2.C — D´
EFINITION DES NOMBRES R ´
EELS ;RELATION D’ORDRE 5
On peut enfin d´
emontrer que tout rationnel positif a une repr´
esentation d´
ecimale de ce
type, avec un paquet de d´
ecimales qui se r´
ep`
etent ind´
efiniment, comme par exemple 829
70 =
11,8428571428571428571 ···. Pour cela, il suffit de se rappeler comment on apprend `
a trouver
les d´
ecimales `
a l’´
ecole primaire : pour 829/70 par exemple, on «pose la division »de 829 par
70 en cherchant un premier chiffre, et en calculant un produit et un reste ; puis on recommence
sur le reste, obtenant un nouveau chiffre, etc. Or chaque reste est inf´
erieur au d´
enominateur (ici
70), donc il n’y a qu’un nombre fini de restes possibles. Par cons´
equent, au bout d’un nombre
fini d’´
etapes (au plus 70, mais ici au bout de six en fait), le reste courant doit ˆ
etre ´
egal `
a un reste
d´
ej`
a vu, et de ce fait la suite des op´
erations se r´
ep`
ete, y compris les d´
ecimales. On voit mˆ
eme
que la longueur du paquet r´
ep´
et´
e de d´
ecimales ne peut exc´
eder le d´
enominateur de la fraction.
Pour les nombres d´
ecimaux, la repr´
esentation d´
ecimale usuelle est simplement compl´
et´
ee
avec un nombre infini de z´
eros. Cependant, ces nombres sont un peu particuliers, car ils ad-
mettent une autre repr´
esentation d´
ecimale, avec un nombre infini de 9 (sauf le nombre z´
ero).
Par exemple, si nous reprenons le calcul pr´
ec´
edent avec p= 1,α1= 9, nous trouvons A1= 9/10
et B=9
10 /(1 −1
10 ) = 1. Donc 0,9999 ··· = 1 = 1,0000 ···. Cela repr´
esente un inconv´
enient pour
la suite, et nous utiliserons la terminologie suivante :
D´
EFINITION 2.4 On dit qu’une repr´esentation d´ecimale est impropre si elle comprend des
d´ecimales toutes ´egales `a 9 `a partir d’un certain rang (donc ∃n∈N,∀i > n, αi= 9), ou bien si elle est
de la forme −0,0000 ···.
Dans le cas contraire, on parle de repr´esentation d´ecimale propre.
Seuls les nombres d´
ecimaux (y compris z´
ero) ont deux repr´
esentations d´
ecimales, dont une
impropre. (Pour le nombre z´
ero, la repr´
esentation propre est +0,0000 ···.) Les autres nombres
n’ont qu’une seule repr´
esentation, toujours propre.
2.C D ´
EFINITION DES NOMBRES R ´
EELS ;RELATION D’ORDRE
Nous avons maintenant les ´
el´
ements n´
ecessaires pour donner une d´
efinition possible des
r´
eels. Celle-ci n’est pas la plus directe, mais elle est conforme `
a l’intuition que l’on a de ces
nombres, et `
a leur pratique dans l’enseignement primaire et secondaire.
D´
EFINITION 2.5 On appelle nombre r´
eel toute ´ecriture d´ecimale propre de la forme
±n0,α1α2···, o`u ±est +ou −,n0∈N, et αi∈ {0, . . . , 9}pour tout i∈N∗.
On note Rl’ensemble des nombres r´eels.
Il y a donc une infinit´
e de d´
ecimales, et le point essentiel est qu’on ne suppose pas qu’elles
se r´
ep`
etent. Mais comme on ne l’interdit pas non plus, on a imm´
ediatement :
PROPRI´
ET ´
E.Tout nombre rationnel est un r´eel, i.e. Q⊂R.
Inversement, si les d´
ecimales d’un r´
eel se r´
ep`
etent, alors c’est un rationnel ; si elles
sont nulles `
a partir d’un certain rang, c’est un d´
ecimal (on a exclu pour le moment les
repr´
esentations impropres). Si toutes les d´
ecimales sont nulles, c’est un entier (´
egal `
a±n0).
Dans tous ces cas, on continuera `
a´
ecrire ces nombres sous leur forme classique et non leur
d´
eveloppement d´
ecimal (par exemple on ´
ecrira 0et non +0,0000 ···).
On a pour le moment un ensemble «en vrac », sans aucune structure existante. Nous al-
lons ajouter les propri´
et´
es que l’on souhaite avoir sur ces r´
eels, `
a savoir les op´
erations, etc.
Commenc¸ons par l’ordre (c’est-`
a-dire les in´
egalit´
es). La comparaison `
a z´
ero revient simplement
`
a examiner le signe :