Semaine 25

ECS 3 2013 – 2014 Semaine de colle no25 du 31 mars au 4 avril
Toutes les définitions /énoncés du cours sont à connaître précisément.
Les démonstrations/exemples vus en classe peuvent être proposées comme questions de cours
1 Généralités
1.1 Définition
Dans toute cette partie (un)n∈Nest une suite réelle.
• On appelle série de terme général unla suite (Sn)n∈Ndéfinie par :
∀n∈N, Sn=
n
X
k=0
uk.
•Snest la somme partielle de rang n(ou d’ordre n) de la série.
Définition
•Notation. La série de terme général unest notée Pun(ou P
n≥0
un).
• Remarques.
1. Les sommes partielles déterminent le terme général : ∀n∈N∗, un=Sn−Sn−1.
2. Si la suite ( un ) n’est définie qu’à partir du rang n0 , les sommes partielles sont
définies par : ∀n≥n0, Sn=n
P
k=n0
uk.
1.2 Nature d’une série
• On dit que la série
Pun
converge si la suite ( Sn )
n∈N
des sommes partielles
associées converge.
La limite de (Sn)n∈Nest alors appelée somme de la série et notée +∞
P
k=0
uk:
+∞
P
k=0
uk= lim
n→+∞Sn= lim n→+∞
+∞
P
k=0
uk
• Dans le cas contraire on dit que la série diverge.
• Déterminer la nature d’une série, c’est déterminer si elle diverge ou converge
Définition
jAttention aux notations jPuk,
+∞
P
k=0
uk:
•Puk désigne une suite, c’est une notation abrégée pour « la série de terme
général uk».
•+∞
P
k=0
ukest un réel, c’est un symbole pour désigner lim
n→+∞
n
P
k=0
uk.
•+∞
P
k=0
ukn’est définie que si la série Pukconverge.
Soit Punune série convergente de somme S=+∞
P
k=0
uk.
On appelle reste d’ordre nle réel Rn=S−Sn.
Définition
Soit Punune série convergente.
1. Rn−→
n→+∞0.
2. ∀n∈N, Rn=+∞
P
k=n+1
uk(= lim
N→+∞
N
P
k=n+1
uk)
Proposition
2 Premiers exemples classiques
2.1 Séries géométriques
Pour x∈Ron considère la série Pxk, dite série géométrique de raison x.
La série Pxkconverge si et seulement si |x|<1. Dans ce cas +∞
P
k=0
xk=1
1−x.
Proposition
2.2 Sommes télescopiques
On suppose ici que le terme général s’écrit sous la forme un=vn+1 −vn.
Dans ce cas Sn=n
P
k=0
(vk+1 −vk) = vn+1 −v0.
• La série P(vn+1 −vn) converge si et seulement si la suite (vn) converge.
• En cas de convergence, on a +∞
P
k=0
(vk+1 −vk) = ( lim
n→+∞vn)−v0.
Proposition
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Si l’on peut écrire un sous la forme un = vn+1 −vn , alors on sait calculer les sommes
partielles de la série.
En pratique
2.3 Deux cas où l’on ne connaît pas les sommes partielles
• La série harmonique
Exemple 1 — La série harmonique P1
nest divergente.
Nous l’avons démontré en minorant le terme général via : ∀k≥ 1 ,ln ( k + 1) −lnk≤1
k
.
• La série harmonique alternée
Exemple 2 — la série harmonique alternée P(−1)n
nest convergente.
Nous l’avons démontré en montrant que les sommes partielles ( S2n )
n∈N∗
et
(S2n+1)n∈Nsont adjacentes.
3 Propriétés des séries convergentes
3.1 Divergence grossière
Si la série Punconverge, alors un−→
n→+∞0.
Proposition
jAttention jun−→
n→+∞0 n’assure en rien que la série Punconverge.
Exemple : La série harmonique P1
ndiverge bien que 1 n−→
n→+∞0.
Si un ne tend pas vers 0, alors la série
Pun
diverge. Dans ce cas on dit que la série
diverge grossièrement
Proposition : (Contraposée)
lim
n→+∞un
= 0 est la première chose à contrôler lorsque l’on demande d’étudier la
nature de Pun.
En pratique
3.2 Combinaisons linéaires de séries convergentes
Si les séries Punet Pvnconvergent et si λ,µ ∈Ralors
1. La série P(λun+µvn) est convergente.
2. On a +∞
P
n=0
(λun+µvn) = λ
+∞
P
n=0
un+µ
+∞
P
n=0
vn
Proposition
• Remarque. La formule
+∞
P
n=0
( un + vn ) =
+∞
P
n=0
un +
+∞
P
n=0
vn n’est utilisable qu’après avoir
montré que Punet Pvnconverge.
4 Séries à termes positifs
4.1 Sommes partielles d’une série à termes positifs
On suppose que (un)n∈Nest à termes positifs : ∀n∈N, un≥0. Alors :
1. La suite des somme partielles (Sn)n∈Nest croissante.
2. Si (Sn)n∈Nest majorée alors Punconverge.
3. Si (Sn)n∈Nn’est pas majorée alors Sn−→
n→+∞+∞.
Proposition
4.2 Critères de convergence
On suppose qu’à partir d’un certain rang, 0 ≤un≤vn, dans ce cas :
• Si Pvnconverge, alors Punconverge.
• Si Pundiverge, alors Pvndiverge.
Théorème : Critère de comparaison
On suppose qu’à partir d’un certain rang, un≥0 et vn≥0.
Si un∼vn , alors les séries
Pun
et
Pvn
sont de même nature (i.e. si l’une converge
alors l’autre converge et si l’une diverge, l’autre diverge)
Théorème : Critère d’équivalence
On suppose qu’à partir d’un certain rang, un≥0 et vn≥0.
Si un=o(vn), et si Pvnconverge, alors Punconverge.
Théorème : Critère de négligeabilité
• Remarque. Les trois critères précédent sont aussi vrais si, à partir d’un certain
rang, un≤0 et vn≤0. L’important est que unet vngardent un signe constant.
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4.3 Convergence absolue
On dit que la série
Pun
est absolument convergente si la série
P|un|
est convergente.
Définition
Une série absolument convergente est convergente : si
P|un|
converge, alors
Pun
converge.
Proposition : Convergence absolue implique convergence
Pour une série à termes quelconques, on commence par étudier la série
P|un|
qui
est à termes positifs.
En pratique
jAttention jUne série peut converger sans être absolument convergente :
Exemple : la série
P(−1)n
n
converge mais ne converge pas absolument car
(−1)n
n
=
1
n
et on sait que P1
ndiverge.
5 Séries de référence
5.1 Les séries de Riemann
Soit α∈R. La série P1
nαdite série de Riemann, converge si et seulement si α > 1.
Proposition
On étudie la nature d’une série Punoù un≥0 (à partir d’un certain rang) :
Si on trouve α > 1 tel que unnα−→
n→+∞0 alors un=o(1
nα).
Comme P1
nαconverge, Punconverge aussi d’après le critère de négligeabilité
En pratique : comparaison avec une série de Riemann
5.2 Séries géométriques — Séries géométriques dérivées
• Les séries Pxk,Pkxk−1et Pk(k−1)xk−2convergent ssi |x|<1.
• Lorsque |x|<1, on a
i)
+∞
P
k=0
xk=1
1−x
ii)
+∞
P
k=1
kxk−1=1
(1 −x)2(série géométrique « dérivée d’ordre 1 »)
iii)
+∞
P
k=2
k(k−1)xk−2=2
(1 −x)3(série géométrique « dérivée d’ordre 2 »)
Proposition
5.3 Série exponentielle
Pour tout réel x, la série Pxn
n!converge et on a +∞
P
n=0
xn
n!=ex.
Proposition
L’adresse de la page des maths était : http://mcathala.perso.math.cnrs.fr/ecs1_ozenne.html
L’adresse de la page des maths redevient : http://mfritz.perso.sfr.fr
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