Syst`emes dynamiques dans les espaces homog`enes

Syst`emes dynamiques dans les espaces
homog`enes
Jean-Fran¸cois Quint
Ecole Normale Sup´erieure, f´evrier 2012

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Table des mati`eres
1 Th´eorie ergodique 5
1.1 Syst`emes dynamiques mesur´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Th´eor`eme ergodique de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Th´eor`eme ergodique de Von Neumann . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 In´egalit´e maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Ergodicit´e ............................. 15
1.7 M´elange .............................. 16
1.8 Exercices.............................. 20
1.8.1 Ensembles invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8.2 Translations des tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.3 Endomorphismes des tores . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Syst`emes dynamiques topologiques 23
2.1 Mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Unique ergodicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Transitivit´e, m´elange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Minimalit´e............................. 29
2.5 Exercices.............................. 31
2.5.1 Minimalit´e et compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.2 Codage .......................... 31
2.5.3 Suite de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.4 Obstructions `a l’´equidistribution . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.5 M´elange topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Groupes topologiques et r´eseaux 35
3.1 Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 MesuredeHaar.......................... 38
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4TABLE DES MATI ` ERES
3.3 R´eseaux .............................. 47
3.4 Exercices.............................. 49
3.4.1 Sous-groupes connexes, sous-groupes ouverts . . . . . . 49
3.4.2 Groupes compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.3 Limites projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.4 Syst`emes de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.5 Groupes topologiquement cycliques . . . . . . . . . . . 51
3.4.6 Dynamique des isom´etries . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.7 Sous-groupes de Rd.................... 52
3.4.8 R´eseaux dans les sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.9 R´eseaux et sous-groupes distingu´es . . . . . . . . . . . 53
3.4.10 R´eseaux des groupes nilpotents . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.11 R´eseaux dans les produits semi-directs . . . . . . . . . 54

Chapitre 1
Th´eorie ergodique
Dans ce chapitre, nous nous int´eressons aux propri´et´es g´en´erales des
syst`emes dynamiques mesur´es, c’est-`a-dire que nous consid´erons des espaces
probabilis´es munis d’une transformation mesurable qui pr´eserve la mesure.
Nous verrons en particulier que dans ce cadre g´en´eral, on peut obtenir un
r´esultat puissant sur le comportement asymptotique des orbites : le th´eor`eme
de Birkhoff.
1.1 Syst`emes dynamiques mesur´es
D´efinition 1.1.1. Un syst`eme dynamique mesur´e est un quadruplet
(X, A, µ, T ) o`u (X, A, µ) est un espace mesur´e de probabilit´e et T:X→X
est une application A-mesurable qui pr´eserve la mesure µ, c’est-`a-dire que,
pour tout Adans A, on a µ(T−1A) = µ(A).
Rappelons qu’un espace mesur´e est un triplet (X, A, µ) o`u Xest un en-
semble, Aune tribu (ou σ-alg`ebre) de parties de Aet µest une mesure sur
(X, A). On dit que µest une mesure de probabilit´e si µ(X) = 1. Enfin, l’hy-
poth`ese que Test mesurable signifie que, pour tout Adans A, l’ensemble
T−1Aappartient encore `a A.
Exemple 1.1.2.Si Xest un ensemble fini, muni de la tribu totale et de la
mesure de comptage normalis´ee, toute permutation de Xinduit un syst`eme
dynamique mesur´e – mais ce n’est pas tr`es int´eressant !
Exemple 1.1.3.Pour tout entier d≥1, soit Td=Rd/Zdle tore de dimension
d, muni de la topologie quotient. Munissons cet espace de sa tribu bor´elienne
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