Nombres réels

Chapitre 2
NOMBRES R´ EELS
Depuis la d´ ecouverte de «nombres irrationnels »par les disciples de l’ ´ Ecole de Pythagore
(VIesi` ecle avant J.-C.) le sens math´ ematique des «nombres r´ eels »´ etait devenu flou : leur sens
g´ eom´ etrique ´ evident (rep´ erage sur une droite) ne semblait pas s’accomoder d’une d´ efinition ` a
partir des nombres entiers.
Une construction explicite de l’ensemble des nombres r´eels fut pour la premi` ere fois propos´ ee
par Karl WEIERSTRASS [math´ ematicien allemand, 1815–1897]. Il mettait fin ainsi ` a une quˆ ete de
vingt-six si` ecles en math´ ematiques ! Sa pr´ esentation, qui est proche de celle que nous suivons
dans ce chapitre, est la plus naturelle qui soit : elle est bas´ ee sur la repr´ esentation d´ ecimale
des nombres, chose famili` ere aux ´ ecoliers mˆ eme. Reste qu’une quˆ ete si longue ne peut pas
se finir en quelques mots : la construction est n´ ecessairement d´ elicate, et implique certaines
cons´ equences surprenantes.
D’autres math´ ematiciens ont ensuite propos´ e des constructions plus simples, mais aussi
plus abstraites (Dedekind par les coupures ; Cantor par les suites de Cauchy). L’ensemble R
obtenu est dans tous les cas le mˆ eme (au sens que toutes les constructions donnent des en-
sembles ayant exactement les mˆ emes propri´ et´ es), et il n’a pas de «trou »comme Q: en
cons´ equence il est bien repr´ esent´ e g´ eom´ etriquement par la «droite r´ eelle », le plus simple des
objets math´ ematiques «continus ».
2.A BORNES INF ´ ERIEURES ET SUP´ ERIEURES
Commenc¸ons par un rappel sur ces notions qui nous seront essentielles dans la suite.
Consid´ erons un ensemble ordonn´ e de nombres N, c’est-` a-dire N,Z,Qou R(mais pas C, qui
n’est pas ordonn´ e !).
D´ EFINITION 2.1 On dit qu’un sous-ensemble Ade Nest minor´ es’il existe un nombre m∈ N
plus petit que tous les ´el´ements de A(c’est-`a-dire : ∀a∈A,a>m). Tout nombre mayant cette propri´et´e
est alors appel´e un minorant de A.
De mˆeme on dit que Aest major´ es’il existe un nombre plus grand que tous les ´el´ements de A; un
tel nombre est appel´e un majorant de A.
Un ensemble `a la fois minor´e et major´e est dit born´ e.

2CHAPITRE 2—NOMBRES R ´ EELS
Tout sous-ensemble de Nest minor´ e (par 0), mais Nou l’ensemble des nombres premiers
ne sont pas major´ es, car aucun nombre n’est plus grand que tous les entiers (ou que tous les
entiers premiers).
Si mest un minorant de A, il est ´ evident d’apr` es la d´ efinition que tout nombre plus petit
que mest aussi un minorant. Donc un ensemble minor´ eaeng´ en´ eral un grand nombre de
minorants. La mˆ eme remarque vaut pour les majorants ´ eventuels.
D´ EFINITION 2.2 On dit qu’un ensemble de nombres Aposs` ede un plus petit ´ el´ ement s’il
existe un nombre m∈Aplus petit que tous les ´el´ements de A. Ce nombre s’appelle le plus petit
´
el´ ement de A, ou encore l’´ el´ ement minimal de A. On le note min A.
On d´efinit de mani`ere similaire le plus grand ´ el´ ement, ou ´ el´ ement maximal de A; on le note
max A.
Ainsi un ´ el´ ement minimal est un minorant qui se trouve aussi dans l’ensemble (et en par-
ticulier l’ensemble n’est pas vide !). De ce fait il ne peut y avoir au plus qu’un seul ´ el´ ement
minimal : s’il y en avait deux, disons m1et m2on aurait ` a la fois m16m2(car m1est un
minorant de Aet m2∈A) et m26m1(car m2est un minorant de Aet m1∈A), donc m1=m2.
PROPOSITION 2.1 Un ensemble non-vide et fini a toujours un ´el´ement maximal et un ´el´ement
minimal.
C’est assez ´ evident et la d´ emonstration est facile : faire une r´ ecurrence sur le nombre
d’´ el´ ements.
Un ensemble non minor´ e n’a pas d’´ el´ ement minimal ; il en va de mˆ eme de l’ensemble vide.
Mais mˆ eme un ensemble non-vide et minor´ e peut ne pas en avoir : prenons par exemple A=
{x∈Q; 0 < x}; alors Aest minor´ e par 0, mais n’a pas d’´ el´ ement minimal (sauriez-vous le
d´ emontrer ?). D’une fac¸on g´ en´ erale, tout intervalle ]a, b[de Qou de Rest ` a la fois minor´ e et
major´ e (par aet brespectivement), sans avoir d’´ el´ ement minimal ou maximal.
On a cependant la propri´ et´ e suivante :
TH´ EOR ` EME 2.1 Tout sous-ensemble de Znon-vide et minor´e a un ´el´ement minimal ; et tout
sous-ensemble de Znon-vide et major´e a un ´el´ement maximal.
En particulier, tout sous-ensemble non-vide de Na un ´ el´ ement minimal, car il est forc´ ement
minor´ e (par 0).
D´emonstration. Soit A⊂Znon-vide (donc contenant au moins un ´ el´ ement a0) et minor´ e : il
a donc un minorant m0(et m06a0notamment). Raisonnons par l’absurde et supposons que
An’a pas d’´ el´ ement minimal.
Un ´ el´ ement ak´ etant donn´ e dans A, pour un certain k(au d´ ebut pour k= 0 seulement),
construisons par r´ ecurrence ak+1 de la mani` ere suivante : comme akn’est pas l’´ el´ ement minimal
de A(puisque nous avons suppos´ e qu’il n’y en avait pas), alors il n’est pas un minorant, et donc
il existe un ak+1 ∈Atel que ak+1 < ak.
Comme il s’agit de nombre entiers, ak+1 < akimplique que ak+1 6ak−16ak−1−26
··· 6a0−k. En particulier d` es que k > a0−m0on obtient ak+1 < a0−(a0−m0) = m0. Mais,
comme ak+1 ∈A, cela contredit le fait que m0est un minorant.
La d´ emonstration pour l’´ el´ ement maximal est similaire.
Cette notion d’´ el´ ement minimal ou maximal est donc utile dans les ensembles d’entiers,
mais beaucoup moins dans les rationnels ou r´ eels : on a vu qu’un ensemble aussi simple qu’un
intervalle ouvert n’en avait pas. Dans ce cas, c’est la notion de borne inf´ erieure ou sup´ erieure
qui est pertinente.

2.B — D´ EVELOPPEMENT D´ ECIMAL 3
D´ EFINITION 2.3 On dit qu’un sous-ensemble non-vide Ade Nadmet une borne inf´ erieure
s’il est minor´e et qu’il existe un minorant de Aplus grand que tous les autres ; on le note alors inf A.
On d´efinit de mani`ere similaire la borne sup´erieure (´eventuelle), qui est le plus petit des majorants ;
on la note sup A.
Donc inf Aest l’´ el´ ement maximal de l’ensemble des minorants de A(attention au sens :
l’ensemble des minorants n’a pas, en g´ en´ eral, d’´ el´ ement minimal) ; en d’autres termes c’est
celui qui est «le plus proche de A». Lorsqu’il existe, il est unique puisque c’est l’´ el´ ement
maximal d’un ensemble.
Il est facile de montrer que si Aa un ´ el´ ement minimal, alors il a aussi une borne inf´ erieure
qui est ´ egale ` amin A(et une propri´ et´ e similaire pour l’´ el´ ement maximal ´ eventuel).
Nous verrons dans la suite (proposition 2.5) que les bornes inf´ erieure et sup´ erieure d’un
intervalle ]a, b[de Rsont exactement aet b, comme le bon sens le sugg` ere ; et il en va de mˆ eme
des intervalles ferm´ es de l’un ou l’autre cˆ ot´ e, ou des deux.
Mais cette propri´ et´ e n’est pas vraie dans Q. Consid´ erons par exemple l’ensemble A=
{x∈Q;x2<2}(c’est-` a-dire en fait Q∩−√2,√2en faisant appel aux nombres r´ eels). Cet
ensemble est ´ evidemment non-vide (0∈A) et born´ e car x2<2⇒x264⇒ −26x62.
Supposons qu’il a une borne sup´ erieure dans Q, et notons-la µ. Nous avons ou bien µ2<2, ou
bien µ2>2, car on sait qu’il n’y a pas de rationnel de carr´ e´ egal ` a 2. Montrons qu’en fait aucun
des deux ´ eventualit´ es n’est possible, ce qui donne une contradiction logique.
´
Ecrivons µ=p/q avec p,qentiers positifs. Si µ2<2, on a donc µ2<4d’o ` uµ < 2donc
2q−p > 0. De ce fait, si nous posons α= (pn + 2q−p)/qn, o ` un > 0est un entier arbitraire,
nous trouvons que a∈Qet a>µ. De plus µ2<2implique p2<2q2; un petit calcul montre
alors que α2<2lorque nest choisi suffisamment grand, donc α∈A. Nous avons donc trouv´ e
un ´ el´ ement de Astrictement plus grand que µ, ce qui est contredit le fait que µest un majorant,
et donc l’hypoth` ese µ2<2est absurde. Par cons´ equent on doit avoir µ2>2, ce qui implique
p>qet p2>2q2. Ici on pose β= (pn +q−p)/qn ∈Qet on voit que 0< β < µ, mais que pour
nsuffisamment grand, on a β2>2; de ce fait, βest un majorant de Ainf´ erieur strictement ` aµ,
ce qui est encore une contradiction.
Cette absence de borne sup´ erieure mat´ erialise le fait intuitivement ´ evident que Qa un
«trou »` a la position √2: les carr´ es des rationnels passent de valeurs <2aux valeurs >2
`
a cet endroit, sans continuit´ e. Le fait qu’il existe un ensemble de nombres d´ epourvu de ces
«trous »est loin d’ˆ etre ´ evident : c’est tout l’objet de la construction de l’ensemble des nombres
r´eels. Dans R, le probl` eme disparaˆ ıtra : le mˆ eme ensemble Aaura une borne inf´ erieure et une
borne sup´ erieure (−√2et √2).
2.B D ´ EVELOPPEMENT D´ ECIMAL
On appelle nombre d´ecimal un rationnel qui peut s’´ ecrire sous la forme n/10k. De tels nombres
se notent aussi sous la forme ±n0,α1α2. . . αkavec n0∈N,αi∈ {0, . . . , 9}. Le signe ±est ici soit
+(nombres positifs) soit −(nombres n´ egatifs), n0s’appelle la partie principale et αiles d´ecimales
du nombre.
On a par exemple 1
2=5
101= 0,5,−31789
1000 =−31,789, etc. Nous avons tous appris `
a l’´ ecole
comment manipuler de tels nombres. Nous avons appris aussi que 1
3, par exemple, n’est pas
un d´ ecimal parce qu’il faudrait l’´ ecrire sous la forme 0,33333 ···, avec une infinit´ e de chiffres 3.
Nous allons voir nous ne sommes pas forc´ es de nous limiter ` a un nombre fini de d´ ecimales.
Cependant, consid´ erer des nombres avec une infinit´ e de d´ ecimales, si naturel que cela paraisse,

4CHAPITRE 2—NOMBRES R ´ EELS
requiert quelques pr´ ecautions.
Commenc¸ons par nous interroger sur le sens de l’´ ecriture 1
3= 0,33333 ···. Quel sens exact
donner ` a l’infinit´ e de chiffres 3 ? Pour cela, regardons plus en d´ etail ce que signifie l’´ ecriture
n0,α1α2. . . αk(nous nous limitons pour le moment aux nombres positifs pour simplifier). C’est
en fait une notation abr´ eg´ ee :
n0,α1α2. . . αk
d´ ef
=n0+α1
10 +α2 100 +··· +αk
10k=n0+
k
X
i=1
αi
10i.
(Par exemple 12,008 = 12 + 8/1000.) Cela explique notamment pourquoi on peut ajouter des
z´ eros ` a la fin sans changer la valeur du nombre.
Consid´ erons maintenant le cas d’un nombre Anconstitu´ e d’un groupe de p>1d´ ecimales
qui se r´ ep` etent nfois (c’est-` a-dire que αp+i=αipour i6(n−1)p) :
An= 0,
n r´ ep´ etitions
z}| {
α1. . . αpα1. . . αp··· α1. . . αp=
p
X
i=1
αi
10i+
p
X
i=1
αi
10i+p+··· +
p
X
i=1
αi
10i+p(n−1)
= p
X
i=1
αi
10i!1 + 1 10p+··· +1
10p(n−1) .
Donc Anest de la forme A1(1 + x+x2+··· +xn−1)avec ici x= 1/10p= 10−p. Mais c’est une
formule classique que 1+x+···+xn−1= (1−xn)/(1−x)(savez-vous le red´ emontrer ? essayez
de multiplier par 1−x). Donc
B−10−pnB=An6Bo` uB:= A1
1−10−p.
Notons aussi Cnle nombre ayant les mˆ emes d´ ecimales que An, sauf la derni` ere qui est chang´ ee
en la d´ ecimale suivante (c’est-` a-dire un 0 sera chang´ e en 1, un 1 en 2, etc., et un 9 chang´ e
en 0 mais avec propagation d’une retenue sur la d´ ecimale pr´ ec´ edente) ; en d’autres termes
Cn=An+ 10−pn.
Supposons donc que l’on puisse donner un sens ` aA∞, le mˆ eme type de nombre mais avec
une infinit´ e de d´ ecimales. On doit avoir A∞>Anparce que les np premi` eres d´ ecimales sont les
mˆ emes, mais que les suivantes sont nulles dans An. Par ailleurs A∞6Cncar ces deux nombres
ont les mˆ emes premi` eres d´ ecimales, mais ensuite une d´ ecimale de Cnest plus grande que celle
qui lui correspond dans A∞. Donc on a
∀n∈N, B −10−pnB=An6A∞6Cn=An+ 10−pn 6B+ 10−pn
Il existe un unique nombre rationnel qui satisfait cette relation, c’est B(pourquoi est-ce le
seul ?). Il est donc naturel de d´ ecider que A∞= 0,α1. . . αpα1. . . αp··· (avec une infinit´ e de
r´ ep´ etitions) n’est autre qu’une repr´ esentation d´ ecimale de B=A1/(1 −10−p).
Si nous essayons avec une infinit´ e de 3, c’est-` a-dire p= 1 et α1= 3, nous trouvons A1= 3/10
et B= 3/10/(1 −1/10) = 3/9 = 1/3, donc 1
3= 0,33333 ··· comme esp´
er´ e.
En multipliant notre nombre A∞par 10−k, on ne fait que rajouter kd´ ecimales nulles au
d´ ebut, et on peut ensuite ais´ ement ajouter un d´ ecimal ; donc
n0,β1β2. . . βkα1. . . αpα1. . . αp··· =n0,β1β2. . . βk+ 10−kA∞
est aussi une repr´ esentation d’un rationnel.

2.C — D´ EFINITION DES NOMBRES R ´ EELS ;RELATION D’ORDRE 5
On peut enfin d´ emontrer que tout rationnel positif a une repr´ esentation d´ ecimale de ce
type, avec un paquet de d´ ecimales qui se r´ ep` etent ind´ efiniment, comme par exemple 829
70 =
11,8428571428571428571 ···. Pour cela, il suffit de se rappeler comment on apprend ` a trouver
les d´ ecimales ` a l’´ ecole primaire : pour 829/70 par exemple, on «pose la division »de 829 par
70 en cherchant un premier chiffre, et en calculant un produit et un reste ; puis on recommence
sur le reste, obtenant un nouveau chiffre, etc. Or chaque reste est inf´ erieur au d´ enominateur (ici
70), donc il n’y a qu’un nombre fini de restes possibles. Par cons´ equent, au bout d’un nombre
fini d’´ etapes (au plus 70, mais ici au bout de six en fait), le reste courant doit ˆ etre ´ egal ` a un reste
d´ ej` a vu, et de ce fait la suite des op´ erations se r´ ep` ete, y compris les d´ ecimales. On voit mˆ eme
que la longueur du paquet r´ ep´ et´ e de d´ ecimales ne peut exc´ eder le d´ enominateur de la fraction.
Pour les nombres d´ ecimaux, la repr´ esentation d´ ecimale usuelle est simplement compl´ et´ ee
avec un nombre infini de z´ eros. Cependant, ces nombres sont un peu particuliers, car ils ad-
mettent une autre repr´ esentation d´ ecimale, avec un nombre infini de 9 (sauf le nombre z´ ero).
Par exemple, si nous reprenons le calcul pr´ ec´ edent avec p= 1,α1= 9, nous trouvons A1= 9/10
et B=9
10 /(1 −1 10 ) = 1. Donc 0,9999 ··· = 1 = 1,0000 ···. Cela repr´
esente un inconv´ enient pour
la suite, et nous utiliserons la terminologie suivante :
D´ EFINITION 2.4 On dit qu’une repr´esentation d´ecimale est impropre si elle comprend des
d´ecimales toutes ´egales `a 9 `a partir d’un certain rang (donc ∃n∈N,∀i > n, αi= 9), ou bien si elle est
de la forme −0,0000 ···.
Dans le cas contraire, on parle de repr´esentation d´ecimale propre.
Seuls les nombres d´ ecimaux (y compris z´ ero) ont deux repr´ esentations d´ ecimales, dont une
impropre. (Pour le nombre z´ ero, la repr´ esentation propre est +0,0000 ···.) Les autres nombres
n’ont qu’une seule repr´ esentation, toujours propre.
2.C D ´ EFINITION DES NOMBRES R ´ EELS ;RELATION D’ORDRE
Nous avons maintenant les ´ el´ ements n´ ecessaires pour donner une d´ efinition possible des
r´ eels. Celle-ci n’est pas la plus directe, mais elle est conforme ` a l’intuition que l’on a de ces
nombres, et ` a leur pratique dans l’enseignement primaire et secondaire.
D´ EFINITION 2.5 On appelle nombre r´ eel toute ´ecriture d´ecimale propre de la forme
±n0,α1α2···, o`u ±est +ou −,n0∈N, et αi∈ {0, . . . , 9}pour tout i∈N∗.
On note Rl’ensemble des nombres r´eels.
Il y a donc une infinit´ e de d´ ecimales, et le point essentiel est qu’on ne suppose pas qu’elles
se r´ ep` etent. Mais comme on ne l’interdit pas non plus, on a imm´ ediatement :
PROPRI´ ET ´ E.Tout nombre rationnel est un r´eel, i.e. Q⊂R.
Inversement, si les d´ ecimales d’un r´ eel se r´ ep` etent, alors c’est un rationnel ; si elles
sont nulles ` a partir d’un certain rang, c’est un d´ ecimal (on a exclu pour le moment les
repr´ esentations impropres). Si toutes les d´ ecimales sont nulles, c’est un entier (´ egal ` a±n0).
Dans tous ces cas, on continuera ` a´ ecrire ces nombres sous leur forme classique et non leur
d´ eveloppement d´ ecimal (par exemple on ´ ecrira 0et non +0,0000 ···).
On a pour le moment un ensemble «en vrac », sans aucune structure existante. Nous al-
lons ajouter les propri´ et´ es que l’on souhaite avoir sur ces r´ eels, ` a savoir les op´ erations, etc.
Commenc¸ons par l’ordre (c’est-` a-dire les in´ egalit´ es). La comparaison ` a z´ ero revient simplement
`
a examiner le signe :