Semaine 25

ECS 3
Semaine de colle no 25
2013 – 2014
du 31 mars au 4 avril
Toutes les définitions /énoncés du cours sont à connaître précisément.
Les démonstrations/exemples vus en classe peuvent être proposées comme questions de cours
1
Généralités
1.1
•
Définition
•
Dans toute cette partie (un )n∈N est une suite réelle.
uk est un réel, c’est un symbole pour désigner lim
n
P
n→+∞ k=0
uk n’est définie que si la série
P
uk .
uk converge.
Définition
+∞
P
P
Soit un une série convergente de somme S =
uk .
• On appelle série de terme général un la suite (Sn )n∈N définie par :
∀n ∈ N, Sn =
k=0
+∞
P
k=0
Définition
n
X
+∞
P
On appelle reste d’ordre n le réel Rn = S − Sn .
uk .
k=0
k=0
Proposition
P
Soit un une série convergente.
1. Rn −→ 0.
• Sn est la somme partielle de rang n (ou d’ordre n) de la série.
• Notation. La série de terme général un est notée
P
un (ou
P
n≥0
un ).
n→+∞
• Remarques.
1. Les sommes partielles déterminent le terme général : ∀n ∈ N∗ , un = Sn − Sn−1 .
2. Si la suite (un ) n’est définie qu’à partir du rang n0 , les sommes partielles sont
n
P
définies par : ∀n ≥ n0 , Sn =
uk .
2
1.2
2.1
k=n0
Nature d’une série
2. ∀n ∈ N, Rn =
+∞
P
k=n+1
uk (= lim
N
P
N →+∞ k=n+1
uk )
Premiers exemples classiques
Séries géométriques
Proposition
Définition
• On dit que la série
associées converge.
P
un converge si la suite (Sn )n∈N des sommes partielles
La limite de (Sn )n∈N est alors appelée somme de la série et notée
+∞
P
k=0
uk = lim Sn = lim
n→+∞
+∞
P
n→+∞ k=0
+∞
P
k=0
uk :
P
Pour x ∈ R on considère la série xk , dite série géométrique de raison x.
+∞
P
P k
1
x =
La série xk converge si et seulement si |x| < 1. Dans ce cas
.
1−x
k=0
2.2
Sommes télescopiques
On suppose ici que le terme général s’écrit sous la forme un = vn+1 − vn .
n
P
Dans ce cas Sn =
(vk+1 − vk ) = vn+1 − v0 .
uk
• Dans le cas contraire on dit que la série diverge.
• Déterminer la nature d’une série, c’est déterminer si elle diverge ou converge
+∞
P
P
j Attention aux notations j uk ,
uk :
k=0
P
• uk désigne une suite, c’est une notation abrégée pour « la série de terme
général uk ».
Page 1/3
k=0
Proposition
P
• La série (vn+1 − vn ) converge si et seulement si la suite (vn ) converge.
+∞
P
• En cas de convergence, on a
(vk+1 − vk ) = ( lim vn ) − v0 .
k=0
n→+∞
3.2
En pratique
Proposition
P
P
Si les séries P
un et vn convergent et si λ, µ ∈ R alors
1. La série (λun + µvn ) est convergente.
+∞
+∞
+∞
P
P
P
2. On a
(λun + µvn ) = λ
un + µ
vn
Si l’on peut écrire un sous la forme un = vn+1 −vn , alors on sait calculer les sommes
partielles de la série.
2.3
Combinaisons linéaires de séries convergentes
Deux cas où l’on ne connaît pas les sommes partielles
n=0
• La série harmonique
n=0
n=0
+∞
+∞
+∞
P
P
P
P1
•
Remarque.
La
formule
(u
+
v
)
=
u
+
vn n’est utilisable qu’après avoir
n
n
n
Exemple 1 — La série harmonique
est divergente.
n=0
n=0
n=0
P
P
n
1 montré que un et vn converge.
Nous l’avons démontré en minorant le terme général via : ∀k ≥ 1, ln(k + 1) − ln k ≤ .
k 4 Séries à termes positifs
• La série harmonique alternée
4.1 Sommes partielles d’une série à termes positifs
P (−1)n
est convergente.
n
Nous l’avons démontré en montrant que les sommes partielles (S2n )n∈N∗ et
(S2n+1 )n∈N sont adjacentes.
Proposition
Exemple 2 — la série harmonique alternée
3
On suppose que (un )n∈N est à termes positifs : ∀n ∈ N, un ≥ 0. Alors :
1. La suite des somme partiellesP(Sn )n∈N est croissante.
2. Si (Sn )n∈N est majorée alors un converge.
3. Si (Sn )n∈N n’est pas majorée alors Sn −→ +∞.
Propriétés des séries convergentes
3.1
n→+∞
Divergence grossière
Proposition
P
Si la série un converge, alors un −→ 0.
4.2
Théorème : Critère de comparaison
n→+∞
On suppose
rang, 0 ≤ un ≤ vn , dans ce cas :
P qu’à partir d’un certain
P
• Si P vn converge, alorsP un converge.
• Si un diverge, alors vn diverge.
P
j Attention j un −→ 0 n’assure en rien que la série un converge.
n→+∞
P1
1
diverge bien que
−→ 0.
Exemple : La série harmonique
n
n n→+∞
Théorème : Critère d’équivalence
On suppose qu’à partir d’un
P certain
P rang, un ≥ 0 et vn ≥ 0.
Si un ∼ vn , alors les séries un et vn sont de même nature (i.e. si l’une converge
alors l’autre converge et si l’une diverge, l’autre diverge)
Proposition : (Contraposée)
Si un ne tend pas vers 0, alors la série
diverge grossièrement
P
un diverge. Dans ce cas on dit que la série
Théorème : Critère de négligeabilité
On suppose qu’à partir
d’un certain rang,
P
P un ≥ 0 et vn ≥ 0.
Si un = o(vn ), et si vn converge, alors un converge.
En pratique
lim un = 0 est la première chose à contrôler lorsque l’on demande d’étudier la
P
nature de un .
n→+∞
Critères de convergence
• Remarque. Les trois critères précédent sont aussi vrais si, à partir d’un certain
rang, un ≤ 0 et vn ≤ 0. L’important est que un et vn gardent un signe constant.
2/3
4.3
Convergence absolue
En pratique : comparaison avec une série de Riemann
P
On étudie la nature d’une série un où un ≥ 0 (à partir d’un certain rang) :
1
Si on trouve α > 1 tel que un nα −→ 0 alors un = o( α ).
n→+∞
n
P 1
P
Comme
converge,
u
converge
aussi
d’après
le critère de négligeabilité
n
nα
Définition
P
P
On dit que la série un est absolument convergente si la série |un | est convergente.
Proposition : Convergence absolue implique convergence
P
P
Une série absolument convergente est convergente : si |un | converge, alors un
converge.
5.2
Séries géométriques — Séries géométriques dérivées
Proposition
En pratique
Pour une série à termes quelconques, on commence par étudier la série
est à termes positifs.
P
P
P
P
• Les séries xk , kxk−1 et k(k − 1)xk−2 convergent ssi |x| < 1.
• Lorsque |x| < 1, on a
+∞
P k
1
i)
x =
1
−
x
k=0
+∞
P k−1
1
ii)
kx
=
(série géométrique « dérivée d’ordre 1 »)
(1 − x)2
k=1
+∞
P
2
iii)
k(k − 1)xk−2 =
(série géométrique « dérivée d’ordre 2 »)
(1
−
x)3
k=2
|un | qui
j Attention j Une série peut converger sans être absolument convergente
:
n
P (−1)n
(−1)
= 1
Exemple : la série
converge mais ne converge pas absolument car n
n n
P1
et on sait que
diverge.
n
5
Séries de référence
5.1
Les séries de Riemann
5.3
Proposition
Soit α ∈ R. La série
Série exponentielle
Proposition
P 1
dite série de Riemann, converge si et seulement si α > 1.
nα
Pour tout réel x, la série
+∞
P xn
P xn
converge et on a
= ex .
n!
n=0 n!
L’adresse de la page des maths était : http://mcathala.perso.math.cnrs.fr/ecs1_ozenne.html
L’adresse de la page des maths redevient : http://mfritz.perso.sfr.fr
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