Chapitre 2
NOMBRES R´
EELS
Depuis la d´
ecouverte de «nombres irrationnels »par les disciples de l’ ´
Ecole de Pythagore
(VIesi`
ecle avant J.-C.) le sens math´
ematique des «nombres r´
eels »´
etait devenu flou : leur sens
g´
eom´
etrique ´
evident (rep´
erage sur une droite) ne semblait pas s’accomoder d’une d´
efinition `
a
partir des nombres entiers.
Une construction explicite de l’ensemble des nombres r´eels fut pour la premi`
ere fois propos´
ee
par Karl WEIERSTRASS [math´
ematicien allemand, 1815–1897]. Il mettait fin ainsi `
a une quˆ
ete de
vingt-six si`
ecles en math´
ematiques ! Sa pr´
esentation, qui est proche de celle que nous suivons
dans ce chapitre, est la plus naturelle qui soit : elle est bas´
ee sur la repr´
esentation d´
ecimale
des nombres, chose famili`
ere aux ´
ecoliers mˆ
eme. Reste qu’une quˆ
ete si longue ne peut pas
se finir en quelques mots : la construction est n´
ecessairement d´
elicate, et implique certaines
cons´
equences surprenantes.
D’autres math´
ematiciens ont ensuite propos´
e des constructions plus simples, mais aussi
plus abstraites (Dedekind par les coupures ; Cantor par les suites de Cauchy). L’ensemble R
obtenu est dans tous les cas le mˆ
eme (au sens que toutes les constructions donnent des en-
sembles ayant exactement les mˆ
emes propri´
et´
es), et il n’a pas de «trou »comme Q: en
cons´
equence il est bien repr´
esent´
e g´
eom´
etriquement par la «droite r´
eelle », le plus simple des
objets math´
ematiques «continus ».
2.A BORNES INF ´
ERIEURES ET SUP´
ERIEURES
Commenc¸ons par un rappel sur ces notions qui nous seront essentielles dans la suite.
Consid´
erons un ensemble ordonn´
e de nombres N, c’est-`
a-dire N,Z,Qou R(mais pas C, qui
n’est pas ordonn´
e !).
D´
EFINITION 2.1 On dit qu’un sous-ensemble Ade Nest minor´
es’il existe un nombre m∈ N
plus petit que tous les ´el´ements de A(c’est-`a-dire : aA,a>m). Tout nombre mayant cette propri´et´e
est alors appel´e un minorant de A.
De mˆeme on dit que Aest major´
es’il existe un nombre plus grand que tous les ´el´ements de A; un
tel nombre est appel´e un majorant de A.
Un ensemble `a la fois minor´e et major´e est dit born´
e.
2CHAPITRE 2—NOMBRES R ´
EELS
Tout sous-ensemble de Nest minor´
e (par 0), mais Nou l’ensemble des nombres premiers
ne sont pas major´
es, car aucun nombre n’est plus grand que tous les entiers (ou que tous les
entiers premiers).
Si mest un minorant de A, il est ´
evident d’apr`
es la d´
efinition que tout nombre plus petit
que mest aussi un minorant. Donc un ensemble minor´
eaeng´
en´
eral un grand nombre de
minorants. La mˆ
eme remarque vaut pour les majorants ´
eventuels.
D´
EFINITION 2.2 On dit qu’un ensemble de nombres Aposs`
ede un plus petit ´
el´
ement s’il
existe un nombre mAplus petit que tous les ´el´ements de A. Ce nombre s’appelle le plus petit
´
el´
ement de A, ou encore l’´
el´
ement minimal de A. On le note min A.
On d´efinit de mani`ere similaire le plus grand ´
el´
ement, ou ´
el´
ement maximal de A; on le note
max A.
Ainsi un ´
el´
ement minimal est un minorant qui se trouve aussi dans l’ensemble (et en par-
ticulier l’ensemble n’est pas vide !). De ce fait il ne peut y avoir au plus qu’un seul ´
el´
ement
minimal : s’il y en avait deux, disons m1et m2on aurait `
a la fois m16m2(car m1est un
minorant de Aet m2A) et m26m1(car m2est un minorant de Aet m1A), donc m1=m2.
PROPOSITION 2.1 Un ensemble non-vide et fini a toujours un ´el´ement maximal et un ´el´ement
minimal.
C’est assez ´
evident et la d´
emonstration est facile : faire une r´
ecurrence sur le nombre
d’´
el´
ements.
Un ensemble non minor´
e n’a pas d’´
el´
ement minimal ; il en va de mˆ
eme de l’ensemble vide.
Mais mˆ
eme un ensemble non-vide et minor´
e peut ne pas en avoir : prenons par exemple A=
{xQ; 0 < x}; alors Aest minor´
e par 0, mais n’a pas d’´
el´
ement minimal (sauriez-vous le
d´
emontrer ?). D’une fac¸on g´
en´
erale, tout intervalle ]a, b[de Qou de Rest `
a la fois minor´
e et
major´
e (par aet brespectivement), sans avoir d’´
el´
ement minimal ou maximal.
On a cependant la propri´
et´
e suivante :
TH´
EOR `
EME 2.1 Tout sous-ensemble de Znon-vide et minor´e a un ´el´ement minimal ; et tout
sous-ensemble de Znon-vide et major´e a un ´el´ement maximal.
En particulier, tout sous-ensemble non-vide de Na un ´
el´
ement minimal, car il est forc´
ement
minor´
e (par 0).
D´emonstration. Soit AZnon-vide (donc contenant au moins un ´
el´
ement a0) et minor´
e : il
a donc un minorant m0(et m06a0notamment). Raisonnons par l’absurde et supposons que
An’a pas d’´
el´
ement minimal.
Un ´
el´
ement ak´
etant donn´
e dans A, pour un certain k(au d´
ebut pour k= 0 seulement),
construisons par r´
ecurrence ak+1 de la mani`
ere suivante : comme akn’est pas l’´
el´
ement minimal
de A(puisque nous avons suppos´
e qu’il n’y en avait pas), alors il n’est pas un minorant, et donc
il existe un ak+1 Atel que ak+1 < ak.
Comme il s’agit de nombre entiers, ak+1 < akimplique que ak+1 6ak16ak126
··· 6a0k. En particulier d`
es que k > a0m0on obtient ak+1 < a0(a0m0) = m0. Mais,
comme ak+1 A, cela contredit le fait que m0est un minorant.
La d´
emonstration pour l’´
el´
ement maximal est similaire.
Cette notion d’´
el´
ement minimal ou maximal est donc utile dans les ensembles d’entiers,
mais beaucoup moins dans les rationnels ou r´
eels : on a vu qu’un ensemble aussi simple qu’un
intervalle ouvert n’en avait pas. Dans ce cas, c’est la notion de borne inf´
erieure ou sup´
erieure
qui est pertinente.
2.B — D´
EVELOPPEMENT D´
ECIMAL 3
D´
EFINITION 2.3 On dit qu’un sous-ensemble non-vide Ade Nadmet une borne inf´
erieure
s’il est minor´e et qu’il existe un minorant de Aplus grand que tous les autres ; on le note alors inf A.
On d´efinit de mani`ere similaire la borne sup´erieure (´eventuelle), qui est le plus petit des majorants ;
on la note sup A.
Donc inf Aest l’´
el´
ement maximal de l’ensemble des minorants de A(attention au sens :
l’ensemble des minorants n’a pas, en g´
en´
eral, d’´
el´
ement minimal) ; en d’autres termes c’est
celui qui est «le plus proche de A». Lorsqu’il existe, il est unique puisque c’est l’´
el´
ement
maximal d’un ensemble.
Il est facile de montrer que si Aa un ´
el´
ement minimal, alors il a aussi une borne inf´
erieure
qui est ´
egale `
amin A(et une propri´
et´
e similaire pour l’´
el´
ement maximal ´
eventuel).
Nous verrons dans la suite (proposition 2.5) que les bornes inf´
erieure et sup´
erieure d’un
intervalle ]a, b[de Rsont exactement aet b, comme le bon sens le sugg`
ere ; et il en va de mˆ
eme
des intervalles ferm´
es de l’un ou l’autre cˆ
ot´
e, ou des deux.
Mais cette propri´
et´
e n’est pas vraie dans Q. Consid´
erons par exemple l’ensemble A=
{xQ;x2<2}(c’est-`
a-dire en fait Q2,2en faisant appel aux nombres r´
eels). Cet
ensemble est ´
evidemment non-vide (0A) et born´
e car x2<2x264⇒ −26x62.
Supposons qu’il a une borne sup´
erieure dans Q, et notons-la µ. Nous avons ou bien µ2<2, ou
bien µ2>2, car on sait qu’il n’y a pas de rationnel de carr´
e´
egal `
a 2. Montrons qu’en fait aucun
des deux ´
eventualit´
es n’est possible, ce qui donne une contradiction logique.
´
Ecrivons µ=p/q avec p,qentiers positifs. Si µ2<2, on a donc µ2<4d’o `
uµ < 2donc
2qp > 0. De ce fait, si nous posons α= (pn + 2qp)/qn, o `
un > 0est un entier arbitraire,
nous trouvons que aQet a>µ. De plus µ2<2implique p2<2q2; un petit calcul montre
alors que α2<2lorque nest choisi suffisamment grand, donc αA. Nous avons donc trouv´
e
un ´
el´
ement de Astrictement plus grand que µ, ce qui est contredit le fait que µest un majorant,
et donc l’hypoth`
ese µ2<2est absurde. Par cons´
equent on doit avoir µ2>2, ce qui implique
p>qet p2>2q2. Ici on pose β= (pn +qp)/qn Qet on voit que 0< β < µ, mais que pour
nsuffisamment grand, on a β2>2; de ce fait, βest un majorant de Ainf´
erieur strictement `
aµ,
ce qui est encore une contradiction.
Cette absence de borne sup´
erieure mat´
erialise le fait intuitivement ´
evident que Qa un
«trou »`
a la position 2: les carr´
es des rationnels passent de valeurs <2aux valeurs >2
`
a cet endroit, sans continuit´
e. Le fait qu’il existe un ensemble de nombres d´
epourvu de ces
«trous »est loin d’ˆ
etre ´
evident : c’est tout l’objet de la construction de l’ensemble des nombres
r´eels. Dans R, le probl`
eme disparaˆ
ıtra : le mˆ
eme ensemble Aaura une borne inf´
erieure et une
borne sup´
erieure (2et 2).
2.B D ´
EVELOPPEMENT D´
ECIMAL
On appelle nombre d´ecimal un rationnel qui peut s’´
ecrire sous la forme n/10k. De tels nombres
se notent aussi sous la forme ±n01α2. . . αkavec n0N,αi∈ {0, . . . , 9}. Le signe ±est ici soit
+(nombres positifs) soit (nombres n´
egatifs), n0s’appelle la partie principale et αiles d´ecimales
du nombre.
On a par exemple 1
2=5
101= 0,5,31789
1000 =31,789, etc. Nous avons tous appris `
a l’´
ecole
comment manipuler de tels nombres. Nous avons appris aussi que 1
3, par exemple, n’est pas
un d´
ecimal parce qu’il faudrait l’´
ecrire sous la forme 0,33333 ···, avec une infinit´
e de chiffres 3.
Nous allons voir nous ne sommes pas forc´
es de nous limiter `
a un nombre fini de d´
ecimales.
Cependant, consid´
erer des nombres avec une infinit´
e de d´
ecimales, si naturel que cela paraisse,
4CHAPITRE 2—NOMBRES R ´
EELS
requiert quelques pr´
ecautions.
Commenc¸ons par nous interroger sur le sens de l’´
ecriture 1
3= 0,33333 ···. Quel sens exact
donner `
a l’infinit´
e de chiffres 3 ? Pour cela, regardons plus en d´
etail ce que signifie l’´
ecriture
n01α2. . . αk(nous nous limitons pour le moment aux nombres positifs pour simplifier). C’est
en fait une notation abr´
eg´
ee :
n01α2. . . αk
d´
ef
=n0+α1
10 +α2
100 +··· +αk
10k=n0+
k
X
i=1
αi
10i.
(Par exemple 12,008 = 12 + 8/1000.) Cela explique notamment pourquoi on peut ajouter des
z´
eros `
a la fin sans changer la valeur du nombre.
Consid´
erons maintenant le cas d’un nombre Anconstitu´
e d’un groupe de p>1d´
ecimales
qui se r´
ep`
etent nfois (c’est-`
a-dire que αp+i=αipour i6(n1)p) :
An= 0,
n r´
ep´
etitions
z}| {
α1. . . αpα1. . . αp··· α1. . . αp=
p
X
i=1
αi
10i+
p
X
i=1
αi
10i+p+··· +
p
X
i=1
αi
10i+p(n1)
= p
X
i=1
αi
10i!1 + 1
10p+··· +1
10p(n1) .
Donc Anest de la forme A1(1 + x+x2+··· +xn1)avec ici x= 1/10p= 10p. Mais c’est une
formule classique que 1+x+···+xn1= (1xn)/(1x)(savez-vous le red´
emontrer ? essayez
de multiplier par 1x). Donc
B10pnB=An6Bo`
uB:= A1
110p.
Notons aussi Cnle nombre ayant les mˆ
emes d´
ecimales que An, sauf la derni`
ere qui est chang´
ee
en la d´
ecimale suivante (c’est-`
a-dire un 0 sera chang´
e en 1, un 1 en 2, etc., et un 9 chang´
e
en 0 mais avec propagation d’une retenue sur la d´
ecimale pr´
ec´
edente) ; en d’autres termes
Cn=An+ 10pn.
Supposons donc que l’on puisse donner un sens `
aA, le mˆ
eme type de nombre mais avec
une infinit´
e de d´
ecimales. On doit avoir A>Anparce que les np premi`
eres d´
ecimales sont les
mˆ
emes, mais que les suivantes sont nulles dans An. Par ailleurs A6Cncar ces deux nombres
ont les mˆ
emes premi`
eres d´
ecimales, mais ensuite une d´
ecimale de Cnest plus grande que celle
qui lui correspond dans A. Donc on a
nN, B 10pnB=An6A6Cn=An+ 10pn 6B+ 10pn
Il existe un unique nombre rationnel qui satisfait cette relation, c’est B(pourquoi est-ce le
seul ?). Il est donc naturel de d´
ecider que A= 01. . . αpα1. . . αp··· (avec une infinit´
e de
r´
ep´
etitions) n’est autre qu’une repr´
esentation d´
ecimale de B=A1/(1 10p).
Si nous essayons avec une infinit´
e de 3, c’est-`
a-dire p= 1 et α1= 3, nous trouvons A1= 3/10
et B= 3/10/(1 1/10) = 3/9 = 1/3, donc 1
3= 0,33333 ··· comme esp´
er´
e.
En multipliant notre nombre Apar 10k, on ne fait que rajouter kd´
ecimales nulles au
d´
ebut, et on peut ensuite ais´
ement ajouter un d´
ecimal ; donc
n01β2. . . βkα1. . . αpα1. . . αp··· =n01β2. . . βk+ 10kA
est aussi une repr´
esentation d’un rationnel.
2.C — D´
EFINITION DES NOMBRES R ´
EELS ;RELATION DORDRE 5
On peut enfin d´
emontrer que tout rationnel positif a une repr´
esentation d´
ecimale de ce
type, avec un paquet de d´
ecimales qui se r´
ep`
etent ind´
efiniment, comme par exemple 829
70 =
11,8428571428571428571 ···. Pour cela, il suffit de se rappeler comment on apprend `
a trouver
les d´
ecimales `
a l’´
ecole primaire : pour 829/70 par exemple, on «pose la division »de 829 par
70 en cherchant un premier chiffre, et en calculant un produit et un reste ; puis on recommence
sur le reste, obtenant un nouveau chiffre, etc. Or chaque reste est inf´
erieur au d´
enominateur (ici
70), donc il n’y a qu’un nombre fini de restes possibles. Par cons´
equent, au bout d’un nombre
fini d’´
etapes (au plus 70, mais ici au bout de six en fait), le reste courant doit ˆ
etre ´
egal `
a un reste
d´
ej`
a vu, et de ce fait la suite des op´
erations se r´
ep`
ete, y compris les d´
ecimales. On voit mˆ
eme
que la longueur du paquet r´
ep´
et´
e de d´
ecimales ne peut exc´
eder le d´
enominateur de la fraction.
Pour les nombres d´
ecimaux, la repr´
esentation d´
ecimale usuelle est simplement compl´
et´
ee
avec un nombre infini de z´
eros. Cependant, ces nombres sont un peu particuliers, car ils ad-
mettent une autre repr´
esentation d´
ecimale, avec un nombre infini de 9 (sauf le nombre z´
ero).
Par exemple, si nous reprenons le calcul pr´
ec´
edent avec p= 1,α1= 9, nous trouvons A1= 9/10
et B=9
10 /(1 1
10 ) = 1. Donc 0,9999 ··· = 1 = 1,0000 ···. Cela repr´
esente un inconv´
enient pour
la suite, et nous utiliserons la terminologie suivante :
D´
EFINITION 2.4 On dit qu’une repr´esentation d´ecimale est impropre si elle comprend des
d´ecimales toutes ´egales `a 9 `a partir d’un certain rang (donc nN,i > n, αi= 9), ou bien si elle est
de la forme 0,0000 ···.
Dans le cas contraire, on parle de repr´esentation d´ecimale propre.
Seuls les nombres d´
ecimaux (y compris z´
ero) ont deux repr´
esentations d´
ecimales, dont une
impropre. (Pour le nombre z´
ero, la repr´
esentation propre est +0,0000 ···.) Les autres nombres
n’ont qu’une seule repr´
esentation, toujours propre.
2.C D ´
EFINITION DES NOMBRES R ´
EELS ;RELATION DORDRE
Nous avons maintenant les ´
el´
ements n´
ecessaires pour donner une d´
efinition possible des
r´
eels. Celle-ci n’est pas la plus directe, mais elle est conforme `
a l’intuition que l’on a de ces
nombres, et `
a leur pratique dans l’enseignement primaire et secondaire.
D´
EFINITION 2.5 On appelle nombre r´
eel toute ´ecriture d´ecimale propre de la forme
±n01α2···, o`u ±est +ou ,n0N, et αi∈ {0, . . . , 9}pour tout iN.
On note Rl’ensemble des nombres r´eels.
Il y a donc une infinit´
e de d´
ecimales, et le point essentiel est qu’on ne suppose pas qu’elles
se r´
ep`
etent. Mais comme on ne l’interdit pas non plus, on a imm´
ediatement :
PROPRI´
ET ´
E.Tout nombre rationnel est un r´eel, i.e. QR.
Inversement, si les d´
ecimales d’un r´
eel se r´
ep`
etent, alors c’est un rationnel ; si elles
sont nulles `
a partir d’un certain rang, c’est un d´
ecimal (on a exclu pour le moment les
repr´
esentations impropres). Si toutes les d´
ecimales sont nulles, c’est un entier (´
egal `
a±n0).
Dans tous ces cas, on continuera `
a´
ecrire ces nombres sous leur forme classique et non leur
d´
eveloppement d´
ecimal (par exemple on ´
ecrira 0et non +0,0000 ···).
On a pour le moment un ensemble «en vrac », sans aucune structure existante. Nous al-
lons ajouter les propri´
et´
es que l’on souhaite avoir sur ces r´
eels, `
a savoir les op´
erations, etc.
Commenc¸ons par l’ordre (c’est-`
a-dire les in´
egalit´
es). La comparaison `
a z´
ero revient simplement
`
a examiner le signe :
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