + 6x + 45.
6) P (x) = x4 − 2x3 + 10x2 − 12x + 24.
Indication. Trouver une racine évidente de P .
Indication. Trouver une racine évidente de P .
Indication. Trouver une racine évidente de P .
Indication. Diviser P par (x2 + 6).
C OROLLAIRE 6.2.
C OROLLAIRE DU T H ÉOR ÈME FONDAMENTAL DE L’ ALG ÈBRE
• Un polynôme à valeur dans R possède au plus n racines réelles distinctes.
• Une équation polynomiale de degré n possède au plus n solutions réelles.
Démonstration
D’après le T H ÉOR ÈME 6.3, un polynôme de degré n se factorise en un produit de polynômes du premier degré
ou du second degré à discriminant négatif. Lorsque ce polynôme se factorise complètement en un produit de
polynômes du premier degré (x − ai ) (avec i = 1, . . . , n), où les ai sont des nombres réels tous distincts, il
possède alors n racines réelles distinctes. Il s’agit là du cas maximal et l’équation P (x) = 0 possède alors n
solutions réelles.
Lorsque la factorisation du polynôme comporte plusieurs fois le facteur (x − ai ) ou comporte des
polynômes du second degré à discriminant négatif, le polynôme possède alors des racines réelles de multiplicité supérieure à 1 ou des facteurs n’admettant pas de racine réelle. Le nombre de racines réelles
distinctes est alors inférieur à n et, partant, le nombre de solutions réelles de l’équation P (x) = 0.
Exemples
i. Le polynôme P (x) = x2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1) possède 2 = deg(P ) racines réelles.
ii. Le polynôme P (x) = x2 − x + 1 possède 0 < deg(P ) = 2 racine réelle, car ∆ = −3 < 0 .
iii. Le polynôme P (x) = x3 + x2 − 4x − 4 = (x + 2)(x − 2)(x + 1) possède 3 = deg(P ) racines réelles.
33
iv. Le polynôme P (x) = x3 + 2x2 + x + 2 = (x + 2)(x2 + 1) possède 1 < deg(P ) = 3 racines réelles, car
pour le facteur (x2 + 1) on a : ∆ = −4 < 0. Ce dernier polynôme ne se factorise donc pas plus avant.
v. Le polynôme P (x) = x4 + 1 possède 0 < deg(P ) = 4 racine réelle, car l’équation x4 = −1 n’a pas de
solution réelle.
Exercice 34.
Montrer que le polynôme P (x) = x4 + 1 est divisible par A(x) = x2 +
du T H ÉOR ÈME 6.3.
√
2x + 1 et vérifie donc la conclusion
Exercice 35.
Vérifier que le polynôme P (x) = 2x5 − 31x4 + 136x3 − 92x2 − 182x − 49 possède − 12 comme racine, puis
résoudre l’équation P (x) = 0 dans R. Déterminer la multiplicité des solutions obtenues. Montrer que ce cas
vérifie bien la conclusion du C OROLLAIRE 6.2.
Exercice 36.
1) Construire un polynôme de degré 4 ne possédant que deux racines réelles, toutes distinctes.
2) Construire un polynôme de degré 5 se factorisant en polynômes du premier degré et ne possédant que
trois racines distinctes.
3) Construire un polynôme de degré 7 avec trois racines distinctes de multiplicité 1.
4) Construire un polynômes de degré 7 qui comporte une racine de multiplicité 2 et dont la somme des
multiplicité des racines distinctes est de 5. Y a-t-il plusieurs possibilités quant aux multiplicités des
racines ?
5) Ecrire une équation du huitième degré sans solution réelle.
Exercice 37.
Construire un polynôme P ayant les caractéristiques suivantes.
1) P est degré 3. Les solutions de l’équation P (x) = 0 sont S = {−3 ; 1 ; 2} et P (3) = 48.
2) P est de degré 4 et divisible par x2 + 2. Il possède −2 et
3
4
comme racines et P (−1) = 1.
Exercice 38.
Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse.
1) Un polynôme peut toujours se factoriser.
2) Un polynôme qui a −1, 0, 1, 2 et 3 comme racines n’est pas de degré 4.
3) Un polynôme qui a −1, 0, 1, 2 et 3 comme racines est de degré 5.
4) Deux polynômes qui ont les mêmes racines sont égaux.
5) Deux polynômes qui ont les mêmes racines et de même multiplicité sont égaux.
6) Un polynôme de degré 3 possède au moins une racine réelle.
7) Un polynôme de degré 4 possède au moins une racine réelle.
8) Un polynôme P de degré 5 possède uniquement 1 comme racine réelle. Le quotient par (x − 1) du
polynôme P est un polynôme de degré 4 qui ne ne se factorise pas.
Exercice 39.
En utilisant un théorème vu au cours, prouver que tout polynôme de degré impair admet au moins une racine
réelle.
34
6.5
Equations et inéquations bicarrées
On nomme équation bicarrée une équation qui peut se ramener à une équation du second degré par un changement de variable.
Problème.
On cherche à résoudre dans R l’équation suivante.
2x4 + 13x2 − 7 = 0 .
(18)
On observe qu’en effectuant le changement de variable y = x2 , on ramène (18) à une équation du second degré
en y :
2y 2 + 13y − 7 = 0 .
√
On résout alors cette équation par la méthode du discriminant (qui vaut dans ce cas ∆ = 225 ⇒ ∆ = 15), ce
qui conduit à l’ensemble de solutions pour y :
�
Sy = y ± =
−13 ± 15
4
�
�
= y − = −7 ; y + =
1
2
�
(19)
.
Pour trouver les solutions de l’équation de départ (18), c’est-à-dire les solutions pour x, il faut inverser le
changement de variable y = x2 pour les solutions (19), c’est-à-dire résoudre les deux équations :
➀
➁
x2 = y + =
2
1
2
x = y = −7
−
⇐⇒
1
x1 = + √
2
⇐⇒
S = ∅.
1
x2 = − √ ;
2
ou
(20)
Les solutions de l’équation initiale (18) sont données par l’ensemble des valeurs trouvées en (20) :
Sx =
�
�
1
1
−√ ; √
.
2
2
Equations bicarrés à exposants rationnels
Il peut s’avérer que certains équations à exposants rationnels (c’est-à-dire comportant des racines) sont en
fait des équations bicarrées. La méthode de résolution ne diffère alors guère de celle exposée dans l’exemple
ci-dessus, à la différence du changement de variable.
Exemple. Considérons l’équation suivante, à résoudre dans R :
2
1
x3 + x3 − 6 = 0
⇐⇒
�
1
x3
�2
1
+ x3 − 6 = 0 .
(21)
1
Cette dernière réécriture de l’équation (21) permet d’identifier le changement de variable approprié : y = x 3 .
L’équation (21) se ramène alors à l’équation quadratique suivante en y :
y2 + y − 6 = 0
(y + 3)(y − 2) = 0
⇐⇒
�
�
Sy = y − = −3 ; y + = 2 .
⇐⇒
1
Pour trouver les solutions de l’équation de départ (21), on inverse le changement de variable y = x 3 pour les
solutions (19), ce qui revient à résoudre les deux équations suivantes :
1
➀ x 3 = y + = −3
1
3
➁ x =y =2
−
⇐⇒
⇐⇒
x1 = (−3)3 = −27 ;
3
x2 = 2 = 8 .
Les solutions de l’équation initiale (21) sont données par l’ensemble des valeurs trouvées en (22) :
Sx = {−27 ; 8} .
35
(22)
1
Remarque.
Comme les équations x n = y ± sont des équations irrationnelles, que l’on résout en élevant
chaque membre de l’équation à la puissance n, il est en principe nécessaire de vérifier les solutions trouvées
dans l’équation initiale. Toutefois, lorsque n est impair, cette vérification n’est pas nécessaire, comme nous
l’avons vu dans le Chapitre 2.
En résumé, la méthode générale pour résoudre dans R des équations bicarrée procède ainsi en trois
étapes.
M ÉTHODE DE R ÉSOLUTION D ’ UNE ÉQUATION BICARR É
i. On effectue le changement de variable approprié : y = xn (n ∈ Q) dans l’équation de départ pour se
ramener à une équation du second degré en y.
ii. On résout cette équation, qui possède soit aucune, soit une, soit deux solutions distinctes, que l’on
nommera génériquement y± .
iii. On résout alors les équations : xn = y± , pour chaque solution y± trouvée au point ii, ce qui nous
donne l’ensemble des solutions de l’équation initiale.
Exercice 40.
Résoudre dans R les équations suivantes.
2
1
1) x4 − 7x2 + 10 = 0
4) x 5 + 24x 5 − 25 = 0
3) x6 − 3x3 − 28 = 0
6) x2/7 − 7x1/7 + 12 = 0
2) x4 + 8x2 + 16 = 0
5) 6x8 − 11x4 + 4 = 0
Exercice 41.
Résoudre dans R les inéquations suivantes.
Indication. Factoriser le membre de droite de l’inéquation en le traitant comme une expression bicarrée, puis
en faisant un changement de variable.
1) x4 − x2 − 12
2) x4 − 11x2 + 30 = 0
36
6.6
Fonctions polynomiales
D ÉFINITION 6.8.
F ONCTION POLYNOMIALE
On appelle fonction polynomiale toute fonction qui à la variable x fait correspondre un polynôme, selon:
f : R −→
R
x �−→ an xn + an−1 xn−1 + . . . + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
,
n ∈ N.
Comme pour un polynôme :
• n est le degré de la fonction polynomiale ;
• les coefficients de f sont en général pris réels : ai ∈ R, pour i = 1, 2, 3, . . . , n.
Remarque.
Les fonctions polynomiales sont des fonctions continues sur leur ensemble de définition R,
c’est-à-dire que leur graphique est tracé sans lever le crayon
6.6.1
Cas particuliers
Pour les trois premiers degrés n = 0, 1, 2, les fonctions polynomiales sont des fonctions bien connues.
n
expression algébrique
représentation graphique
0
f (x) = a0
droite horizontale passant par y = a0
1
f (x) = a1 x + a2
droite oblique de pente p = a1 et d’ordonnée à l’origine y = a0
2
f (x) = a2
6.6.2
x2
+ a1 x + a2
�
�
a1
a2 − 4a2 a0
a1
parabole de sommet S −
;− 1
et d’axe de symétrie x = −
2a2
4a2
2a2
Fonctions polynomiales élémentaires
Les fonctions polynomiales
f : R −→
R
x �−→ xn
,
n∈N
sont dites élémentaires. Elles se rangent en deux catégories, pour n pair ou n impair, avec les caractéristiques
suivantes :
n pair et n �= 0
• lorsque x → −∞, on a : f → +∞
• lorsque x → −∞, on a : f → −∞
• lorsque x → +∞, on a : f → +∞
• lorsque x → +∞, on a : f → +∞
• f possède un minimum en (0; 0)
f est dite paire car:
f (−x) =
Remarque.
n impair et n �= 1
(−x)n
=
+xn
• f possède un point de selle en (0; 0)
f est dite impaire car:
= f (x)
f (−x) = (−x)n = −xn = −f (x)
Les cas n = 0 et n = 1 sont particuliers.
• Pour n = 0, la fonction f (x) = 1 est la fonction constante. Elle est paire mais comme son graphe est
“plat”, elle a à la fois un minimum et un maximum globale en tout x ∈ R.
• Pour n = 1, la fonction f (x) = x est représentée par la droite affine de pente 1. Cette fonction est
impaire. Toutefois, en x = 0 elle ne présente pas de point de selle mais un croisement avec l’axe des
abscisses.
37
Nous donnons ci-après le graphes de quelques unes de ces fonctions polynomiales élémentaires, afin d’illustrer
les caractéristiques mises en exergue dans le tableau de la page précédente.
(a) Quelques fonctions f (x) = xn , avec n pair.
6.6.3
(b) Quelques fonctions f (x) = xn , avec n impair.
Représentation graphique d’une fonction polynomiale quelconque
Le T H ÉOR ÈME 6.3 (Théorème fondamental de l’algèbre) nous enseigne que tout polynôme peut se factoriser
en un produit de polynômes du premier degré ou de polynômes du second degré à discriminant négatif et son
C OROLLAIRE 6.2 qu’ une fonction polynomiale de degré n possède au plus n zéros réels.
Forme du graphe d’une fonction polynomiale à proximité d’un zéro. Les graphiques a) et b) ci-dessus
nous permettent de déterminer l’aspect schématique de la courbe d’une fonction polynomiale f à proximité de
l’un de ses zéros.
• Si a est un zéro de f de multiplicité 1: la courbe Cf présentera un croisement avec l’axe des abscisses
en x = a ;
• Si a est un zéro de f de multiplicité impaire et différente de 1: la courbe Cf présentera un point de selle
en x = a ;
• Si a est un zéro de f de multiplicité paire et différente de 0: la courbe Cf présentera un extrémum (maximum ou minimum) en x = a ;
Ces résultats sont résumés dans la table ci-dessous.
38
On peut ainsi représenter une fonction polynomiale schématiquement en respectant les étapes suivantes :
1) on factorise la fonction polynomiale puis on établit son tableau de signe ;
2) on représente sur le graphe les zéros de la fonctions et on trace la courbe de f en respectant le tableau de
signe ;
3) on représente la forme de la courbe de f au voisinage de ces zéros en utilisant la table ci-dessous. On
veille à distinguer un croisement, d’un point de selle ou d’un extrémum (maximum ou minimum).
Exemple
On souhaite représenter graphiquement la fonction :
f (x) = x6 − 10x5 + 32x4 − 30x3 − 17x2 + 40x − 16
= (x + 1)(x − 1)3 (x − 4)2 .
Tableau de signes f
x
−∞
1
−1
+
x + 1
−
(x − 1)3
−
−
(x − 4)2
+
+
f (x)
+
0
0
−
Graphe de f
39
0
0
+∞
4
+
+
+
+
+
0
+
+
0
+
Corrigé : Exercice 11.2
Equation.
|x + 1| + |2x + 3| − 5 = 0 .
Fonctions valeur absolue écrites par morceaux.
Tableau.
Intersections
|x + 1|
|2x + 3|
|x + 1| + |2x + 3| − 5
�
−∞ ; − 32
−(x + 1)
�
−(2x + 3)
�
− 32 ; −1
�
[−1 ; +∞[
−(x + 1)
x+1
2x + 3
2x + 3
−(x + 1) − (2x + 3) − 5 −(x + 1) + 2x + 3 − 5 x + 1 + 2x + 3 − 5